第三章 地震作用和结构抗震验算
一、课程内容
二、重点、难点和基本要求
第三章 课程内容
§3-1 概述
§3-2 单自由度弹性体系的地震反应
§3-3 单自由度弹性体系的水平地震作用——地震反应谱法
§3-4 多自由度弹性体系的地震反应
§3-5 多自由度弹性体系的水平地震作用——振型分解反应谱法
§3-6 底部剪力法和时程分析法
§3-7 水平地震作用下的扭转效应
§3-8 结构的竖向地震作用
§3-9 结构自振周期的近似计算
§3-10 地震作用计算的一般规定
§3-11 结构抗震验算
第三章重点、难点和基本要求
重点和难点：
1、重要术语、概念、定义
2、单（多）自由度体系地震反应和地震作用计算
3、底部剪力法
4、结构抗震验算
基本要求：
掌握结构抗震验算基本方法
§3-5 多自由度弹性体系的水平地震作用
----振型分解反应谱法
振型分解反应谱法是在振型分解法的基础上，结合运用单自由度体系反应谱理论得出的一种计算方法。
一、基本方法简介
二、简化计算步骤
1、振型的最大地震作用
2．振型组合和地震作用效应组合
一、基本方法简介
多自由度弹性体系在地震时的水平地震作用就是质点所受的惯性力，故质点i上的地震作用为 ：
式中 mi——质点i的质量； ——地面运动加速度；
——质点i的相对加速度。
根据振型分解法，
这样，
其中 为与j振型相应振子的绝对加速度。
为作用在第j振型质点i上的水平地震作用。
根据上式可以作出随时间变化的曲线，以求出供设计用的最大地震作用。但计算太繁，一般采用简化方法。
二、简化计算步骤
利用单自由度体系的设计反应谱，按
先求出对应于每一振型各质点的最大水平地震作用(同时达到最大值)及相应的地震作用效应，然后对这些效应进行振型组合，以求得结构的最大地震作用效应。
具体步骤如下：
1、振型的最大地震作用
由 ，作用在第j 振型第i质点上的地震作用绝对最大值Fji为：
令 ，
则 ( i=1,2,…,n；j=1,2,…,n)为为对应于j 振型i 质点水平地震作用标准值计算公式
j振型i质点水平地震作用标准值计算公式
( i=1,2,…,n；j=1,2,…,n)
为对应于j振型i质点水平地震作用标准值计算公式。
式中： Fji—j 振型i质点的水平地震作用标准值；
rj—j 振型的振型参与系数；Xji—j 振型i质点的振型位移幅值；Gi—集中于i质点的重力荷载代表值；
αj—相应于j 振型自振周期Tj 的地震影响系数。
是第j 振型对应的振子(单质点体系)的最大绝对加速度与重力加速度之比，故αj是相应第j 振型的地震影响系数，而这时的自振周期为与第j 振型相对应的振子的周期Tj，即为第j 振型的自振周期。
2．振型组合
由式 可求得某一振型各质点的最大水平地震作用Fji (i=，1，2，…，n)，再按照一般结构力学方法可求得结构对应于该振型的最大地震作用效应Sj (Fji → Sj ) 。
根据
结构在任一时刻所受的地震作用为该时刻各振型地震作用之和。但是，各振型的地震作用(从而相应的地震作用效应)不会同时达到最大值。
如何组合各振型的最大地震作用效应，合理地确定结构总的地震作用效应？
地震作用效应组合
根据随机振动理论，如假定地震时地面运动为平稳随机过程，则对于各平动振型产生的地震作用效应可近似地采用“平方和开方”法确定，即
式中 S——结构水平地震作用效应，
Sj——j振型水平地震作用产生的作用效应(弯矩、剪力、
轴力和变形等)
m——参与组合的振型的个数，可只取前2～3个振型(因为
高阶振型随着其自振频率ωj的增加，Sj在S中的贡献
