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基于突变理论的钢筋混凝土结构地震响应
分析
袁景1，王学庆2*
作者简介：袁景（1979-），女，副教授，主要从事工程结构抗震研究
（1. 辽宁工程技术大学建筑工程学院，辽宁 阜新 123000； 5
2. 安徽工业大学建筑工程学院，安徽 马鞍山 2443002）
摘要：由于钢筋混凝土结构的非线性特征，在地震荷载的作用下表现出复杂的现象，如突跳
和滞后现象，“路径”效应等非线性动力特性。本文在弹性动力模型的基础上，引入非线性
恢复力，采用突变理论对改进后的模型进行分析，结果反映了系统参数对结构地震响应有重
要的影响。本文所提供的分析方法和结论对钢筋混凝土结构的参数设计有一定的参考价值。 10
关键词：突变理论；地震响应；动力分析；钢筋混凝土结构
中图分类号：TU32
Analysis of Seismic Response of RC Structure Based on
Catastrophic Theory 15
YUAN Jing1, WANG Xueqing2
(1. Liaoning Technical University, Civil Engineering and Architechture, Liaoning Fuxin 123000;
2. Anhui University of Technology, Civil Engineering and Architecture, Anhui Maanshan 243002)
Abstract: When RC structure failures in the course of earthquake, it behaviors complex vibratory
process, such as suddenly jumping, hysteresis and path effect of amplitude due to its nonlinear 20
properties. The existing elastic dynamic analytic model is improved by inputting nonlinear restoring
force, and it is analyzed basing on catastrophe theory. Analysis shows that structure’s parameters have
important influence on its seismic response. The analysis method and conclusions in this paper have
certain reference value to design parameters of RC structure.
Key words: catastrophe theory; seismic response; dynamic analysis; reinforced concrete structure 25
0 引言
钢筋混凝土结构是目前工业与民用建筑中最常用的结构形式之一，在我国乃至世界上的
现有建筑结构中占有相当大的比例。钢筋混凝土结构在地震作用下的响应十分复杂，因此一
直是国内外进行结构抗震研究的主要对象[1]。在现行的抗震设计中,通常采用动力分析方法30
来考虑地震对结构的作用。其原理是假定结构为单质点系的理想弹性体,通过分析激振力和
结构的动力特性来进行建筑物的抗震设计。这种方法简单易行，且能够比较真实的反映实际
情况。但是,试验表明钢筋混凝土材料在荷载作用下一般都将表现出非线性的特征。事实上，
大量的震害纪录也表明地震对建筑结构的作用过程远比我们想象的要复杂得多,它不但与地
震的强度有关,在很大程度上还取决于结构本身的特性。理想弹性动力模型忽略了钢筋混凝35
土材料的非线性特性,因而无法真实地反映出地震破坏过程中的某些复杂特性,如突变和滞
后效应等,而这些现象都是由非线性引起的[2]。为此,本文对现有的动力分析模型做了改进,
引入了非线性恢复力,并用突变理论分析方法对改进后的模型进行分析,结果表明系统参数
的微小变化使响应振幅及其突变值、振幅响应的不稳定区域等特性产生明显变化,反映出结
构的地震响应特性对参数变化非常敏感。对于钢筋混凝土结构的抗震设计有一定的指导意40
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义。
1 钢筋混凝土结构的动力分析模型
将钢筋混凝土结构假定为一单质点体系, 全部质量集中于 M 点, 用无重量的杆件体系
