第三章 模糊控制的理论基础
第一节 概述
一、模糊控制的提出一、模糊控制的提出
以以往往的的各各种种传传统统控控制制方方法法均均是是建建立立在在被被控控对对象象
精精确确数数学学模模型型基基础础上上的的，，然然而而，，随随着着系系统统复复杂杂程程度度
的提高，将难以建立系统的精确数学模型。的提高，将难以建立系统的精确数学模型。
在在工工程程实实践践中中，，人人们们发发现现，，一一个个复复杂杂的的控控制制系系
统统可可由由一一个个操操作作人人员员凭凭着着丰丰富富的的实实践践经经验验得得到到满满意意
的的控控制制效效果果。。这这说说明明，，如如果果通通过过模模拟拟人人脑脑的的思思维维方方
法法设设计计控控制制器器，，可可实实现现复复杂杂系系统统的的控控制制，，由由此此产产生生
了模糊控制。了模糊控制。
二、模糊控制的特点二、模糊控制的特点
模糊控制是建立在人工经验基础之上的。对于一模糊控制是建立在人工经验基础之上的。对于一
个熟练的操作人员，他往往凭借丰富的实践经验，采个熟练的操作人员，他往往凭借丰富的实践经验，采
取适当的对策来巧妙地控制一个复杂过程。若能将这取适当的对策来巧妙地控制一个复杂过程。若能将这
些熟练操作员的实践经验加以总结和描述，并用语言些熟练操作员的实践经验加以总结和描述，并用语言
表达出来，就会得到一种定性的、不精确的控制规则。表达出来，就会得到一种定性的、不精确的控制规则。
如果用模糊数学将其定量化就转化为模糊控制算法，如果用模糊数学将其定量化就转化为模糊控制算法，
形成模糊控制理论。形成模糊控制理论。
模糊控制理论具有一些明显的特点：模糊控制理论具有一些明显的特点：
（（11）模糊控制不需要被控对象的数学模型。模糊控）模糊控制不需要被控对象的数学模型。模糊控
制是以人对被控对象的控制经验为依据而设计的控制是以人对被控对象的控制经验为依据而设计的控
制器，故无需知道被控对象的数学模型。制器，故无需知道被控对象的数学模型。
（（22）模糊控制是一种反映人类智慧的智能控制方法。）模糊控制是一种反映人类智慧的智能控制方法。
模糊控制采用人类思维中的模糊量，如模糊控制采用人类思维中的模糊量，如““高高””、、““
中中””、、““低低””、、““大大””、、““小小””等，控制量由模糊等，控制量由模糊
推理导出。这些模糊量和模糊推理是人类智能活动推理导出。这些模糊量和模糊推理是人类智能活动
的体现。的体现。
（（33）模糊控制易于被人们接受。模糊控制的核心）模糊控制易于被人们接受。模糊控制的核心
是控制规则，模糊规则是用语言来表示的，如是控制规则，模糊规则是用语言来表示的，如““
今天气温高，则今天天气暖和今天气温高，则今天天气暖和””，易于被一般人，易于被一般人
所接受。所接受。
（（44）构造容易。模糊控制规则易于软件实现。）构造容易。模糊控制规则易于软件实现。
（（55）鲁棒性和适应性好。通过专家经验设计的模）鲁棒性和适应性好。通过专家经验设计的模
糊规则可以对复杂的对象进行有效的控制。糊规则可以对复杂的对象进行有效的控制。
第二节 模糊集合
一、模糊集合一、模糊集合
对大多数应用系统而言，其主要且重要的信息来源有两种，对大多数应用系统而言，其主要且重要的信息来源有两种，
即来自传感器的数据信息和来自专家的语言信息。数据信息即来自传感器的数据信息和来自专家的语言信息。数据信息
常用常用，，22，，33，，等数字来表示，而语言信息则用诸如等数字来表示，而语言信息则用诸如““
大大””、、““小小””、、““中等中等””、、““非常小非常小””等文字来表示。传统等文字来表示。传统
的工程设计方法只能用数据信息而无法使用语言信息，而人的工程设计方法只能用数据信息而无法使用语言信息，而人
类解决问题时所使用的大量知识是经验性的，它们通常是用类解决问题时所使用的大量知识是经验性的，它们通常是用
语言信息来描述。语言信息通常呈经验性，是模糊的。因此，语言信息来描述。语言信息通常呈经验性，是模糊的。因此，
如何描述模糊语言信息成为解决问题的关键。如何描述模糊语言信息成为解决问题的关键。
模糊集合的概念是由美国加利福尼亚大学著名教授模糊集合的概念是由美国加利福尼亚大学著名教授
于于19651965年首先提出来的。模糊集合的引入，可将年首先提出来的。模糊集合的引入，可将
人的判断、思维过程用比较简单的数学形式直接表达出来。人的判断、思维过程用比较简单的数学形式直接表达出来。
模糊集理论为人类提供了能充分利用语言信息的有效工具。模糊集理论为人类提供了能充分利用语言信息的有效工具。
模糊集合是模糊控制的数学基础。模糊集合是模糊控制的数学基础。
11．特征函数和隶属函数．特征函数和隶属函数