迅速减少)，当基本自振周期大于或房屋高宽比大
于5时，振型个数可适当增加。
必须注意，不能先将各振型的地震作用Fji采用“平方和开方”法进行组合，求出总的地震作用，再求地震作用效应。因为高阶振型中的地震作用有正有负，经平方后，全为正值，这样将夸大结构所受的地震作用效应。
§3-6 底部剪力法和时程分析法
一、底部剪力法
1、底部剪力法示意图
2、结构底部剪力的计算（ FEk ）
3、各质点水平地震作用标准值的计算（ Fi ）
4、顶部附加地震作用的计算（ △Fn ）
二、时程分析法
一、底部剪力法
按振型分解反应谱法计算房屋结构的水平地震作用时，运算过程较繁。为了简化计算，《抗震规范》规定，当房屋结构满足下列条件时，可采用近似计算法----
底部剪力法：
(1)房屋结构的质量和刚度沿高度分布比较均匀；
(2)房屋的总高度不超过40m；
(3)房屋结构在地震作用时的变形以剪切变形为主(房屋高宽比小于4时)；
(4)房屋结构在地震作用时的扭转效应可忽略不计。
满足上述条件的结构，在水平地震作用下振动时，其位移反应通常以基本振型为主，且基本振型近似于直线。
1、底部剪力法示意图
底部剪力法是先计算出作用于结构的总水平地震作用，也就是作用于结构底部的剪力，然后将总水平地震作用按一定的规律分配给各质点。
关键是求出FEK、Fi、△Fn
2、结构底部剪力的计算（ FEk ）
1、结构底部剪力的计算
根据静力平衡条件，相应于j振型的结构底部剪力应等于j振型下结构的总水平地震作用，即应等于j振型各质点水平地震作用Fji之和。故由式 可得j振型下结构底部剪力标准值：
式中 ——结构总重力荷载代表值，
Gi ----为i质点重力荷载代表值；
α1---相应于结构基本周期的水平地震影响系数。
（结构底部剪力是一种地震作用效应）
根据“平方和开方”的振型组合原则，结构底部总剪力的标准值FEk(也就是结构总水平地震作用)应为
或：
式中，FEk----结构总水平地震作用标准值，即结构底部剪力标准值；
----相应于结构基本周期的水平地震影响系数，
----结构等效总重力荷载代表值
ξ ----为高振型影响系数，也称等效重力荷载系数，即把多质点体系视为等效的单质点体系时的转换系数。
对单质点体系，ξ＝1；如为无穷多质点体系，ξ＝；对单质点体系，即ξ＝
3、各质点水平地震作用标准值的计算（ Fi ）
由于结构在水平地震作用下的位移反应以基本振型为主，故各质点的水平地震作用Fi近似取等于Fi1(对应于基本振型的各质点水平地震作用)，则由
得到： Fi=F1i=α1γ1X1iGi
而且，基本振型近似为直线，故质点的水平相对位移幅值X1i，与质点的计算高度Hi成正比，即X1i=ηHi，其中η为比例常数。
于是上式可写为：Fi=F1i=α1γ1ηHi Gi
则结构总水平地震作用可表示为：
而质点i的水平地震作用标准值
Gi、Gj——分别为集中于质点i、j的重力荷载代表值；
Hi、Hj——分别为质点i、j的计算高度。
4、顶部附加地震作用的计算（ △Fn ）
1）、顶部附加地震作用系数δn
当结构基本周期较长，特征周期Tg较小时，由于高阶振型的影响增大，且主要影响在结构上部，按质点i的水平地震作用标准值计算式计算时，结构顶部的地震剪力偏小，故须按顶部附加地震作用系数δn进行调整。
顶部附加地震作用系数δn
Tg(s)
T1>
T1 ≤
≤
T1+
0
< ～
T1+
0
>
T1—
0
2）、T1> 时各质点水平地震作用
