2025/1/17
第3章 连续时间傅里叶分析
傅里叶分析的意义
周期信号的傅里叶级数分析
非周期信号的傅里叶变换分析
连续时间LTI系统的频域分析
信号的抽样
* 希尔伯特变换
傅里叶分析的意义
单频信号分离
图 时域信号的叠加: (a)do音; (b)mi音; (c)sol音; (d)do mi sol同
奏
2025/1/172/145
傅里叶分析的意义
从离散信号恢复原来的连续时间信号？
目前很多信号都是由连续信号抽样得到的离散信号，通过数字设备
进行存储和处理。
“丢弃”了连续信号在很多时间点上的函数值后，我们还能够从这
样的离散信号恢复原来的连续时间信号吗？
傅里叶级数和傅里叶变换：从一个新的角度（频域的角度）认识信
号，按照频率进行“过滤” ，分离出单音信号
抽样定理：在什么条件下能从离散化信号恢复原连续信号的问题。
2025/1/173/145
周期信号的傅里叶级数分析
周期信号的傅里叶级数展开
指数函数展开式
周期为 T 的周期信号 xT(t) 可以表示成指数函数傅里叶级
数：
上式两边同乘并在任意一个周期内积分
2025/1/174/145
周期信号的傅里叶级数分析
上式右端求和只有k = n时的一项为非零值，因此右端可化简
为 ：
从而有
指数展开的傅里叶级数系数
2025/1/175/145
周期信号的傅里叶级数分析
【例3-1】图(d)音乐信号的傅里叶级数分析。
图(d)中x1+3+5(t)称为和弦信号。记和弦信号的周期为T（对应于ω0
），音阶信号的周期为T1,T3,T5。由图可以看出T = 4T1= 5T3= 6T5，
即ω1 = 4ω0， ω3 = 5ω0， ω5 = 6ω0。因此和弦信号可以表示为
利用欧拉公式上式可写为
对照展开式，可知其展开式系数ck为
其余ck为0
2025/1/176/145
周期信号的傅里叶级数分析
【例3-2】试求图(a)给出的周期信号δT(t)的傅里叶级数展开式
【解】利用展开公式
因此，δT(t)的傅里叶级数展开式为
图(a) 周期冲激信号; (b)周期冲激信号的频谱
2025/1/177/145
周期信号的傅里叶级数分析
【例3-3】周期矩形脉冲信号xT(t)如图(a)所示，其脉幅为1，脉宽为2 ，脉
冲重复周期为T1，求其傅里叶级数系数ck。假定T1= 1, T= 8时，绘出ck序列
的波形图。
图 (a)周期方波信号; (b) 2T1= 2, T= 8 的ck曲线
,
2025/1/178/145
周期信号的傅里叶级数分析
【解】为便于计算，积分周期取为[-T/ 2, T/ 2]，则积分限为[- T1, T1]：
所以该周期脉冲信号的展开式为
T1= 1, T= 8时，ck序列如下，波形如图(b)所示
2025/1/179/145
周期信号的傅里叶级数分析
讨论
谱线间隔—信号分量的频率间隔
图(b)中的横坐标是k，可以看到是kω0一个“整体”，不同的k
值意味着不同的频率信号分量。每个值对应的称为一条谱线，相
邻谱线的间隔为ω0 。当给定周期T后，谱线间隔就固定了。 T值越
大，谱线间隔越小，谱线越密。
谱线的包络线及其零点位置
若用连续变量ω替换kω0 ，则得到连续函数2T1Sa(ωT1) /T，称其
为谱线的包络线。当ωT1 = m时Sa(ωT1) =0，因此谱线包络的零
点位置为
方波信号的周期决定了谱线间隔，脉宽决定了包络线的零点位置
2025/1/1710/145
周期信号的傅里叶级数分析
三角函数展开式
对指数展开式进行如下变形
即
其中 A0 = c0，Ak = 2|ck| (k ≥0)
一个周期信号可以分解为直流信号分量和一系列正弦信号分量的叠
加，其中k = 1时的正弦分量称为基波分量， k ≥2时称为谐波分量， k
= m时称为m次谐波分量。
2025/1/1711/145
周期信号的傅里叶级数分析
【例3-4】写出例3-3所示周期方波信号的三角函数展开式。如果方波的参数
为T1 = 1, T =8，绘出各频率分量的信号幅度Ak和相位θk随k变化的波形图。
【解】由例3-3可知ck为k的实函数，由于正实数的幅角为0，负实数的幅角为
π或-π， ck的模和相角可以写为
因此，周期方波的三角函数展开式为
可以看到正弦信号的幅度是2| ck |，依据图(b)不难绘出, T1 = 1, T =8时的
幅度和相位波形，分别如图(b)和(c)所示。
2025/1/1712/145
周期信号的傅里叶级数分析
图 (a)傅里叶级数系数; (b)各频率分量的幅度; (c)各频率分量的相位
2025/1/1713/145
周期信号的傅里叶级数分析
常用周期信号的傅里叶级数展开
图 锯齿波、三角波、方波和周期冲激信号的幅频特性比较
2025/1/1714/145
周期信号的傅里叶级数分析
复指数展开式系数的基本性质
性质1. 若周期信号xT(t)为实函数，则ck具有共轭对称性
【证明】由ck的定义：
[ck的定义]
[共轭运算的性质]
[x(t)为实函数， x*(t) = x(t)]
[对照ck的定义
]
2025/1/1715/145
周期信号的傅里叶级数分析
性质2. 若周期信号xT(t)为实函数，则ck的模是k的偶函数，
ck的相位是k的奇函数，即
【证明】令 ，由性质1可知 ：
对比等式两边，性质即可得证
2025/1/1716/145
周期信号的傅里叶级数分析
性质3. 若周期信号xT(t)是实偶函数，则ck是k的实偶函数，
即
（实函数）， （偶函数）
【证明】由性质1知c-k = ck*，因此只要证明c-k = ck ，则有c-
k = ck = ck* 成立。
[定义式中令-k替换k]
[积分变量代换：令 t = -t’]
[x(t)为偶函数；改变积分限]
[对照定义式]
2025/1/1717/145
周期信号的傅里叶级数分析
图 对称方波周期信号的傅里叶级数系数 (a) ck; (b) |ck|; (c) θk
2025/1/1718/145
周期信号的傅里叶级数分析
周期信号的频谱
幅频特性和相频特性信号的频域描述
对于给定周期的周期信号，当直流分量A0及各正弦分量的幅值Ak
和相角θk确定后，该周期信号就被完全确定了。换句话说，周期信
号各分量的幅值Ak和相角θk随频率kω变化的规律是在频域中对周期
信号的充分描述。这一频域中的描述称为周期信号的频谱或频谱特
性。
类似图(b)中，给出信号频率成分构成及各频率分量的幅度Ak大小
的图，称之为幅频特性图 ，类似图(c)中，给出信号各频率分量的
初相位大小的图，称之为相频特性图。
2025/1/1719/145
周期信号的傅里叶级数分析
周期信号频谱的特点
任何周期信号的频谱都具有离散性和谐波性
