一．条 件 概 率
某一非典疫情地区有一万人，某一阶段发现有100人为疑似病人，有10人为非典病人，其中 5人为由疑似病人转为非典病人。
求: 该地区由疑似病人转为非典病人的概率
第 五节 条 件 概 率
引例1．
解:
设 事件 A= {非典病人}，
事件 B= {疑似病人}
则此时 S={1,2,…..,10000}
显然：
这是没有附加条件的概率（无条件概率）
（千分之一）
(1) 若求 P(A),
北邮概率统计课件
（2）该地区由疑似病人转为非典病人的概率为：p
这是求附加了条件“疑似病人”后的概率，
则此时不妨设 S={1,2,…..,100}，
由题意可得：
这是附加了条件 B 的概率（有条件概率）
此题的结论：
该地区由疑似病人转为非典病人的概率为 5%，要比没有附加“疑似病人 ”时的概率大50倍。
若事件B已发生, 则为使 A也发生 , 试验结果必须是既在 B 中又在A中的样本点 , 即此点必属于AB. 由于现在已经知道B已发生, 故B变成了新的样本空间。
在10000个人中：
100个疑似病人，10个非典病人
5个由疑似病人转为非典病人
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引例 2. 10件产品中有7 件正品，3 件次品，7 件正品
中有3件一等品，4件二等品. 现从这10件中任
取一件，
B={取到正品}
记: A={取到一等品}，
P(A|B)
P(A )=3/10，
则显然:
注: 本例中，计算P(A)时，依据的前提条件是10件产品中一等品的比例. 计算P(A|B)时，这个前提条件未变, 只是加上“事件B已发生”这个新的条件.
北邮概率统计课件
提出三个问题：
对于一般具有附加条件的概率问题
是否也一定具有引例中的表达形式 ？
由条件概率的概念是否可以得出两
个事件乘积的概率？
无条件概率 P(A)、条件概率
与乘积概率 P(AB)的区别是什么？
北邮概率统计课件
1. 定义：设 A ,B是两个事件, 则称
为在事件 B 发生的条件下事件 A 发生的
条件概率, 其中
▲ 条件概率符合概率定义中的三个条件：
★ 对每个事件 B, 有:
★
★ 设有 是两两互不相容的, 则有
▲ 类似可以定义:
注：
非负性
规范性
可列可加性
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2．性质
在第三节中概率的性质1 ~性质 5 对条件概率都成立, 其它相关的性质请见常用的有：
条件概率的计算
3.
1) 用定义计算:
P(B)>0
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2)从加入条件后改变了的情况去计算:
掷骰子
A={掷出2点}，
B={掷出偶数点}
则: P(A|B）=
B发生后的
缩减样本空间
所含样本点总数
在缩减样本空间
中A所含样本点
个数
比如：
北邮概率统计课件
求：
------36 种
------3 种
解：依题意,样本空间
------ 15种
掷两颗骰子,观察出现的点数 ,设
分别表示第一颗,第二颗骰子的点数,且设:
例1．
北邮概率统计课件
在样本空间 S 中计算 P(B), P(AB) 然后依
公式 计算
从而:
掷两颗骰子,观察出现的点数，设 分别表示第一颗,第二颗骰子的点数,且设:
方法 1:
北邮概率统计课件
在缩减的样本空间 或 中计算A或B出
现的概率就可得所求的条件概率(这种方法
适合简单的问题)
在缩减的样本空间 中看：A中有3个基本事件,其中只有(6,4)是B中包含的基本事件, 故有:
在缩减的样本空间 中看：B中有15个基本事件, 故有:
方法2：
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由条件概率的定义：
二. 乘法原理
若已知P(B), P(A|B)时, 可以反求P(AB).
设 P(B)>0 或 P(A)>0，则:
注：乘法原理可推广到多个事件的积事件的情形：
其中: P(AB) > 0
即有：
定理1：
北邮概率统计课件
甲、乙两厂共同生产1000个零件，其中300件是
乙厂生产的. 而在这300个零件中，有189个是标
准件，现从这1000个零件中任取一个，
问: (1)这个零件是乙厂生产的标准件的概率是多少？
(2)发现它是乙厂生产的, 则它是标准件的概率是
多少？
则: (1) 所求的问题 P(AB).
甲、乙共生产
1000 个
189个是
标准件
300个
乙厂生产
300个
乙厂生产
B={零件是乙厂生产}
A={是标准件}
(2) 所求的问题 P(A|B)
解: 若设:
例2
不讲
北邮概率统计课件
设某种动物由出生算起活到20年以上的概率为
，活到25年以上的概率为. 问现年20岁
的这种动物，它能活到25岁以上的概率是多
少？
设A={能活20年以上}，B={能活25年以上}
依题意， P(A) = , P(B) =
所求为 P(B|A) .