《抗震规范》规定，当结构基本周期T1>1．4Tg时，将结构总地震作用的一部分作为集中力△Fn作用于结构顶部，
顶部附加的水平地震作用可取为：△Fn=δnFEk ；
再将余下的部分(1一δn) FEk按质点进行分配。
在考虑顶部附加水平地震作用影响，调整后，各质点水平地震作用可表示为
1、顶点的水平地震作用为：
2、其余各质点的水平地震作用为 ：
3）、鞭端效应
震害表明，局部突出屋面的小建筑如电梯机房、水箱间、女儿墙、烟囱等，它们的震害比下面主体结构严重。这是由于出屋面的这些建筑的质量和刚度突然变小，地震反应随之急剧增大的缘故。这种现象在地震工程中称为“鞭端效应”。这类小建筑地震反应强烈的程度取决于其与下面主体建筑物的质量比与刚度比，以及场地条件。为了简化计算，《抗震规范》提出，当房屋屋面有局部突出的小屋时，可将小屋上半部分的质量集中于其顶面，成为一个质点，用底部剪力法计算结构各质点的水平地震作用。但当计算这小屋的地震作用效应时，宜乘以增大系数3，但增大部分不应往下传递（计算以下各层地震剪力时不考虑 ）。
当房屋顶部有突出屋面的小屋时，上述附加的集中水平地震作用△Fn应置于主体房屋的顶层而不应置于小屋的顶部，主体房屋顶层处质点的地震作用按调整后(考虑δn影响)的顶点计算。小屋顶部处质点的地震作用按调整后的一般质点计算后，再乘以增大系数3 。
二、时程分析法
1、简介
反应谱法，是将地震对结构的作用用等效荷载来表示，并利用静力学分析的方法分析结构的地震作用及其效应。
优点：计算简便，
缺点：不能反映地震作用下的反应过程，尤其是在强烈地震作用下结构进入塑性状态时，基于弹性分析的反应谱法就不能得到真正的地震反应。
时程分析法：直接对结构的运动微分方程进行积分，当确定了地震时的地面运动加速度曲线 时，可以求得地震过程中每一时刻的结构地震反应。
时程分析法可以跟踪结构在地震时的整个反应过程，并能适用于结构的弹塑性地震反应分析。
2、时程分析法的 基本思路
方法的基本思路：将地震作用的整个过程划分为很多个小的微时段，对每一时段中结构的特性(如结构是处于弹性、弹塑性或塑性阶段)可以通过前面时段的结果来确定，并对结构在这一时段中的反应规律作数值上的假设，从而使计算简化，并求出该时段末时的结构反应，作为下一时段结构反应计算的基础。
较常用的时程分析法有：线性加速度法、威尔逊(Wilson) 法和纽马克(Newmark) 法。
3、时程分析法（线性加速度法）简介
首先将整个地震时程划分为一系列的微小时段，每一时段的长度称为步长，记为 。在线性加速度法中，假设质点的加速度在任一时段内的变化为线性关系，如左图所示。
设巳求了第i+1时段以前的各时段始末端 时刻( 也同时为第i+1时段的始端)质点的位移、速度和加速度。在 时刻质点的位移、速度和加速度分别记为 。
因为在第i+1时段内加速度是线性变化的，这一时段内任一时刻 的加速度 可写成：
将上式对 积分，得：
令 则得到：
和
由单自由度体系的运动微分方程得：
上述三式给出了 时刻地震反应（ ）和 时刻的地震反应（ ）之间的关系。
当 已知时，上述三式也可看作是求解
的方程组。
4、多自由度体系的时程分析
对于多自由度体系的时程分析，其原理与单自由度体系基本相同。根据要求计算的结果和采用运动微分方程形式的不同，对多自由度体系进行时程分析可采用以下两种方法。
（1）、振型分解时程分析法：当只需计算前几个振型的地震反应的影响时，采用此法比较经济。这种方法先将运动微分方程组按振型分解成n个单自由度振子的运动微分方程，并按上述的时程分析方法来解。最后对各振型的地震作用效应进行组合，得到体系的地震作用效应。