常见周期信号的频谱具有衰减性和无限大带宽
时域中信号的跳变会产生丰富的高频分量
信号的有效带宽
实际信号处理设备或系统只能处理一定带宽内的频率分
量，在该带宽内所有信号分量的合成能够体现原来信号
的主要特征，这就是所谓的有效带宽。
对于方波信号，通常选取直流到频谱包络线的第一个零
点( f = 1/2T1 )之间的频带宽度作为其有效带宽，即
(方波有效带宽=1/方波脉宽)
2025/1/1720/145
周期信号的傅里叶级数分析
关于傅里叶级数的几点补充
狄里赫利条件
在一个周期内xT(t)必须绝对可积。
在一个周期内xT(t)的极大值和极小值数目是有限的。
在一个周期内xT(t)只能有有限个不连续点，且在这些不连
续点上的函数值必须是有限的。
傅里叶级数的收敛值和不连续函数的表示
若周期信号xT(t)在t0点处连续，则傅里叶级数在处收敛于原
函数值xT(t0) ；若在处不连续，傅里叶级数将收敛于xT(t)在
t0处的左极限和右极限的平均值。
2025/1/1721/145
周期信号的傅里叶级数分析
周期信号的重构和吉布斯现象
当用直流和前N项正弦分量重构一个理论上为无限带宽的周期信号时，
有限项的重构会存在误差， N愈大，愈逼近。
重构信号有振荡和过冲现象。然而过冲的幅度并不随N的增大而减
小，总是约为跳变幅度的9%左右，如图所示。即使N→∞，重构
信号在方波上下跳沿处仍有过冲，这就是吉布斯(Gibbs)现象。
N=10 N=30 N=100
图 方波吉布斯现象
2025/1/1722/145
非周期信号的傅里叶变换分析
非周期信号的傅里叶变换表示
正变换定义
当周期时T→∞，周期信号xT(t)将变成非周期信号x(t) ，同时的谱
线间隔ω0 → 0，即将由离散谱趋向于连续谱。然而
为了避开ck → 0问题，可以定义
2025/1/1723/145
非周期信号的傅里叶变换分析
图 (a)从周期信号到非周期信号; (b)从离散谱到连续谱
2025/1/1724/145
非周期信号的傅里叶变换分析
逆变换定义
考察傅里叶级数展开式，并注意到ω0T = 2π 有
当T →∞时， kω0 → ω，T ck → X(ω)，此谱线间隔ω0可用无穷小
量dω表示，求和变成积分， xT(t) → x(t)，则上式变为
傅里叶正变换、逆变换和变换对常用下列符号表示
傅里叶变换具有唯一性， X(ω)和x(t)是一一对应关系。
2025/1/1725/145
非周期信号的傅里叶变换分析
常见信号的傅里叶变换
【例3-5】求单个脉冲信号的傅里叶变换。
【解】 x(t)的波形参见图。根据傅里叶变换的定义有
即
图 方波信号及其频谱
2025/1/1726/145
非周期信号的傅里叶变换分析
【例3-6】求单边指数衰减信号x(t) = e-atu(t)的傅里叶变换。
【解】
即
可见X(ω)是复函数，其幅频特性和相频特性分别为
图 单边指数衰减信号及其频谱
2025/1/1727/145
非周期信号的傅里叶变换分析
【例3-7】求单位冲激函数δ(t)的傅里叶变换。
【解】
即
图 冲激信号及其频谱
2025/1/1728/145
非周期信号的傅里叶变换分析
【例3-8】求频域信号2πδ(ω)的傅里叶逆变换。
【解】
即
图 冲激信号及其频谱
2025/1/1729/145
非周期信号的傅里叶变换分析
【例3-9】求频域方波函数X(ω) = u(ω+W) - u(ω-W)的傅里叶逆变
换
【解】
图 频域方波函数及其对应时域波形
2025/1/1730/145
非周期信号的傅里叶变换分析
傅里叶变换的存在条件
傅里叶正逆变换都是定义在无穷区间上的积分。
如果x(t)满足绝对可积条件，即
则积分一定收敛，傅里叶变换一定存在。显然，绝对可积条件是
傅里叶变换存在的充分条件。
引入频域中的冲激函数δ(ω)后，理论分析和实际应用中的常见信号
均存在傅里叶变换表达式。
2025/1/1731/145
非周期信号的傅里叶变换分析
可以将变换定义式中，积分收敛的傅里叶变换称为狭
义傅里叶变换；而将该积分不收敛，但引入δ(ω)后仍可表
述的傅里叶变换称为广义傅里叶变换。
x(t)绝对可积，则其狭义傅里叶变换一定存在，且对于所有
的ω取值恒有 |X(ω)| < ∞ 成立。
x(t)虽不满足绝对可积条件，但其傅里叶变换可以借助频域
冲激函数δ(ω)表示，则其广义傅里叶变换是存在的。
信号功率趋于无穷大的信号，其广义傅里叶变换也不存在。
2025/1/1732/145
非周期信号的傅里叶变换分析
【例3-10】求符号函数 的傅里叶变换。
【解】sgn(t)不满足绝对可积条件，直接利用傅里叶变换定义式求解
会有积分的困难，为此构造一个双边指数衰减奇函数
图 双边指数衰减奇函数与符号函数
2025/1/1733/145
非周期信号的傅里叶变换分析
当a → 0时， x(t) → sgn(t) 。因此可以先求x(t)的傅里叶变换：
当ω = 0时， F {sgn(t)}=0 ，因此
简便起见，常只用主体函数代替
2025/1/1734/145
非周期信号的傅里叶变换分析
傅里叶变换的性质X(ω)的特点
性质1. 共轭对称性 若x(t)为t的实函数，则X(ω)满足
【证明】
[定义式两边取共轭]
[共轭运算的性质]
[x*(t) = x(t)]
[与定义式对比可得]
2025/1/1735/145
非周期信号的傅里叶变换分析
性质2. 若x(t)为t的实函数，则
幅频特性是ω的偶函数，相频特性是ω的奇函数，即
X(ω)实部XR(ω)是ω的偶函数，虚部XI(ω)是ω的奇函数，即
2025/1/1736/145
非周期信号的傅里叶变换分析
性质3. 若x(t)为t的实偶函数，则X(ω)是ω的实偶函数，即
（实函数）
（偶函数）
性质4. 若x(t)为t虚函数（即x(t) = jf(t)，f(t)为t的实函数），
则
2025/1/1737/145
非周期信号的傅里叶变换分析
性质5. 帕斯瓦尔(Parseval)定理 时域信号和频域函数具
有相同的能量，即
【证明】考虑更一般的复数信号情形：
[复数的性质]
[x(t)用傅里叶逆变换表示
]
[交换积分次序]
2025/1/1738/145
非周期信号的傅里叶变换分析
傅里叶变换的性质信号运算的傅里叶变换
性质1. 线性 若
， ，a1,a2为常数，
则
【例3-11】求阶跃函数u(t)的傅里叶变换
【解】参见图，可以看成符号函数和直流函数的叠加：
图 符号函数及其分解
2025/1/1739/145
非周期信号的傅里叶变换分析
根据傅里叶变换的线性性质有
即
需注意，对上式的准确理解应为
2025/1/1740/145
非周期信号的傅里叶变换分析
性质2. 时移特性 若