活到
20年
以上
活到
25年
以上
B
A
例3
解：
北邮概率统计课件
无条件概率 P(A)、条件概率 P(A|B)
及 P(AB) 的区别
归 纳
每一个随机试验都是在一定条件下进行的，
若设其样本空间为 S
★
北邮概率统计课件
一个罐子中包含b 个白球和 r 个
红球. 随机地抽取一个球，观看颜色后放回罐中，并且再加进 c 个与所抽出的球具有相同颜色的球. 这种手续进行四次
试求：第一、二次取到白球且第
三、四次取到红球的概率.
例 4 波里亚罐子模型
b个白球, r 个红球
随机取一个球，观
看颜色后放回罐中，
并且再加进C 个与
所抽出的球具有相
同颜色的球.
解: 设Wi={ 第 i 次取出是白球 },
i =1, 2, 3, 4
Rj={ 第 j 次取出是红球 }，
j =1, 2, 3, 4
北邮概率统计课件
用乘法公式容易求出：
= P(W1) P(W2|W1) P(R3|W1W2) P(R4|W1W2 R3)
P (W1W2 R3 R4 )
于是：W1W2 R3 R4 表示事件 “连续取四个球，第
一、第二个是白球，第三、四个是红球. ”
北邮概率统计课件
一场精彩的足球赛将要举行，5个球迷好不容
易才搞到一张入场券。大家都想去，只好用抽
签的方法来解决。
入场
券
5 张同样的卡片，只有一张上写有“入场券”，其余的什么也没写。 将它们放在一起洗匀,让5个人依次抽取
例5.
问：后抽的人确实比先抽的人吃亏吗?
北邮概率统计课件
到底谁说的对呢？请用已学的条件概率、乘法定理来计算一下,每个人抽到“入场券”的概率到底有多大?
“大家不必争先恐后，你们一个一个
按次序来，谁抽到 ‘入场券’ 的机会都
一样大.”
“先抽的人当然要比后抽的人抽到的机会大。”
北邮概率统计课件
设：Ai 表示“第 i 个人抽到入场券” i＝1,2,3,4,5.
显然： P(A1)=1/5，P( )＝4/5
第1个人抽到入场券的概率是1/5.
也就是说，
则： 表示“第 i 个人未抽到入场券”
因为若第2个人
抽到了入场券，
则第1个人肯定
没抽到.
由于：
所以由乘法公式 ：
计算得:
第2个人抽到入场券的概率也是1/5.
即：
北邮概率统计课件
这就是有关抽签顺序问题的正确解答:
同理，第3个人要抽到“入场券”，必须第1、第2
个人都没有抽到. 因此：
＝(4/5)(3/4)(1/3)=1/5
继续做下去就会发现, 每个人抽到“入场券” 的
概率都是1/5.
抽签不必争先恐后.
由乘法
公式
北邮概率统计课件
箱子中装有10瓶形状相同的名酒,其中部优
名酒7瓶,国优名酒3瓶,今有三个人从箱子中
随机地取出一些酒来,每人只拿2瓶．
问：恰好第一个人拿到两瓶部优名酒,同时第二
个人拿到部优、国优名酒各一瓶,第三个人
拿到两瓶国优名酒的可能性有多大?
解：设
例 6．
北邮概率统计课件
显然, 所求事件的概率为：
从而：
而：
10瓶名酒，其中
部优7瓶，国优3瓶，
第一人拿到两瓶
优名酒同时第二
人拿到部 优、国
优名酒各一瓶,第
三个拿到两瓶国
优名酒
北邮概率统计课件
例7．设某光学仪器厂制照的透镜,第一次落下时
打破的概率为 ，若第一次落下时未打破,第
二次落下破的概率为 , 若前两次落下未打
破, 第三次打破的概率为
试求：透镜落下三次未打破的概率。
解：设
解法1.
因为：
所以有：
北邮概率统计课件
解法2.
及
与
而
是两两互斥的事件，故有：
北邮概率统计课件
全概率公式和贝叶斯公式主要用于计算比较复杂事件的概率, 它们实质上是加法公式和乘法公式的综合运用.
综合运用
乘法公式
P(AB)= P(A)P(B|A)
P(A)>0
三.全概率公式和贝叶斯公式
加法公式
P(A+B)=P(A)+P(B)
A、B互斥
北邮概率统计课件
有三个箱子，分别编号为1,2,3，1号箱装有1个红球4个白球，2号箱装有2红3白球，3号箱装有3红球. 某人从三箱中任取一箱，从中任意摸出一球，求: 取得红球的概率.