支承于基底,将地震动简化为作用于基底的简谐振动，则整个结构体系的振动力学模型如图 1
所示。其中 )(0 tx 为地震时基底所发生的水平位移, )(tx 为结构相对基底的水平位移。为反45
映结构自身的非线性特性，假定杆系变形所产生的恢复力是非线性的，且关于原点对称，则
回复力与变形有如下关系:
)( 3xxF β+= （1）
其中，β 为反映钢筋混凝土结构非线性程度的参数。
50
图 1 单质点系统振动力学模型
Fig. 1 Vibration mechanical model for single particle
假定地震运动为作用于基底的简谐振动，外荷载可表示为 tP ωcos ,ω为地震激励频
率。 55
则单质点体系的振动方程为：
tPxxKxCxM ωβ cos)( 3 =+++ ��� （2）
公式（2）两侧同时除以M ，并令 20ω=M
K ， γ=
M
C ， αβ =
M
K ， p
M
P =
则得到：
tpxxxx ωαωγ cos320 =+++ ��� （3） 60
其中： 0ω 为结构的自振频率，
02ω
γ
为阻尼比，C为粘滞阻尼系数，K为结构的弹性
刚度，α 为结构的非线性系数。式(3)的形式与杜芬(Duffing)方程类似,只有变量的系数有所
差别,故可将其称为广义 Duffing 方程[3]。
2 钢筋混凝土结构振动方程求解分析
假定外荷载 tp ωcos 是按简谐变化的,故方程式(3)的解可写作： 65
)cos( ϕω += tAx （4）
其中： A为响应振幅， t为时间，ϕ 为初相角。
将（4）带入（3）整理后得：
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( ) ( ) ( ) ( ) ( ) tpcost3cos
4
1tcos
4
3tsin-tcos- 3220 ωϕωϕωαϕωωγϕωωω =⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ ++++++ AAA （5）
略去三次谐波项，上式可化为： 70
( ) ( ) 0cossincos
4
3 222
0 =−+−+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +− tptAtAA ωϕωωγϕωαωω （6）
整理得，
0sincossin
4
3cossincos
4
3 222
0
222
0 =⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ +⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +−−⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −−⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +− tAAAtpAAA ωϕωγϕαωωωϕωγϕαωω （7）
故 tωcos 和 tωsin 前的系数均应为 0，则
pAAA =−+− ϕωγϕαωω sincos)
4
3( 2220 （8） 75
0cossin)
4
3( 2220 =++− ϕωγϕαωω AAA （9）
将（8）和（9）式平方后相加得：
22222222
0
2 )
4
3( pAAA =++− ωγαωω （10）
对（10）式做微分同胚[4]变换得：
03 =++ vuYY (11) 80
其中： BAY += 2 ； α
ϖ
9
8=B ； 220 ωωϖ −= ；
)3(
27
16 222
2 ϖωγα −−=u ； （12）
}81)9(8{
729
16 2222
3 pv αωγϖϖα ++−= （13）
式（11）为标准的尖点突变平衡曲面方程，其中Y 为状态变量，u、v为控制变量,ϖ 为
结构自振频率与强迫振动频率的平方差，简称频率差。对（11）式求解即为结构稳定状态的85
临界点[5]。
对（11）式求导得：
03 2 =+ uY （14）
联立（11）,（14）式得出 分叉集方程 0274 23 =+ vu （15）
对于尖点突变模型的平衡曲面方程(8),令 23 274 vuD += 90
（1）当 0＞u 时, 0＞D ，方程（11）只有一个实数根，对应于一个稳定的平衡态，结
构的变形将是连续的，不会产生突变。
（2）当 0=D 时，方程（11）有 3 个实根，其中有 2 个实根相等，它们对应于平衡曲
面的奇点集，此时结构处于两个临界稳定状态，在微干扰作用下，结构必将由临界状态突跳
到稳定状态。 95
（3）当 0＜D 时,方程（11）有 3 个不等的实根，其中两个表示稳定状态，一个表示不