，则
(t0为常数)
【证明】 根据傅里叶逆变换定义：
与逆变换定义式对比知：
等价表述：
[用t-t0代替逆变换定义式中的t]
2025/1/1741/145
非周期信号的傅里叶变换分析
【例3-12】二进制数字通信系统中常用双极性的方波信号
表示0和1，码元波形如图(a)所示，求其傅里叶变换。
【解】如图所示，双极性脉冲可以分解为两个单极性脉
冲的叠加，即
图 双极性方波信号的分解
2025/1/1742/145
非周期信号的傅里叶变换分析
设对称方波g(t) = u(t+T/2) - u(t-T/2) ，则x1 (t)和x2 (t)是g(t)
和- g(t)的平移 ，即
根据傅里叶变换的线性和时移特性有
利用例3-5的结果，可知
因此
2025/1/1743/145
非周期信号的傅里叶变换分析
性质3. 时域微分特性 若
，则
(t0为常数)
【证明】对傅里叶逆变换式两边求导 ：
即
[x(t)用逆变换定义表示]
[交换微分和积分顺序]
[与逆变换定义式比较可得]
2025/1/1744/145
非周期信号的傅里叶变换分析
【例3-13】考察脉冲信号微分后高频分量的提升情况，参见图。
【解】由前面方波信号的傅里叶变换，并利用时移特性可得
利用时域微分特性知
方波信号和跳沿的幅频特性分别为
图 脉冲信号及其微分
[方波幅频特性] [跳沿幅频特性]
2025/1/1745/145
非周期信号的傅里叶变换分析
性质4. 时域积分特性 若
，则
其中X(0) = X(ω)|ω=0，当 X(0) = 0 时有
【例3-14】利用积分性质求单位阶跃函数的傅里叶变换。
【解】 , 这里x(t) = δ(t) , X(ω) = 1, X(0) = 1
所以
2025/1/1746/145
非周期信号的傅里叶变换分析
【例3-15】求图(a)所示三角波信号的傅里叶变换。
【解】记 ，方波信号为g(t) = u(t+T/4) - u(t-T/4)
，脉宽为T/2。由图可知y(t) = 2[g(t+T/4) - g(t-T/4)]/T
，两边取傅里叶变换得
图三角波及其微分
[时移特性]
2025/1/1747/145
非周期信号的傅里叶变换分析
由于 且 Y(0) = 0 ，根据时域积分特性知
如果要利用时域积分性质求F {y(t)}，则必须有y(-∞) = 0成
立。
当y(-∞) ≠ 0时，可将该常数项移去后再应用时域积分性质。
[利用例3-5结论和欧拉公式]
2025/1/1748/145
非周期信号的傅里叶变换分析
【例3-16】利用时域积分性质求符号函数的傅里叶变换。
【解】设y(t) = sgn(t) ， x(t) = y’(t) = sgn’(t) = 2δ(t)的傅里叶
变换易求。但不能直接对y(t)应用时域积分性质，因为y(-
∞) ≠ 0 。为此构造函数 z(t) = y(t) - y(-∞) = sgn(t) +1
此时z(-∞) = 0 ， z’(t) = 2δ(t)。对z(t)应用时域积分性质有
从而
2025/1/1749/145
非周期信号的傅里叶变换分析
性质5. 尺度变换特性 若
，则
【证明】 根据傅里叶变换定义
[变量代换λ = at ]
[对照定义式 ]
2025/1/1750/145
非周期信号的傅里叶变换分析
性质6. 时域卷积定理★ 若
， ，则
【证明】根据卷积积分定义和傅里叶变换定义：
[交换积分次序]
[傅里叶变换时移特性]
2025/1/1751/145
非周期信号的傅里叶变换分析
【例3-17】时域积分性质的证明。
【证明】根据卷积积分定义有
因此
[时域卷积定理,
代入u(t)的傅里叶变换]
[δ(·)函数的性质]
2025/1/1752/145
非周期信号的傅里叶变换分析
性质7. 对偶性 若 ，
则
【证明】在傅里叶逆变换定义中，将变量 t 换为 –t 得 ：
作为数学函数，显然上式中自变量符号 t 和 ω 可交换，且两边同
乘2π，则有
将上式与傅里叶变换定义式比较，则知对偶性成立。
2025/1/1753/145
非周期信号的傅里叶变换分析
【例3-18】利用对偶性求的Sa(ωct)傅里叶变换。
【解】令g(t) = u(t+T1) - u(t-T1)， g(t) = g(-t)。由方波的傅里
叶变换（例3-5）可知
根据对偶性得
令T1 = ωc且上式两边同除以2ωc，则
在系统的频域分析中更为有用的结论是上式的变形（理想
低通）
2025/1/1754/145
非周期信号的傅里叶变换分析
【例3-19】利用对偶性求频域阶跃函数u(ω)的逆变换。
【解】因为 ，根据对偶性知
又因为 （尺度变换特性推论），改变上
式ω的符号，则有
即
2025/1/1755/145
非周期信号的傅里叶变换分析
【例3-20】利用对偶性求频域符号函数 sgn(ω)的逆变换。
【解】因为 ，根据对偶性知：
因此
2025/1/1756/145
非周期信号的傅里叶变换分析
性质8. 频移特性 若
，则
【证明】根据傅里叶变换定义 ：
上式与傅里叶变换定义对比可知
2025/1/1757/145
非周期信号的傅里叶变换分析
【例3-21】求正弦信号sin(ω0t), cos(ω0t)的傅立叶变换。
【解】利用 和频移性质有
因此
类似可求得
2025/1/1758/145
非周期信号的傅里叶变换分析
【例3-22】在二进制数字通信系统中，常用图(a)所示的方波
g(t)表示1或0，但g(t)通常难以进行无线传输。为了便于无线发射，
可用一段时间内的高频正弦波表示1或0，如图(c)的x(t)波形所
示，现求x(t)的傅里叶变换。
图 数字调制及其频谱变化
2025/1/1759/145
非周期信号的傅里叶变换分析
【解】如图所示， x(t)可以表示成
x(t) = g(t)cos(ω0t)
所以
利用频移性质得
其中G(ω)为 G(ω) = 2T1Sa(ωT1)
因此
x(t)乘cos(ω0t)的过程称为调制，它将的频谱搬移至±ω0处
（图(e)）。
2025/1/1760/145
非周期信号的傅里叶变换分析
性质9. 频域微分特性 若
，则
【证明】傅里叶变换式两边对ω求导 ：
与傅里叶变换定义式对比知频域微分特性成立
[交换求导和积分的次序]
2025/1/1761/145
非周期信号的傅里叶变换分析
【例3-23】求x(t) = te-atu(t)的傅立叶变换。
【解】由例3-6结论可知
根据频域微分性质知
因此
该题也可利用时域卷积定理求解
2025/1/1762/145
非周期信号的傅里叶变换分析
性质10. 频域积分特性 若
，则
其证明将在频域卷积定理后的例3-26给出。
性质11. 频域卷积定理
若 ，