在数学上经常用到集合的概念。在数学上经常用到集合的概念。
例如：集合例如：集合AA由由44个离散值个离散值x1x1，，x2x2，，x3x3，，x4x4组成。组成。
A={x1,x2,x3,x4}A={x1,x2,x3,x4}
例如：集合例如：集合AA由由00到到11之间的连续实数值组成之间的连续实数值组成。
以上两个集合是完全不模糊的。对任意元素以上两个集合是完全不模糊的。对任意元素xx
，只有两种可能：属于，只有两种可能：属于AA，不属于，不属于AA。这种特性可。这种特性可
以用特征函数以用特征函数 来描述：来描述：
为为了了表表示示模模糊糊概概念念，，需需要要引引入入模模糊糊集集合合和和隶隶属属函函
数的概念：数的概念：
其中其中AA称为模糊集合，由称为模糊集合，由0,10,1及及 构成。构成。
表表示示元元素素xx属属于于模模糊糊集集合合AA的的程程度度，，
取取值值范范围围为为[0,1][0,1]，，称称 为为xx属属于于模模糊糊集集合合AA的的
隶属度。隶属度。
2. 2. 模糊集合的表示模糊集合的表示
①① 模糊集合模糊集合AA由离散元素构成，表示为：由离散元素构成，表示为：
或
②② 模模糊糊集集合合AA由由连连续续函函数数构构成成，，各各元元素素的的隶隶属属度度就就
构构成成了了隶隶属属度度函函数数（（Membership Membership FunctionFunction）），，此此时时
AA表示为：表示为：
在在模模糊糊集集合合的的表表达达中中，，符符号号 “/”“/”、、 “+”“+”和和
“∫”“∫”不不代代表表数数学学意意义义上上的的除除号号、、加加号号和和积积分分，，它它
们们是是模模糊糊集集合合的的一一种种表表示示方方式式，，表表示示““构构成成””或或““
属于属于””。。
模模糊糊集集合合是是以以隶隶属属函函数数来来描描述述的的，，隶隶属属度度的的概概
念是模糊集合理论的基石。念是模糊集合理论的基石。
例例 设设论论域域U={U={张张三三，，李李四四，，王王五五}}，，评评语语为为““学学习习
好好””。。设设三三个个人人学学习习成成绩绩总总评评分分是是张张三三得得9595分分，，李李四四
得得9090分，王五得分，王五得8585分，三人都学习好，但又有差异。分，三人都学习好，但又有差异。
若采用普通集合的观点，选取特征函数若采用普通集合的观点，选取特征函数
此此时时特特征征函函数数分分别别为为 ((张张三三 )=1)=1，， ((李李四四 )=1)=1，，
((王王五五)=1)=1。。这这样样就就反反映映不不出出三三者者的的差差异异。。假假若若采采用用
模模糊糊子子集集的的概概念念，，选选取取[0[0，，1]1]区区间间上上的的隶隶属属度度来来表表
示示它它们们属属于于““学学习习好好””模模糊糊子子集集AA的的程程度度，，就就能能够够
反映出三人的差异。反映出三人的差异。
采采用用隶隶属属函函数数 ，，由由三三人人的的成成绩绩
可可知知三三人人““学学习习好好””的的隶隶属属度度为为((张张三三)=)=，，((李李
四四 )=)=，， ((王王五五 )=)=。。用用““学学习习好好””这这一一模模糊糊
子集子集AA可表示为：可表示为：
其其含含义义为为张张三三、、李李四四、、王王五五属属于于““学学习习好好””
的程度分别是的程度分别是，，，，。。
例例 以以年年龄龄为为论论域域，，取取 。。ZadehZadeh给给出出了了
““年轻年轻””的模糊集的模糊集YY，其隶属函数为，其隶属函数为
通过通过MatlabMatlab仿真对上述隶属函数作图，隶仿真对上述隶属函数作图，隶
属函数曲线如图所示。属函数曲线如图所示。
图图 “ “年轻年轻””的隶属函数曲线的隶属函数曲线
二、模糊集合的运算二、模糊集合的运算
1 1 模糊集合的基本运算模糊集合的基本运算
由由于于模模糊糊集集是是用用隶隶书书函函数数来来表表征征的的，，因因此此两两
个个子子集集之之间间的的运运算算实实际际上上就就是是逐逐点点对对隶隶属属度度作作
相应的运算。相应的运算。
（（11）空集）空集
模模糊糊集集合合的的空空集集为为普普通通集集，，它它的的隶隶属属度度为为00
，即，即
（（22）全集）全集
模模糊糊集集合合的的全全集集为为普普通通集集，，它它的的隶隶属属度度为为11，，
即即
（（33）等集）等集
两两个个模模糊糊集集AA和和BB，，若若对对所所有有元元素素uu，，它它们们的的
隶属函数相等，则隶属函数相等，则AA和和BB也相等。即也相等。即
（4）补集
若 为A的补集，则
例如，设A为“成绩好”的模糊集，某
学生 属于“成绩好”的隶属度为：
则 属于“成绩差”的隶属度为：
（5）子集
若B为A的子集，则