稳定状态。结构在这些状态上平滑地变化，属于缓慢变形过程。只有当结构达到平衡态的边
界(即分叉集)时才会产生突变。因此，在 0=D 处结构的平衡状态个数及稳定性产生分歧。
满足 0=D 的控制变量u、 v构成结构的分叉集。
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经分析可以画出分叉集的曲线如图 2 所示。由图 2 可以看出，分叉集是一半立方抛物线100
图，在点(0，0)处有一尖点，分叉集将控制变量平面分成为两个区间，在区域 M 中 0＞D ，
系统状态是稳定的；在区域 N 中 0＜D ，系统有三个平衡点其中两个稳定，一个不稳定。
图 2 分叉集曲线图
105
尖点的位置可有 0=u ， 0=v 求出。将其代入式（12），（13）得：
03 222 =−ϖωγ （16）
081)9(8 2222 =++ pαωγϖϖ （17）
由 220 ωωϖ −= ，可得 20222 33 ωγϖγϖ =+
解得 ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ +−−= 2021 34
9
2
3 ωγγγϖ ， ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ ++−= 2022 34
9
2
3 ωγγγϖ 110
由（17）得 ( )[ ]2 12022111 8198 p ϖωγϖϖα −+= ， ( )[ ]2 2
2
0
22
22
2 81
98
p
ϖωγϖϖα −+=
由此可给出在由ϖ 和α 确定的控制平面内奇点集的尖点坐标[6]。
3 钢筋混凝土结构地震响应的突变分析
根据上述的理论分析，结构对地震荷载的响应特性在平衡曲面中所处的位置不同，结构
的地震响应也有较大差别，下面对钢筋混凝土结构的地震响应特性进行具体描述。 115
（1）稳定区域：
当阻尼系数较大且非线性系数较小时，在控制平面内存在一个狭窄的横向稳定带，在此
安全带中结构的地震响应不会发生突变，因而进行隔震结构设计时应确保结构自身特性处于
该稳定区域中。
（2）共振现象：当 21 ααα << 时，即结构的非线性特性较微弱时，振动系统主要表120
现出线性振子的特性。由式(10)可得：
22222220
2 )( pAA =+− ωγωω （18）
即：
22222
0 )( ωγωω +−
= pA （19）
式(14)表明，当强迫振动频率ω和结构的自振频率 0ω 接近时，结构振动时的振幅将突
出地增大，即出现所谓的共振效应。 125
（3）响应振幅突变：
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当 2αα < 时，强迫振动频率由小逐渐增大时，结构振动的幅度开始也由小逐渐增大，
但当增大到某一频率值时，结构的振幅会突然大幅度提高，发生突跳现象，然后随着ω的
增大振幅 A又逐渐衰减。与之相反，当强迫振动频率由大到小逐渐衰减时，系统振幅先从
小到大逐渐增加，但当振幅增长到一定程度后，若强迫振动频率仍在继续减小，则结构振动130
的幅度会突然大幅度地降低。
（4）“路径”与滞后效应：当频率差由小到大或由大到小变化跨越奇点集时，响应振
幅会发生突变，但两种情况结构振幅发生突跳的频率域值不同。前者的发生突变的频率差为
1ϖ ，而后者为 2ϖ ，这就是演化路径效应，即地震强迫振动的作用“路径”对结构的响应特
征有很大的影响。若将频率差增大的方向称为“去向”，突变点为 1ϖ ，那么“回向”上的135
突变点为 2ϖ ，落后于“去向”的，将此称之为滞后现象。
4 结论
基于本文的理论计算和分析，得出以下结论：
（1）钢筋混凝土结构具有一定的非线性特性，因此其地震响应比起线性结构要复杂的
多。影响结构非线性的参数取在非稳定区便会出现响应振幅突变等不利于结构安全的现象。140
因此，计算稳定区取值的范围对指导钢筋混凝土结构抗震设计有一定的参考价值。
（2）结构的振动幅度在某种强迫振动频率值时可能发生突变。并且结构对地震荷载的
响应具有滞后特性。控制变量由小到大或由大到小变化，跨越分叉集而发生振幅跳跃所对应
的频率和跳跃值各不同，表明了频率变化对系统动力特性的影响具有“路径”效应。
（3）分叉集上的点对应于结构振幅突变点，两突变点之间存在不稳定共振区。结构在145
地震荷载作用下的响应特性，可能是导致大量地震实例中结构产生较为复杂的破坏甚至倒塌
的根本原因，因此在抗震设计时应充分考虑结构的非线性特性，使设计参数更加合理和优化。
[参考文献] (References)
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