，则
2025/1/1763/145
非周期信号的傅里叶变换分析
【证明】根据傅里叶变换的定义有 ：
如果函数X1(ω)带限于[W1L, W1H]， X2(ω)带限于[W2L, W2H]。
那么卷积后函数的频率范围将为 [W1L+ W2L, W1H + W2H]。
因此时域信号的相乘，可能会导致频谱带宽的扩展。
[交换积分次序]
[x1(t)用逆变换表示]
2025/1/1764/145
非周期信号的傅里叶变换分析
【例3-24】假设信号含有100Hz800Hz的频率分量，含有
200Hz 600Hz的频率分量，试确定乘积后信号的最低频率
和最高频率。
【解】最低频率为100+200=300Hz；最高频率为
800+600=1400Hz
【例3-25】试利用频域卷积定理证明频移特性
【解】记x1(t) = x (t), x2(t) = e jω0t，其傅里叶变换分别为
根据频域卷积定理知
2025/1/1765/145
非周期信号的傅里叶变换分析
【例3-26】试利用频域卷积定理证明频域积分特性。
【证明】先推导所需的预备结论。 由 可知
[对偶性]
由卷积定义
根据频域卷积定理有
[冲激函数性质]
[u(ω)逆变换代入上式]
2025/1/1766/145
非周期信号的傅里叶变换分析
傅里叶变换的性质小结
加深对信号时域及频域特性的认识
时域与频域的对偶性时频分析中的一个重要概念
由傅里叶变换定义的对偶性导致，对偶性不仅仅存在于信号本身，
傅里叶变换的性质也是成对出现。
时限信号一定具有无限带宽
带限频谱一定对应无限时宽信号
利用性质解决较为复杂的频谱求解和频域分析问题
频域函数的求解方法是灵活多样的，傅里叶变换性质为傅里叶
变换求解提供了更多灵活和便捷的方法。一个问题常可以用多种
方法进行求解，究竟使用哪个性质，不仅取决于问题本身，同时
还与掌握公式和有关内容的熟悉程度有关。
2025/1/1767/145
非周期信号的傅里叶变换分析
【例3-27】对于图(a)所示的三角波，可以用多种方法求其傅里叶变换。
解法一 ：直接用定义积分计算。（积分计算复杂，要求数学计算能力）
解法二 ：先定义计算微分信号x’(t)的傅里叶变换，再利用积分性质求三角波
信号x(t)的傅立叶变换。（积分略简单，要求熟悉微分、积分性质）
解法三 ：利用方波信号的傅里叶变换和时移性质，计算x’(t)的傅里叶变换，
再利用积分性质求x(t)的傅立叶变换。（要求熟悉方波傅里叶变换，时移性
质，微分、积分性质）
图 (a)三角波; (b)三角波的一次导数; (c)三角波的二阶导
数
2025/1/1768/145
非周期信号的傅里叶变换分析
解法四 ：将三角波微分两次得到冲激信号构成的x”(t)，冲激函数的傅里叶变
换式比较简单，再利用时移性质和时域积分性质求解，具体过程如下。
利用时域积分性质关系得
（要求熟悉冲激信号傅里叶变换，时移性质，微分、积分性质）
2025/1/1769/145
非周期信号的傅里叶变换分析
解法五 ：三角波x(t)可以看成两个方波脉冲信号的卷积，如图所示，即
由方波信号的傅里叶变换公式知
根据时域卷积定理得
（要求熟悉常见信号的时域卷积，方波信号傅里叶变换，时域卷积性质）
图 将三角脉冲表示为两个矩形脉冲的卷积
2025/1/1770/145
非周期信号的傅里叶变换分析
傅里叶变换也可以用于系统零状态响应求解
对系统微分方程两边进行傅里叶变换，利用傅里叶变换的微分
性质，可以将时域的微分方程，变换为频域的普通代数方程。通
过在频域求解代数方程，即可得到系统响应的频域解。再进行逆
变换，就可以系统的零状态响应。该频域信号通常表现为jω的有
理分式，可以利用部分分式展开法求解，下面以一简单例子说明。
【例3-29】设 ，求其逆变换。
【解】可以分解为下列两个部分分式之和
两边取傅里叶逆变换得
2025/1/1771/145
非周期信号的傅里叶变换分析
周期信号的傅里叶变换
周期信号的傅里叶变换
设周期信号xT(t)的周期为T， xT(t)的傅里叶级数展开式为
两边同取傅里叶变换
代入F {e jω0t} = 2πδ (ω – kω0) 得
周期信号的傅里叶变换是由冲激函数构成的，这些冲激函数出现在kω0
处，对应的冲激强度为2πck。ck为xT(t)的傅里叶级数系数
2025/1/1772/145
非周期信号的傅里叶变换分析
图 周期方波信号 (a) 时域波形 (b) 傅里叶级数 (c) 傅里叶变
换
2025/1/1773/145
非周期信号的傅里叶变换分析
【例3-30】求图左图所示周期冲激信号的傅里叶变换。
【解】δT(t)的傅里叶级数展开系数为
由前面周期信号傅里叶变换结论可知， δT(t)的傅里叶变换为
图 周期冲激信号及其傅里叶变换
2025/1/1774/145
非周期信号的傅里叶变换分析
周期信号傅里叶级数和非周期信号傅里叶变换之间的关
系
设x(t)为非周期信号，其傅里叶变换为X(ω)。若x(t)将作周期为T的
周期延拓，构成设周期信号xT(t)，如图所示，显然有
图 非周期信号的周期延拓
2025/1/1775/145
非周期信号的傅里叶变换分析
周期信号xT(t)的傅里叶级数系数可以写为
另一方面， x(t)的傅里叶变换为
比较上述两式可以看出
需要注意的是上式给出的关系不是同一个信号，它是图所示两
个信号之间的频谱关系 （非周期信号和其周期延拓得到的周期信号）。
2025/1/1776/145
非周期信号的傅里叶变换分析
【例3-31】求图(a)周期三角波的傅里叶级数展开式系数ck。
【解】对于一些周期信号，直接根据傅里叶级数系数的定义式求，其积分
过程往往很复杂。利用傅里叶变换和傅里叶级数的关系求会简便很多，因
为我们对傅里叶变换更熟悉，有更多的已有结论可用。由例3-15知，单个
三角波的傅里叶变换为
因此，周期三角波信号的傅里叶级数系数为为
图 (a) 周期三角波及其傅里叶级数
2025/1/1777/145
非周期信号的傅里叶变换分析
周期信号傅里叶变换两种表达式的等价性
周期信号也可以用非周期信号的周期延拓表示，即
上式两边取傅里叶变换，并应用傅里叶变换的时域平移性
质可得
同时
上述两种表达式，为同一信号的傅里叶变换，由傅里叶变
换的一一对应特性，可知上述两种表达式等价
2025/1/1778/145
非周期信号的傅里叶变换分析
傅里叶变换与信号频谱
傅里叶变换的核心思想：
非周期信号分解为无穷小正弦信号的叠加
周期信号傅里叶级数：
非周期信号傅里叶变换：
2025/1/1779/145
非周期信号的傅里叶变换分析
考虑到实信号x(t)幅相特性|X(ω)|为偶函数，相频特性()为奇函数。
