欧氏空间中点列的极限与完备性
与 R1 的情形相类似, 描述多元函数的极限与连续性, 首要问题仍是刻画 Rn 中点
的连续变化或者说完备性.
聚点与点列极限
定义 . 给定集合 E ⊆ Rn, 称 x ∈ Rn 为 E 的聚点, 若任给 δ > 0, δ-邻域
U(x, δ) 总含有 E 中异于 x 的点; 若 x ∈ E 且非 E 的聚点, 则称 x 为 E 的孤立
点．
上述定义的基础为距离, 故球形邻域可换成方形邻域, 而聚点的定义不变, 且若 x
是 E 的聚点, 则任一 U(x, δ) 中一定有 E 中的无限多个点.
需要指出的是, E 的聚点 x 不一定属于 E.
由聚点的定义, 若 x 不是某集合 E 的聚点, 则存在 δ0 > 0 使 U0(x, δ0) 中没有 E
的点. 等价地, 存在 δ0 > 0 使 U(x, δ0)
⋂
E = {x}.
除了定义, 这里再给出闭集的第二种描述方式. 给定集合 E, 称其全部聚点的
集合为 E 的导集, 记为 E ′, 且称 E ≜ E
⋃
E ′ 为 E 的闭包.
定理 . 设 E ⊆ Rn, 则 E 是闭集当且仅当 E = E.
证明 : 由 E 的定义, E = E 当且仅当 E ′ ⊆ E, 即 E 的聚点全在 E 中, 故只要证
明 E 为闭集当且仅当 E ′ ⊆ E.
充分性 若 E ′ ⊆ E, 则 Ec 中无 E 的聚点.
因此任给 x ∈ Ec, 存在 δx > 0(δx 依赖于 x), 使 U(x, δx)
⋂
E = ∅, 即 U(x, δx) ⊆
Ec, 故 Ec 是开集. 由闭集的定义, E 是闭集.
必要性 若 E是闭集,即 Ec是开集,则任给 x ∈ Ec,存在 δx > 0,使 U(x, δx) ⊆ Ec.
于是 x 不是 E 的聚点, 即 Ec 中无 E 的聚点.
等价地, E ′ ⊆ E. 于是 E = E
⋃
E ′ = E.
定义 . 称 Rn 中有顺序的一列点 x1,x2, · · · ,xk, · · · 为一个点列, 记为
{
xk
}
.
对点列
{
xk
}
⊆ Rn, 若 x0 ∈ Rn 使任给 ε > 0, 存在 K ∈ N, 当 k > K 时, 有 xk ∈
U(x0, ε), 则称
{
xk
}
收敛于x0, 也称 x0 为
{
xk
}
的极限, 记为 limk→∞ xk = x0. 若
这样的 x0 ∈ Rn 不存在, 则称
{
xk
}
发散.
以后用
{
xk
}
(而非
{
xn
}
) 表示 Rn 中的点列, 且记 (注意区分幂与上标)
xk =
(
xk1, x
k
2, · · · , xkn
)
, k = 1, 2, · · · .
以距离概念为基础, 点列的收敛这一极限理论的基本概念实现了降维化处理, 并使
点列的收敛等价地转化为实数序列的收敛性.
定理 .设 {xk}是 Rn中的点列, x0∈ Rn, x0 =
(
x01, x
0
2, · · · , x0n
)
,则 limk→∞ xk =
x0 当且仅当任给 i = 1, 2, · · · , n, 有 limk→∞ xki = x0i .
证明 : 只需注意到任给 i = 1, 2, · · · , n 和 k ∈ N, 有∣∣xki − x0i ∣∣ ≤ |xk − x0| ≤∑n
l=1
∣∣xkl − x0l ∣∣.
由定理,可得点列极限的基本性质,它们是 R中序列极限的性质在 Rn 中的相
应推广. 例如, 在 Rn 中有如下性质.
性质 . 任给收敛点列
{
xk
}
⊆ Rn, 则
(1)
{
xk
}
的极限唯一;
(2)
{
xk
}
是有界点列, 即存在 M > 0, 使任给 k ∈ N 有 |xk| ≤M .
性质 . 若
{
xk
}
,
{
yk
}
⊆ Rn 当 k → ∞ 时, xk → x0, yk → y0, 则
(1) 任给 α, β ∈ R, 有 limk→∞ (αxk + βyk) = αx0 + βy0;
(2) limk→∞
〈
xk,yk
〉
=
〈
x0,y0
〉
.
证明 : 只证 (2), 且设 x0,y0 的分量分别为 x0i , y0i (i = 1, 2, · · · , n).
对任一 i, 由定理, 恒有 xki → x0i , yki → y0i (k → ∞). 再由序列极限的性质有
xki · y
k
i → x
0
i · y
0
i (k → ∞), 从而再由内积定义, 有
limk→∞〈xk,yk〉 = limk→∞
∑n
i=1
xki · y
k
i =
∑n
i=1
x0i · y
0
i = 〈x0,y0〉.