解：记 Ai= {球取自i号箱},
i=1, 2, 3;
B = {取得红球}
即: B= A1B+A2B+A3B，
且: A1B、A2B、A3B两两互斥
B发生总是伴随着A1，A2，A3 之一同时发生
P(B)=P( A1B)+P(A2B)+P(A3B)
运用加法公式
1
2
3
引例
注意到：
北邮概率统计课件
将此引例中所用的方法推广到一般的情形，就得到在概率计算中常用的 全概率公式.
对求和中的每一项
运用乘法公式得
P(B)=P( A1B)+P(A2B)+P(A3B)
代入数据计算得：P(B)= 8/15
北邮概率统计课件
注：S 的一个划分一是要互斥，
二是要充满整个空间.
1．样本空间的划分
设S为试验E的样本空间,
为 E 的一组事件, 若：
则称 是样本空间S的一个划分或称
是一个互斥事件完备组。
n
B
B
B
L
,
,
2
1
定义：
北邮概率统计课件
E的一组事件
是S的一个划分或 构成了互斥
事件完备组
E的另一组事件
就不是S的一各划分，或 构不
成一个互斥事件完备组。
对“掷一颗骰子观察其点数”这一试验，其：
比如：
北邮概率统计课件
[证明]：
则：
设试验E的样本空间为 S,A 为 E的事件,
为S 的一个划分, 且
称为全概率公式
2. 全概率公式
定理2
北邮概率统计课件
▲ 全概率公式关键抓住寻找S的一个划分或寻
找一个互斥事件完备组(这里事件
是导致事件A发生的一组原因,而事件A的出
现只能与 中之一同时出现)。
注：
北邮概率统计课件
每一原因都可能导致 B发生，故 B发
生的概率是各原因引起 B发生概率的
总和即为全概率公式.
某一事件B的发生有各种可能的原因(i=1,2,…,n)
如果B是由原因Ai 所引起，则B发生的概率是：
P (BAi) = P (Ai) P (B |Ai)
全概率公式：
▲ 从另一个角度去理解
▲ 全概率公式一搬用于“用条件概率求非条件概
率”的问题。即P(A)不易求,但却很容易找到S
的一个划分时用全概率公式比较方便
北邮概率统计课件
设甲袋中有3个白球,5个红球,乙袋中有4个
白球,6个红球,现从甲袋中任取一个球放入
乙袋中,再从乙袋中任取一球。
求：从乙球中取得白球的概率。
设A：从乙袋中取得白球
取球只有两种情况，要么白球要么红球
所以设：
例8．
甲:
乙:
解：
因为:
北邮概率统计课件
显然：
某工厂有四条流水线生产同一种产品, 四条流
水线的产量分别占该产品总产量的
且四条流水线生产
产品的次品率分别是 , , , ,
求：从出厂的这种产品中任取一件恰是次品的概率
甲:
构成一个互斥事件完备组
乙:
例9.
北邮概率统计课件
因为抽出的产品只能出自这四条流水线，故设：
从而：
解：
取出的一件是次品
取出的一件次品恰出自第
条流水线
显然:
四条流水线产量(率): 15%, 20%, 25%, 40%
四条流水线次品(率): , , ,
北邮概率统计课件
甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击, 三人击中的概率分别为、、. 飞 机被一人击中而击落的概率为,被两人击中而击落的概率为, 若三人都击中, 飞机必定被击落, 求:飞机被击落的概率.
P(B)= P(A0)P(B |A0)+ P(A1)P(B |A1)
+ P(A2)P(B|A2) + P(A3)P(B |A3)
则 B = A0B + A1B + A2B + A3B
设B= {飞机被击落}
Ai= {飞机被i人击中}, i=0,1,2,3
解:
依题意，
P(B|A1)=, P(B|A2)=,
P(B|A3)=1
为求P(Ai ) ,
例 10.
设 Hi={飞机被第i人击中}, i=1,2,3
由全概率公式：
北邮概率统计课件
可求得:
P(A0) = 0; P(A1) = ; P(A2) = ; P(A3) = .
P(B)= P(A1)P(B |A1)+ P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B |A3)
=
= × + × + ×1
即飞机被击落的概率为 .
将数据代入计算得:
于是：
北邮概率统计课件
该球取自哪号箱的可能性最大?
实际中还有下面一类问题：“已知结果求原因”
这一类问题在实际中更为常见，它所求的是条件概率，是已知某结果发生条件下，求各原因发生可能性大小.