上式虚部为奇函数在对称区间积分，积分为零。实部为偶函数在对称区
间上的积分，积分为单边区间的2倍。所以
积分也是一种求和，为了便于概念的理解，可将上式改写
为 ：
因此从信号分析角度可以这样解释信号的傅里叶变换：一个能量有
限的非周期信号可以看成是由无穷多个、频率连续变化的、各分量实际
幅度为无穷小量|X()|d/、各分量幅度之间相对大小关系由|X()|确定、
各分量相位由()确定的正弦信号的叠加。图示意了这一概念。
2025/1/1780/145
非周期信号的傅里叶变换分析
能量有限信号，其直流分量就是函数的均值，即
能量有限信号，直流分量的幅度必定是一个无限趋于零、但不等于零
的无穷小量 。其他各个频率分量类似
图 能量有限信号的正弦波分解
图 (a)方波信号的直流分量; (b)单边指数衰减信号的直流分量
2025/1/1781/145
非周期信号的傅里叶变换分析
综上所述
非周期信号傅里叶变换的模值并不是信号分量的实际幅度大小
实际幅度为无穷小
不同频率点的取值反映的是它们之间的相对大小
简言之，傅里叶变换X()是描述无穷小量的函数。
频域冲激函数表示的信号频谱
由于傅里叶变换X()是描述无穷小量的函数，当信号x(t)中某个频率
分量实际幅度大小不是无穷小，而是某个有限值时，它只能用无穷
大来表示（有限值相对于无穷小量则为无穷大），即必须借助冲激
函数才能表述。
2025/1/1782/145
非周期信号的傅里叶变换分析
【例3-32】设下图是某个信号的傅里叶变换，试确定所含有的频率分量、
各分量信号的实际幅度大小和信号的表达式。
【解】从图可知信号含有三个频率分量：直流、10Hz和30Hz正弦波。
各分量的幅度：直流幅度为1/2=；10Hz正弦分量幅度为
2/(2)=；30Hz正弦分量幅度为2/(2)=。信号的频
谱表达式为
信号的表达式为
2025/1/1783/145
非周期信号的傅里叶变换分析
相频特性和附加相移
相频特性()的物理含义：它是信号在处频率分量的
初相角。由傅里叶变换的时域平移性质可知
因此，信号x(t)在时域中的延时会改变其相频特性，产
生附加相移-t0。类似的有
式表明： x(t)在时域中整体延时t0就是每一个频率分量均延时t0。
反之，如果x(t)的各频率分量在传输过程中时延不等，或附加相移和
频率不是负斜率线性关系-t0 ，信号波形就会产生失真。
2025/1/1784/145
非周期信号的傅里叶变换分析
非周期信号频谱的特点
非周期信号频谱的基本特点是连续谱，即可连续取值。
和周期信号类似，很多非周期信号的频谱也具有无限频带
宽度和高频衰减的特征。
非周期信号的幅频特性|X()|反映的是各分量幅度的相对大
小，各分量的实际幅度是一个趋于零（但不等于零）的无
穷小量。
若信号在某个频率点上含有实际幅度不为无穷小的分量，
则其傅里叶变换在该频率点上会出现频域冲激函数。
2025/1/1785/145
非周期信号的傅里叶变换分析
乘法调制的频谱分析
应用频域卷积定理可以分析通信系统中乘法调制信号
的频谱。信号在无线发送前需要调制的主要目的是解决
电磁波的有效辐射问题。
乘法调制（图(a)），其原理是将基带信号x(t)和高频
载波信号cos0t相乘即可。调制后信号频谱为
2025/1/1786/145
非周期信号的傅里叶变换分析
图 (a)乘法调制; (b)未调制信号频谱X() ; (c)调制后信号频谱Xm()
2025/1/1787/145
非周期信号的傅里叶变换分析
相干解调
如果再将xm(t)乘以cos0t ，即xd(t) = xm(t)cos0t ，则其频
谱为
由图可以看出，只要取出xd(t)中的低频部分，则可以
得到话音信号的频谱X() ，这就是相干解调的基本原理。
乘法调制与解调只是调制技术中的一种。
2025/1/1788/145
非周期信号的傅里叶变换分析
图 相干解调及其频谱分析
2025/1/1789/145
连续时间LTI系统的频域分析
连续时间LTI系统的频域表示
系统的频率响应特性
由第2章时域分析知LTI系统的零状态响应为
两边取傅里叶变换并应用时域卷积定理得
因此，h(t)的傅里叶变换H()在频域中充分表征了一个LTI系统，
称为系统的频率响应特性或频率响应函数。一般为复函数，写为模
和幅角的形式：
其中|H()|称为系统的幅频特性，称()为系统的相频特性。
2025/1/1790/145
连续时间LTI系统的频域分析
为了理解H()的物理含意，现考察LTI系统在正弦信号激励下的响应。
设激励为x(t) = Acos(0t+ ) ， h(t)为实函数，系统输出y(t) = x(t)* h(t)可
计算如下：
[欧拉公式]
[h(t)为实函数H()共轭对称]
2025/1/1791/145
连续时间LTI系统的频域分析
因为傅里叶变换将任意信号分解为正弦信号的叠加这一分析具
有一般性。
由上式看到，LTI系统在正弦信号激励下的响应仍为一个正弦
信号（复指数信号也一样），只是系统输出的正弦信号幅度和相
位被进行了修正。
对不同的输入信号频率0 ， |H(0)|和(0)的取值不同，则输入
正弦信号的幅度和相位会受到不同的修正。
因此， |H()|和()描述了LTI系统对不同频率输入信号的幅度
增益和相位延迟，或者说H()描述了系统的频域特性。
2025/1/1792/145
连续时间LTI系统的频域分析
H()的一般形式
很多系统都可以用微分方程描述，例如
上式两边取傅里叶变换，并应用时域微分性质，则有
整理得
不难推知，对于阶微分方程系统有
2025/1/1793/145
连续时间LTI系统的频域分析
【例3-33】本例考察一阶微分系统和一阶积分系统的频率响应特性。
【解】一阶微分系统为y(t) = x’(t)，两边取傅里叶变换得Y() = jX()
，即
所以一阶微分系统的幅频响应和相频响应分别为
2025/1/1794/145
连续时间LTI系统的频域分析
对于一阶积分系统为 ，由傅里叶变换的时域积分特性知
上式右端δ ()表明系统在 = 0处的输出为无穷大，即系统增益H(0) =
∞ 。当 ≠ 0时有
所以一阶微分系统的幅频响应和相频响应分别为
2025/1/1795/145
连续时间LTI系统的频域分析
图 (a) 微分系统频率特性；(b)积分系统频率特性
2025/1/1796/145
连续时间LTI系统的频域分析
互联系统的频率响应函数
串联系统 由于Z() = H2()Y() = H2() H1() X() ，
所以总频率响应为
并联系统 由于Y() = H1() X() + H2() X() ，
所以总频率响应为
混联系统 利用上面的两个结论，可知
混联系统的总频率响应为