（2）、直接对运动微分方程组进行逐步积分求解，主要用于求解非线性体系的地震作用效应。
由于时程分析法的计算工作量很大，因此必须采用计算机来进行数值计算。
§3-7 水平地震作用下的扭转效应
《抗震规范》规定，结构考虑水平地震作用的扭转影响时，可采用下列方法：
1．规则结构不进行扭转耦连计算时，平行于地震作用方向的两个边榀，其地震作用效应宜乘以增大系数。一般情况下，短边可按采用，长边可按采用；当扭转刚度较小时，按不小于采用。
2．按扭转藕连振型分解法计算时，各楼层可取两个正交的水平位移和一个转角共三个自由度，并应按公式计算地震作用和作用效应。
3 ．确有依据时，尚可采用简化计算方法确定地震作用效应。
一、第j振型第i层的水平地震作用标准值
第j振型第i层水平地震作用标准值，按下列公式确定：
分别表示第j振型第i层的x方向、y方向和转角t方向的地震作用标准值。
二、考虑单向水平地震作用下的扭转效应
考虑单向水平地震作用下的扭转效应，可按下列公式确定：
三、考虑双向水平地震作用下的扭转效应
考虑双向水平地震作用下的扭转效应，可按下列公式的较大值确定
§3-8 结构的竖向地震作用
各国现行抗震设计规范对竖向地震作用都有所反映。我国《抗震规范》规定，8度和9度时的大跨结构、长悬臂结构、烟囱和类似高耸结构，9度时的高层建筑，应考虑竖向地震作用。
对于竖向地震作用的计算，我国《抗震规范》根据建筑类别不同，分别采用竖向反应谱法和静力法：
1、9度时的高层建筑，其竖向地震作用标准值可按反应谱法计算。
2、对平板型网架屋盖、跨度大于24m屋架、长悬臂结构及其他大跨度结构的竖向地震作用标准值，可按静力法计算。
一、竖向反应谱法
1、竖向反应谱
由统计分析结果表明，各类场地的竖向反应谱βv与水平反应谱βH相差不大。因此，在竖向地震作用计算中，可近似采用水平反应谱。另据统计，地面竖向最大加速度与地面水平最大加速度比值为1／2～2／3。对震中距较小地区宜采用较大数值。所以，竖向地震系数与水平地震系数之比取kV／kH=2／3。因此，竖向地震影响系数
其kV、kH分别为竖向和水平地震系数；βV、βH分别为竖向和水平动力系数；αV、αH分别为竖向、水平地震影响系数。
竖向地震影响系数，可取水平地震影响系数的。
2、竖向地震作用计算
研究表明，高层建筑和高耸结构取第一振型竖向地震作用作为结构的竖向地震作用时误差不大，而第一振型接近于直线，于是，质点i 上的竖向地震作用标准值可写成
结构总竖向地震作用标准值
或
Gi——第i质点重力荷载代表值；
Hi——第i质点的高度
二、静力法
《抗震规范》规定，对平板型网架屋盖、跨度大于24m屋架、长悬臂结构及其他大跨度结构的竖向地震作用标准值，可静力法计算：
式中：λ——竖向地震作用系数
（取值见教材表3-10）
Gi——结构、构件重力荷载代表值。
§3-9 结构自振周期的近似计算
按振型分解法计算多质点体系的地震作用时，需要确定体系的基频和高频以及相应的主振型。从理论上讲，它们可通过解频率方程
………………………
得到。但是，当体系的质点数多于三个时，手算就感到困难。因此，在工程计算中，常常采用近似法。
一、瑞利（Rayleigh）法
二、折算质量法
三、顶点位移法
四、矩阵迭代法
一、瑞利（Rayleigh）法
这个方法是根据多质点弹性体系在自由振动过程中，总能量保持不变即能量守恒原理导出的，是一种只能用于求解多质点弹性体系基本频率或基本周期的近似方法。
基本频率的近似计算公式