注 . 性质(2) 虽为 R 中序列乘积性质的推广, 但二者有本质区别. 例如,
R 中两个序列的极限非零时, 乘积序列的极限存在且非零, 但在 Rn(n ≥ 2) 中则不
然, 因为非零向量的内积可以是零 (即它们是正交的).
例 . 求 limk→∞ xk, 其中对任意的 k = 1, 2, · · · ,
xk =
(
k2e−k
2
, cos k · ln
(
1−
1
2k
)
, k sin
1
k
)
∈ R3.
定理 . 设 E ⊆ Rn 非空, 则 x 是 E 的聚点当且仅当存在 E 中一个
两两互异的点列
{
xk
}
, 使 limk→∞ xk = x.
例 . 求 Qn =
{
(x1, · · · , xn) ∈ Rn: 任一分量 xi ∈ Q
}
的聚点全体.
解: 任给 x0 =
(
x01, x
0
2, · · · , x0n
)
∈ Rn, 考虑方形邻域 N0(x0, δ).
由于任给 δ > 0 和 i : 1 ≤ i ≤ n, 存在
(
x0i − δ, x
0
i + δ
)
内的有理数 x̃i 6= x0i , 故(
x̃1, x̃2, · · · , x̃n
)
是 N0(x0, δ)
⋂
Qn 中的点, 从而 x0 是 Qn 的聚点.
由 x0 的任意性知, Qn 的聚点集合是 Rn. □
注 . 若集合 E 中任意点的任一邻域中恒有集合 E0 中的点, 则称 E0 在 E 中
稠密. 上例说明 Qn 在 Rn 中稠密.
欧氏空间 Rn 中的完备性定理
1. 完备性与 Cauchy 收敛准则
称 Rn中的点列
{
xk
}
是 Cauchy点列,若任给 ε > 0,存在 K ∈ N,使任给 k, l > K
时, 有
∣∣xk − xl∣∣ < ε. 称集合 E ⊆ Rn 是完备的, 若 E 中的任何 Cauchy 点列都收敛,
且其极限属于 E.
定理 . 欧氏空间 Rn 是完备的.
证明 : 任取 Cauchy 列 xk =
(
xk1, x
k
2, · · · , xkn
)
∈ Rn(k = 1, 2, · · · ), 则
{
xk
}
中的各
分量序列
{
xki
}
(i = 1, 2, · · · , n) 是 R 中的 Cauchy 序列.
由 R 的完备性, 存在 x0i ∈ R, 使 limk→∞ xki = x0i , 记
x0 =
(
x01, x
0
2, · · · , x0n
)
,
则 x0 ∈ Rn, 且由定理知 limk→∞ xk = x0, 于是 Rn 是完备的.
2. 闭集套定理
以下给出 Rn 完备性的另一种表示形式, 它是 R 中的区间套定理的推广. 为此, 定
义非空集合 E ⊆ Rn 的直径diamE = supx,y∈E |x− y|.
定理 . 设非空闭集列 Fk ⊆ Rn(k = 1, 2, · · · ) 满足
(i) 任给 k ∈ N, Fk ⊇ Fk+1,
(ii) limk→∞ diamFk = 0,
则存在唯一的 x0 ∈ Rn, 使任给 k ∈ N, 有 x0 ∈ Fk, 即
{
x0
}
=
⋂+∞
k=1
Fk.
3. 列紧性与聚点原理
在 Rn 中, 同样成立列紧性定理 (也称为 Bolzano-Weierstrass 致密性定理) 和聚点
原理, 它们与 Cauchy 收敛准则、闭集套定理相互等价.
定理 . (1) 任给有界点列 {xk} ⊆ Rn 总存在收敛子列. (2) 任意有界无穷集合
E ⊆ Rn 至少有一个聚点.
4. 紧性与有限覆盖定理
为了将 Rn 中的局部性质过渡到整体性质上, 需要下面的 Heine-Borel 有限覆盖定
理, 它也称为紧性定理. 首先给出 Rn 中的开覆盖与紧集概念.
定义 . (1) 称 Rn 中的开集族 O = {Oλ}λ∈Λ 是 E ⊆ R
n 的一个开覆盖, 若⋃
λ∈Λ
Oλ ⊇ E; 若 Λ 是有限集, 则称 O 是 E 的一个有限开覆盖.
(2) 称 E ⊆ Rn 为紧集, 或称 E 是紧的, 若 E 的任一开覆盖 O = {Oλ}λ∈Λ 中
都存在 E 的有限子覆盖, 即存在 O1, O2, · · · , Oq ∈ O, 使 E ⊆
⋃q
l=1
Ol.
定理 . 集合 E ⊆ Rn 为紧集当且仅当 E 是 Rn 中的有界闭集.