反馈系统 在系统输出端列方程，则有Y() = [X() + H2()
Y()]H1()，可得反馈系统的总频率响应为
2025/1/1797/145
连续时间LTI系统的频域分析
理想传输系统和滤波器
理想传输系统与线性相位条件
对于任意信号的理想传输系统，其输入输出关系应为
两边取傅里叶变换后可得理想传输系统的频率响应特性为
其幅频特性和相频特性分别为 |H()| = 1和(0) = -t0
图 理想传输系统的频率特性
2025/1/1798/145
连续时间LTI系统的频域分析
上述结果给出两个重要的概念：
如果要实现理想传输，系统必须具有线性相位特性。
线性相位特性反映的直观观念就是：对输入信号的所有
频率分量，系统的延时必须是相等的。
对于可实现的连续时间系统，()应该具有负斜率特性。
如果是正斜率曲线，则系统具有“时间提前”功能，显
然是不可实现的。
2025/1/1799/145
连续时间LTI系统的频域分析
理想滤波器的概念
从前面对H()的物理概念讨论可知，若对某个频率0有H(0) = 0
，那么系统在该频率上的输出将为零。因而设计不同特性的H() ，
可以让系统抑制或阻止信号中的某些频率分量通过系统，这就是滤
波器的概念。
根据允许通过的信号频率范围，可以将滤波器分为低通、高通、
带通和带阻滤波器。所谓的“理想滤波器”有两个含义：
幅频特性是理想化的“方波型”函数。
相频特性是理想化的线性相位特性（理想传输要求线性相
位特性）。
2025/1/17100/145
连续时间LTI系统的频域分析
图 理想滤波器的特性
2025/1/17101/145
连续时间LTI系统的频域分析
理想低通滤波器
理想低通滤波器要求在通带内，系统对所有的输入信号频率分量
具有单位增益，并且具有负斜率线性相位特性，因此其频率响应
H()应为
即：
理想低通滤波器的冲激响应函数为
2025/1/17102/145
连续时间LTI系统的频域分析
因果稳定系统的频率响应特性
稳定性：
稳定系统的冲激响应满足绝对可积条件，其傅里叶变
换积分一定收敛。因此，稳定系统的H()一定是普通意义
下的函数（即不会含有类似的δ (±0)频域冲激函数）。
因果性：
假设h(t)是一个因果系统的冲激响应，其频率响应函数
H()的直角坐标表示为
由因果性知一定是单边信号。因此，因果系统的h(t)满
足
2025/1/17103/145
连续时间LTI系统的频域分析
两边取傅里叶变换，并应用频域卷积定理
等式两边实部虚部分别相等，可解得
对一个因果系统来说， H()的实部和虚部不是相互独立的，他们构成
一对希尔伯特变换。
2025/1/17104/145
信号的抽样
时域抽样分析和时域抽样定理
理想抽样
所谓理想抽样就是用周期冲激信号δT(t)乘以待抽样信号
x(t)，获得抽样后信号xs(t)的过程，如图所示。
图 理想抽样
2025/1/17105/145
信号的抽样
设抽样间隔为Ts（又称抽样周期），对应的抽样频率为fs=1/Ts（角频率
s=2π/Ts）。由图知抽样后信号xs(t)可表示为
两边取傅里叶变换，并应用频域卷积定理有
即理想抽样后信号的频谱为
对连续时间信号进行时域理想抽样，会导致其频谱作周期延拓，延
拓周期为抽样频率。
2025/1/17106/145
信号的抽样
时域抽样定理
首先假设抽样前信号的频谱X()如图(a)所示，最高频率为m且
有X(m) = 0。由于抽样频率s和m的大小关系不同，X()周期延拓
后的Xs()有三种情况，分别如图(b),(c),(d)所示。
图 理想抽样频谱分析
2025/1/17107/145
信号的抽样
根据图中坐标的几何关系可以看出，当s 2m时，X()的周期
延拓不会产生频谱的混叠，所有X()的信息都完整且不失真地存
在于抽样后频谱Xs()中。在这种情况下，利用理想低通滤波器就
可以从Xs()中滤出原信号的不失真频谱X()。
相反，如果s< 2m， X()周期延拓后会产生频谱的混叠。此
时则无法从Xs()中提取不失真的X()。因此，从图可以得到
不失真抽样频率应该满足
2025/1/17108/145
信号的抽样
但需要指出的是：可以取fs = 2fm是有条件的，即X()在m处不含δ(-
m)
现假定，那么不外乎有图所示的四种情形。
图(a)中，虽然X(m) ≠ 0但X()在m处不含δ(-m) 。若取=2m进行
抽样，频谱在=m处有混叠，但该点积分为0，仍可以不失真地恢复抽样
前信号x(t) 。
图(b) (c)和(d)中， X()在m处含有冲激函数。此时若取=2m进行抽
样，不仅抽样后信号频谱在=m处有混叠，该点积分不为0，不可能不失
真地恢复抽样前信号x(t) 。
(a) (b) (c) (d)
图 X(m) ≠ 0的四种情形
2025/1/17109/145
信号的抽样
时域抽样定理
设x(t)的频域带宽有限，最高频率为 fm(m=2πfm)。如要实现对x(t)
的不失真抽样，抽样频率应满足如下条件
当X()在m处无频域冲激函数
当X()在m处有频域冲激函数
且信号时域抽样，会导致其频谱作周期延拓，延拓周期为抽样频率。
2025/1/17110/145
信号的抽样
【例3-34】已知实信号x(t)的最高频率为fm (Hz)（频谱在fm处不含频域冲激
函数），试分别计算对下列信号抽样时，不发生频谱混叠的最低抽样频率
(1) x(2t)； (2) x(t)*x(2t)； (3) x(t)x(2t)； (4) x(t)+x(2t)。
【解】 (1) 由尺度变换性质，x(2t)的最高频率为2fm，最低抽样频率为4fm。
(2)信号在时域的卷积，对应其频谱在频域的乘积，乘积后频谱的最高频
率为fm。因此，对x(t)*x(2t)抽样的最低频率为2fm 。
(3)信号在时域的乘积，对应其频谱在频域的卷积。x(t)x(2t)的最高频率为
fm + 2fm =3fm，因此对x(t)x(2t)抽样的最低频率为6fm。
(4)信号在时域相加，对应其频谱在频域相加，故信号x(t)+x(2t) 的最高频
率为2fm。因此对x(t)+x(2t)抽样的最低频率为4fm。
2025/1/17111/145
信号的抽样
抗混叠滤波
实际应用中存在的信号一般为时限信号，而时限信号的频
谱具有无限带宽特征。直接对这类信号进行抽样，可能会
产生频谱混叠。为了改善这种情况，一般先对待抽样的连
续信号进行低通滤波，然后再对滤波后的信号进行抽样，
从而减少频谱的混叠。这类模拟低通滤波器称为抗混叠滤
波器，图(b)所示为理想低通滤波器。虽然连续信号经
过抗混叠滤波器滤波后，会损失一些信息，但在多数场合
下比混叠带来的误差小。
图 连续信号抽样前的抗混叠滤波
2025/1/17112/145
信号的抽样