结构的基本周期为
Gi——质点i的重力荷载(kN)，Gi =mig；
ui——在各假设水平荷载Gi共同作用下，质点i处的水平弹性位移(m)。
瑞利（Rayleigh）法示意图
Gi——质点i的重力荷载(kN)，Gi =mig；
ui——在各假设水平荷载Gi共同作用下，质点i处的水平弹性位移(m)。
三、顶点位移法
顶点位移法是最常用的一种求结构体系基本周期的近似方法。
基本原理：将结构按其质量分布情况化成有限个质点或无限个质点的悬臂直杆，以结构顶点位移来表达体系的基本周期。
考虑一质量均匀的悬臂直杆(如左图)，杆单位长度的质量为 ，相应重力荷载为 。
1、杆按弯曲振动
若杆按弯曲振动，则其基本周期可按下式计算
悬臂直杆在均布重力荷载q水平作用下，弯曲变形时的顶点位移为
这样
2、 杆按剪切振动
若杆按剪切振动，则其基本周期为
悬臂直杆在均布重力荷载q水平作用下，剪切变形时的顶点位移为
这样，
3、体系按弯剪振动
若体系按弯剪振动，而相应弯剪变形时的顶点位移为△bＥ，则其基本周期可按下式计算
上式亦可用于计算一般多层框架结构的基本周期，只须求得框架在集中于楼(屋)盖的重力荷载水平作用时的顶点位移即可。
上述诸公式中，△的单位为m，Ｔ的单位为s。
§3-10 地震作用计算的一般规定
一、各类建筑结构地震作用的规定
二、各类建筑结构的抗震计算
一、各类建筑结构地震作用的规定
(1)一般情况下，可在建筑结构的两个主轴方向分别考虑水平地震作用并进行抗震验算，各方向的水平地震作用应由该方向抗侧力构件承担。
(2)有斜交抗侧力构件的结构，当相交角度大于15°时，应分别考虑各抗侧力构件方向的水平地震作用。
(3)质量和刚度分布明显不对称的结构，应考虑双向水平地震作用下的扭转影响；其他情况，宜采用调整地震作用效应的方法考虑扭转影响。
(4)8度和9度时的大跨度结构、长悬臂结构，9度时的高层建筑，应考虑竖向地震作用。
二、各类建筑结构的抗震计算
(1)高度不超过40m，以剪切变形为主且质量和刚度沿高度分布比较均匀的结构，以及近似于单质点体系的结构，宜采用底部剪力法等简化方法。
(2)除上述以外的建筑结构，宜采用振型分解反应谱法。
(3)特别不规则的建筑、甲类建筑和表3—11（教材—）所列高度范围的高层建筑，应采用时程分析法进行多遇地震下的补充计算，可取多条时程曲线计算结果的平均值与振型分解反应谱法计算结果的较大值。
§3-11 结构抗震验算
一、二阶段设计法
二、截面抗震验算
三、抗震变形验算
一、二阶段设计法
如前所述，在进行建筑结构抗震验算时，《抗震规范》采用二阶段设计法，即：
第一阶段设计：按多遇地震作用效应和其他荷载效应的基本组合验算构件截面抗震承载力，以及多遇地震作用下验算结构的弹性变形；
第二阶段设计：按罕遇地震作用下验算结构的弹塑性变形。
二、截面抗震验算
1、 结构构件的地震作用效应和其他荷载效应的基本组合，按下式计算：
式中 S——结构构件内力组合的设计值，包括组合的弯矩、轴向力和剪力设计值；
γG——重力荷载分项系数；γEh、γEv——分别为水平、竖向地震作用分项系数；γW——风荷载分项系数；
SGE——重力荷载代表值的效应，有吊车时，尚应包括悬吊物重力标准值的效应； SEhk——水平地震作用标准值的效应，尚应乘以相应的增大系数或调整系数； SEvk——竖向地震作用标准值的效应，尚应乘以相应的增大系数或调整系数；Swk——风荷载标准值的效应；
ΨW——风荷载组合系数，一般结构可不考虑，风荷载起控制作用的高层建筑应采用 。
2、结构构件的截面抗震验算