引例 某人从任一箱中任意摸出一球，发现是红球,求该球是取自1号箱的概率.
1
2
3
1红4白
或者问:
北邮概率统计课件
有三个箱子，分别编号为1,2,3，1号箱装有1个红
球4个白球，2号箱装有2个红球3个白球，3号箱
装有3个红球. 某人从三箱中任取一箱，从中任
意摸出一球，发现是红球。
1
2
3
1红4白
?
求：该球是取自1号箱的概率
引例
北邮概率统计课件
某人从任一箱中任意摸出
一球，发现是红球，求该
球是取自1号箱的概率.
记 Ai={球取自i号箱}, i=1,2,3;
B ={取得红球}
求: P(A1|B)
运用全概率公式
计算P(B)
将这里得到的公式一般化，就得到：
贝叶斯公式
1
2
3
1红4白
?
北邮概率统计课件
3．贝叶斯公式 ( 逆概公式 )
设试验 E 的样本空间为 S, A为 E 的事件,
称为贝叶斯 ( Bayes ) 公式
[证明]：略.
贝叶斯公式与全概率公式一样都是加法公式和乘法公式的综合运用, 值得一提的是，后来的学者依据 贝叶斯公式的思想发展了一整套统计推断的方法，称作为：“贝叶斯统计”（这也足可见贝叶斯公式的影响）
定理3．
则:
北邮概率统计课件
▲ 贝叶斯公式
在贝叶斯公式中，P( Ai ) 和 P(Ai |B)分别称为原因的 先验概率和后验概率.
P ( Ai ) 是在没有进一步信息（不知道事件B是否发生）的情况下，人们对诸事件发生可能性大小的认识.
贝叶斯公式从数量上刻划了这种变化
▲ 贝叶斯公式适用于“用条件概率求条件概率”
当有了新的信息（知道B发生）,人们对诸事件.
发生可能性大小 P( Ai | B)有了新的估计.
注:
北邮概率统计课件
在不了解案情细节(事件B)
之前，侦破人员根据过去
的前科，对他们作案的可能性有一个估计，设为:
比如，原来认为作案可能性较小的某甲，
现在变成了重点嫌疑犯。
例如，某地发生了一个案件，怀疑对象有
甲、乙、丙三人.
甲
乙
丙
P(A1)
P(A2)
P(A3)
但在知道案情细
节后, 这个估计
就有了变化。
P(A1 | B)
知道B
发生后
P(A2 | B)
P(A3 | B)
最大
偏小
北邮概率统计课件
例11．在例 9 中已知任取一件产品是次品．
问：此次品出自哪条的流水线的可能性大?
解：
例9. 某工厂有四条流水线生产同一种产品, 四条流
水线的产量分别占该产品总产量的
且四条流水线生产
产品的次品率分别是 , , , ,
求：从出厂的这种产品中任取一件恰是次品的概率
15%, 20%, 25%, 40%
出自第四条流水线可能性大
北邮概率统计课件
某一地区患有癌症的人占，患者对一种
试验反应是阳性的概率为，正常人对这种
试验反应是阳性的概率为，现抽查了一个 人，试验反应是阳性。
则 表示“抽查的人不患癌症”.
已知: P( C )=，P ( ) =,
P( A|C )=，P (A | ) =
解:
设 C = { 抽查的人患有癌症 }，
A = { 试验结果是阳性 }，
此例即为求 P (C | A)
例 12.
问：此人是癌症患者的概率有多大?
北邮概率统计课件
现在来分析一下结果的意义:
由贝叶斯公式，可得:
P ( C｜A ) =
2. 检出阳性是否一定患有癌症?
1. 这种试验对于诊断一个人是否患有癌症
有无意义？
代入数据计算得：
北邮概率统计课件
如果不做试验， 抽查一人, 他是患者的概率:
患者阳性反应的概率是 ，若试验后得阳性反应，则根据试验得来的信息，此人是患者的概率为:
这说明：这种试验对于诊断一个人
是否患有癌症是有意义的
★ 从 增加到 ，将近增加约 21 倍。
这种试验对于诊断一个人是否患有
癌症 有无意义？
P(C｜A) =
P( C ) =
分析问题1.
北邮概率统计课件
检出阳性是否一定患有癌症?
试验结果为阳性, 此人确患癌症的概率为:
可见: 即使一个人检验出阳性，尚可不必过早下结
论此人确患有癌症，因为这种可能性只有
% (平均来说，1000个人中大约只有
107人确患癌症 )，此时医生常要通过再试
验来确认。
分析问题2.
P ( C｜A ) =
北邮概率统计课件