理想抽样下的信号恢复与内插
图从频域说明了从抽样后信号xs(t)恢复x(t)的过程，原理很简单：
利用截止频率为s/2 (s/2 > m)、增益为Ts的理想低通滤波器，则可以
从理想抽样后信号的频谱Xs()中恢复抽样前信号频谱X() （不考虑
滤波器的延时），即
图 从频域看抽样信号的恢复
2025/1/17113/145
信号的抽样
从时域分析上述过程，将会看到从抽样后信号恢复，本质上就是函数内插
问题。由前面的分析知，抽样后信号和滤波器的冲激响应分别为
代入对应的时域卷积关系中，则有
[交换卷积积分和求和的顺序]
[利用冲激函数卷积性质]
2025/1/17114/145
信号的抽样
前面的分析清晰地表明：连续时间函数x(t)的确可以用离散时间点上的
样值x(nTs)和内插函数Sa[s(t-nTs)/2]表示。当样点间隔Ts (Ts=1/fs)满足抽样
定理条件时，这一内插可以完全不失真地从x(nTs)重构信号x(t) 。图给
出了上述内插公式的直观解释。
图 由x(nTs)的内插恢复x(t)
2025/1/17115/145
信号的抽样
脉冲抽样
理想抽样中的冲激函数是不可实现的，一种比较可行的方法是用窄
脉冲代替冲激信号，即将图中周期冲激函数δT(t)用周期窄脉冲替
代。
图 脉冲抽样
2025/1/17116/145
信号的抽样
图中抽样后信号xs(t)可以表示为
两边取傅里叶变换
上式中P()是周期方波信号p(t)的频谱
代入上式得
[交换卷积积分
和求和的顺序]
[利用冲激函数卷积性质]
2025/1/17117/145
信号的抽样
脉冲抽样后信号的频谱为
可以看到，脉冲抽样后信号的频谱也是由平移后叠加而成， 每一个平移
项存在一个与无关的常系数 。 Xs()中
包含的X ()并没有发生畸变，仍含有不失真的X ()信息。因此与理想抽
样类似，可以利用低通滤波器从中恢复。
图 脉冲抽样频谱
2025/1/17118/145
信号的抽样
零阶保持抽样
脉冲抽样后信号的脉冲顶部函数值与是x(t)相同的，当脉冲很窄时，
要通过电路实现这过程会相对困难。一种简单的处理方法是获取抽样
瞬间的x(t)值，并保持这一样本值直到下一个抽样时刻，形成类似图
中所示的阶梯波形。这里“零阶”是指两个样点间用常数代替
（变量的零次方），该抽样过程又称平顶抽样。
图 零阶保持抽样
2025/1/17119/145
信号的抽样
平顶抽样过程无法用简单的信号乘积模型表示。为了便于分析其频谱，该
过程可以等效为用理想抽样后信号去激励一个冲激响应为h0(t)窄脉冲的系
统，输出信号x0(t)的频谱为
值得注意的是，和脉冲抽样频谱表达式不同，这里每一个平移项前面
的系数是一个与有关的函数。它使得X0()中包含的X()发生了畸变。
[代入理想抽样后信号频谱]
[代入的傅里叶变换]
2025/1/17120/145
信号的抽样
假设是图(a)所示的带限频谱，则理想抽样后信号和平顶抽样后信
号的频谱分别如图(b)和(c)所示。可以看到，零阶保持抽样后的信号频谱
发生了畸变，要想完全恢复原信号，需要对上述畸变进行补偿。
图 零阶保持抽样信号的频谱
2025/1/17121/145
信号的抽样
单一频率正弦信号的欠抽样分析
X()通常在[0, m]内非零，因此若s<2m，则抽样一定会导致频
谱混叠。如果是单一频率正弦信号x(t)=cos 0t，由于仅在0处非零，
即使s<2m，抽样也不会导致频谱混叠。
图 正弦信号抽样的频谱分析
2025/1/17122/145
信号的抽样
带通信号的抽样
带通信号是频谱分布在fL和fH之间的带限信号，如图(a)所示。
如果抽样频率s 2 H ，显然可以实现频谱无重叠的抽样，如图
(b)所示。若较H大，则要求具有很高的抽样频率，应用中难以实
现。
抽样会导致信号频谱的周期性频移叠加。可以利用抽样后信号频谱混
叠的特点，实现低于奈奎斯特频率的抽样，如图(c)所示 。
可以推出一般情况下，带通信号的抽样频率必须满足：
其中： ， 为 的取整运算。
2025/1/17123/145
信号的抽样
图 带通信号的抽样 (a) 抽样前带通信号频谱 (b) s > 2H的直接抽样后信
号频谱 (c) s < 2H的带通抽样频谱
2025/1/17124/145
信号的抽样
模拟信号的数字处理系统
随着信号处理技术的不断发展，数字信号处理已经成为主流技
术。当通过抽样将模拟信号转化为离散时间信号后，就可以通过
数字处理系统来等效实现原来模拟系统的功能。
所谓模拟信号的数字处理就是用图(a)所示的系统等效完成图
(b)所示系统的功能，即两个系统有相同的x(t)和y(t) 。
图 (a) 模拟信号的数字处理系统; (b) 等效的连续时间系统
2025/1/17125/145
信号的抽样
模数转换系统通常由图所示的几个部分组成。
图 模数转换系统
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信号的抽样
数模转换是模数转换的逆过程，系统组成如图所示。
图 数模转换系统
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信号的抽样
由于编码、解码及保持单元在理论上不会改变信号所含的信息，
且量化的影响可以归为误差分析问题，因此在很多文献中，通常
只提取“模拟信号数字处理系统”中的关键单元，形成图所
示的系统框图，以突出核心问题。
图 模拟信号数字处理系统的核心单元
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信号的抽样
然而，图中的抽样环节和前面刚讨论的抽样分析并不能对应，因为
在前面的讨论中，抽样后信号是连续时间信号xs(t)，并不是离散序列x[n]。
同样，在前面讨论的抽样恢复中，考虑的也是从连续时间信号xs(t)恢复
x(t) ，并不是从离散样值恢复。
为此，可以将图改绘成图所示的系统方框图。在图中，引入
了“冲激串/序列转换器”和“序列/冲激串转换器”，将连续域和离散
域进行了“隔离”。
图 模拟信号数字处理系统的分析模型
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信号的抽样
频域抽样分析和频域抽样定理
频域抽样
设信号x(t)是受限于[-tm, tm]的时间有限信号，则其频谱将具有无
限带宽，如图所示。记频域中由δ()构成的理想冲激抽样信号为
δ1() ，即
其中1为频域抽样间隔。其傅里叶逆变换为
图 时限信号及其频谱
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信号的抽样