结构构件的截面抗震验算，采用：
式中：
γRE——承载力抗震调整系数，除另有规定外，
应按表3-14（承载力抗震调整系数）采用；
当仅计算竖向地震作用时，各类结构构件承载力抗震承载力调整系数均宜采用；
R——结构构件承载力设计值。
三、抗震变形验算
1、多遇地震作用下结构抗震变形验算
2、结构在罕遇地震作用下薄弱层的弹塑性变形验算
1、多遇地震作用下结构抗震变形验算
（1）、计算范围
下表所列各类结构应进行多遇地震作用下的抗震变形验算：
（2）、计算方法
楼层内最大弹性层间位移应符合下式要求：
式中： ——多遇地震作用标准值产生的楼层内最大
的弹性层间位移；
——弹性层间位移角限值；
h——计算楼层层高。
对于钢筋混凝土框架结构，第i层的层间最大弹性位移可表示为：
其中， 为第i层水平地震剪力标准值
为第i层所有柱的抗侧移刚度之和
2、结构在罕遇地震作用下薄弱层的弹塑性变形验算
（1）、计算范围
（2）、计算方法
（1）、计算范围
1)、下列结构应进行弹塑性变形验算：
1)8度Ⅲ、Ⅳ类场地和9度时，高大的单层钢筋混凝土柱厂房
的横向排架；
2)7-9度时楼层屈服强度系数小于0．5的钢筋混凝土框架结构；
3)高度大于150m的钢结构；
4)甲类建筑和9度时乙类建筑中的钢筋混凝土结构和钢结构；
5)采用隔震和消能减震设计的结构；
2)、下列结构宜进行弹塑性变形验算：
1)表3-11所列高度范围且属于表4—4所列竖向不规则类型的
高层 建筑结构；
2)7度Ⅲ、Ⅳ类场地和8度乙类建筑中的钢筋混凝土结构和钢
结构；
3)板柱-抗震墙结构和底部框架砖房；
4)高度不大于150m的高层钢结构。
（2）、计算方法
(1)简化方法
适用范围：不超过12层且层刚度无突变的钢筋混凝土框架结构、单层钢筋混凝土柱厂房可采用简化方法计算结构薄弱层(部位)弹塑性位移。
按简化方法计算时，需确定结构薄弱层(部位)的位置。结构薄弱层：指在强烈地震作用下结构首先发生屈服并产生较大弹塑性位移的部位。
(2)除适用简化方法以外的建筑结构，可采用静力弹塑性分析方法或弹塑性时程分析法等。
(3)规则结构可采用弯剪层模型或平面杆系模型；不规则结构应采用空间结构模型。
第三章 地震作用和结构抗震验算小结
A、课程内容
B、重点和难点
C、基本要求
A、课程内容
§3-1 概述
§3-2 单自由度弹性体系的地震反应
§3-3 单自由度弹性体系的水平地震作用——地震反应谱法
§3-4 多自由度弹性体系的地震反应
§3-5 多自由度弹性体系的水平地震作用——振型分解反应谱法
§3-6 底部剪力法和时程分析法
§3-7 水平地震作用下的扭转效应
§3-8 结构的竖向地震作用
§3-9 结构自振周期的近似计算
§3-10 地震作用计算的一般规定
§3-11 结构抗震验算
B、重点和难点
重点和难点：
1、重要术语、概念、定义
2、单（多）自由度体系地震反应和地震作用计算
3、振型分解反应谱法
4、底部剪力法
5、结构抗震验算
C、基本要求
基本要求：
一、掌握
1、重要术语、概念、定义
2、单（多）自由度体系地震反应和地震作用计算
3、振型分解反应谱法
4、底部剪力法
5、结构抗震验算掌握结构抗震验算基本方法
二、能回答与本章课程内容有关的思考题
三、能熟练演算与课程内容有关的例题
经过大量计算资料的统计分析表明，当结构体系各质点重量相等，并在高度方向均匀分布时，ξ=(n+1)／(2n+1)，n为质点数。如为单质点体系(即单层建筑)，ξ＝1；如为无穷多质点体系，ξ＝，《抗震规范》取中间值，即ξ＝，