若对x(t)的频谱X()进行理想抽样，则抽样后频谱X1()为
上式两边进行傅里叶反变换，并利用时域卷积定理可得
[利用时域卷积定理]
[交换卷积与求和的运算顺序]
[利用冲激函数卷积的性质]
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信号的抽样
频域抽样定理
图(b)中时域延拓周期T1与频域抽样间隔1之间的关系为
T1=2π/1= 1/f1。由图(b)和(c)可以看到，当T1≥2tm或频域抽样间隔
满足下列条件时，频域抽样不会造成时域的重叠，即完全可以从中得
到重构。
当x(t)在tm处无冲激函数
时
当x(t)在tm处有冲激函数
时
图 频域抽样和
时域周期延拓
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信号的抽样
对于频域抽样有以下几点说明
实际应用中的连续时间信号不会出现，因此在实际应用中，
频域抽样只有一个结论f1≤1/(2tm) 。但前面的时域抽样的确
会存在有两种情形。
频域抽样是为了计算机能存储信号的频谱数据。无论是应
用还是理论，都无需从离散谱恢复连续谱。因此对于频域
抽样，一般不需考虑抽样恢复问题。
从时域抽样和频域抽样的讨论我们看到一个重要的对偶现
象：
对时域信号的理想抽样会导致频域信号的周期延拓
对频域信号的理想抽样会导致时域信号的周期延拓
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希尔伯特变换
希尔伯特变换及其有关概念
希尔伯特变换的定义
记信号x(t)的希尔伯特变换为 ，希尔伯特正变换和逆变换
的定义如下
正变换：
逆变换：
图 希尔伯特变换中±1/πt 函数曲线
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希尔伯特变换
【例3-35】求方波信号g(t)= x(t+T1)- x(t-T1)的希尔伯特变换。
【解】
图 g(t)和1/πt 的卷积图示
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希尔伯特变换
【例3-36】求直流信号x(t) = 1的希尔伯特变换。
【解】
即
直流信号的希尔伯特变换是个特殊问题，很多文献不进行讨论，也
有认为直流信号的希尔伯特变换是个未定义的问题。本例明确：其希尔
伯特变换为0。
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希尔伯特变换
希尔伯特变换的频域关系
由于
对希尔伯特变换定义式两边取傅里叶变换，并代入上式有
整理可得希尔伯特变换的频域关系
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希尔伯特变换
【例3-37】求信号x1(t) = sin0t和x2(t) = cos0t的希尔伯特变换。
【解】设 , 。 则有
上式两边取傅里叶反变换得
类似可求得
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希尔伯特变换
希尔伯特变换的信号处理实质 90°移相
将希尔伯特频域关系式写为如下形式
由上式可知
正频率分量的幅角因子乘e-jπ/2，或者说相位增加-π/2。
负频率分量的幅角因子乘ejπ/2 ，或者说相位增加π/2 。
即对x(t)进行希尔伯特变换，本质上就是对每个频率分量进行90°移相
，直流信号的希尔伯特变换为0。
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希尔伯特变换
【例3-37】求周期信号xT(t) 的希尔伯特变换。
【解】由傅里叶级数分析知，周期信号可以展开成傅里叶级数 。
根据前面讨论，希尔伯特变换的实质是对每个频率分量进行90°移相，
以及直流信号的希尔伯特变换等于0，因此上述周期信号的希尔伯特变
换为
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希尔伯特变换
解析信号
用希尔伯特变换构建单边谱信号解析信号
现在考察 。
可见Xa()是一个单边谱，即只在 > 0时有非零值。对上式两边
取傅里叶反变换，则有
这就是说，如果用x(t)和其希尔伯特变换构成上式所述的复数信号
xa(t)，那么xa(t)的频谱将是单边的（只在 > 0部分有非零值）。被
称为解析信号（analytic signal）
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希尔伯特变换
前面的讨论指出 的直流分量为零，但解析信号定义式可知其
的直流分量并不为零，应该等于x(t)的直流分量幅度。因此，单边谱与
关系的准确含义应该为
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希尔伯特变换
单边带调制希尔伯特变换和解析信号的应用
当对x(t)进行乘法调制后（即x(t)cos0t），X()中 < 0的部分被搬
移至 > 0区域，导致调制后信号的物理带宽增加一倍。然而，实信
号的幅频和相频分别具有偶对称性和奇对称性。也就是说，当已知
部分 > 0的X() ，则完全可以确定 < 0部分的X() 。如果发送端
在发射前能够构造一个单边谱信号，则可以节省无线通信系统的频
率资源。
图 通信系统中单边带调制原理
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希尔伯特变换
包络提取解析信号的应用
一个信号的幅度可能有缓慢变化的过程。例如在图中，用虚线
勾画出了正弦信号幅度的缓变过程，这个虚线即所谓的信号包络。
振幅缓变的正弦信号可以表示为
（对任意t，A(t) > 0 ）
其中A(t)反映幅度的缓变，即为的包络。
图信号包络的示意
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希尔伯特变换
现考虑对上式进行希尔伯特变换。由于希尔伯特变换是对信号频率
分量进行90°相移，即正弦信号的四分之一周期平移。在cos0t的四
分之一周期内，可以认为A(t)近似不变（常数）。因此，只对上式中
进行希尔伯特变换即可，所以
x(t)的解析信号xa(t)为
从而xa(t)的模为
（ A(t) > 0 ）
通过上述分析可以看到，利用解析信号，可以提取幅度调制信号的
包络。
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