（6）并集
若C为A和B的并集，则
C=A∪B
一般地，
（7）交集
若C为A和B的交集，则
C=A∩B
一般地，
（8）模糊运算的基本性质
模糊集合除具有上述基本运算性质外，
还具有下表所示的运算性质。
运 算 法 则
1．幂等律
A∪A=A，A∩A=A
2．交换律
A∪B=B∪A，A∩B=B∩A
3．结合律
(A∪B)∪C=A∪(B∪C)
(A∩B)∩C=A∩(B∩C)
4．吸收律
A∪(A∩B)=A
A∩(A∪B)=A
5．分配律
A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)
A∩(B∪C)=(A∩B) ∪(A∩C)
6．复原律
7．对偶律
8．两极律
A∪E=E，A∩E=A
A∪Ф=A，A∩Ф=Ф
例 设
求A∪B，A∩B
则
例 试证普通集合中的互补律在模糊集
合中不成立，即 ，
证：设 ，
则
2 2 模糊算子模糊算子
模模糊糊集集合合的的逻逻辑辑运运算算实实质质上上就就是是隶隶属属函函数数的的运运
算算过过程程。。采采用用隶隶属属函函数数的的取取大大（（MAXMAX）） --取取小小
（（MINMIN））进进行行模模糊糊集集合合的的并并、、交交逻逻辑辑运运算算是是目目前前最最
常常用用的的方方法法。。但但还还有有其其它它公公式式，，这这些些公公式式统统称称为为““
模糊算子模糊算子””。。
设有模糊集合设有模糊集合AA、、BB和和CC，常用的模糊算子如下：，常用的模糊算子如下：
（1）交运算算子
设C=A∩B，有三种模糊算子：
① 模糊交算子
② 代数积算子
③ 有界积算子
（2）并运算算子
设C=A∪B，有三种模糊算子：
① 模糊并算子
② 代数和算子
③ 有界和算子
（（33）平衡算子）平衡算子
当当隶隶属属函函数数取取大大、、取取小小运运算算时时，，不不可可避避免免地地要要丢丢
失失部部分分信信息息，，采采用用一一种种平平衡衡算算子子，，即即““算算子子””可可起起到到
补偿作用。补偿作用。
设设AA和和BB经过平衡运算得到经过平衡运算得到CC，则，则
其中其中γγ取值为取值为[0[0，，1]1]。。
当当γ=0γ=0时，时， ，相当于，相当于A∩BA∩B时的算子。时的算子。
当当γ=1γ=1，， ，相当于，相当于
AA∪∪BB时的代数和算子。时的代数和算子。
平平衡衡算算子子目目前前已已经经应应用用于于德德国国InformInform公公司司研研制制
的著名模糊控制软件的著名模糊控制软件Fuzzy-TechFuzzy-Tech中。中。
第三节 隶属函数
一、几种典型的隶属函数一、几种典型的隶属函数
在在MatlabMatlab中中已已经经开开发发出出了了1111种种隶隶属属函函数数，，即即双双SS
形形隶隶属属函函数数（（ dsigmfdsigmf））、、联联合合高高斯斯型型隶隶属属函函数数
（（gauss2mfgauss2mf））、、高高斯斯型型隶隶属属函函数数（（gaussmfgaussmf））、、广广义义
钟钟形形隶隶属属函函数数（（gbellmfgbellmf））、、 IIII型型隶隶属属函函数数 (pimf)(pimf)、、
双双 SS形形乘乘积积隶隶属属函函数数（（ psigmfpsigmf））、、 SS状状隶隶属属函函数数
（（ smfsmf））、、SS形形隶隶属属函函数数（（ sigmfsigmf））、、梯梯形形隶隶属属函函数数
（（trapmftrapmf））、、三三角角形形隶隶属属函函数数（（trimftrimf））、、ZZ形形隶隶属属
函数（函数（zmfzmf）。）。
在在模模糊糊控控制制中中应应用用较较多多的的隶隶属属函函数数有有以以下下66种种隶隶
属函数。属函数。
（（11）高斯型隶属函数）高斯型隶属函数
高斯型隶属函数由两个参数高斯型隶属函数由两个参数 和和cc确定：确定：
其中参数其中参数bb通常为正，参数通常为正，参数cc用于确定曲线的中心。用于确定曲线的中心。
MatlabMatlab表示为表示为
(2) (2) 广义钟型隶属函数广义钟型隶属函数
广义钟型隶属函数由三个参数广义钟型隶属函数由三个参数aa，，bb，，cc确定：确定：
其中参数其中参数bb通常为正，参数通常为正，参数cc用于确定曲线的中心。用于确定曲线的中心。
MatlabMatlab表示为表示为
(3) S(3) S形隶属函数形隶属函数
S S形函数形函数sigmf(x,[a c])sigmf(x,[a c])由参数由参数aa和和cc决定：决定：
其其中中参参数数aa的的正正负负符符号号决决定定了了SS形形隶隶属属函函数数的的开开口口
朝朝左左或或朝朝右右，，用用来来表表示示““正正大大””或或““负负大大””的的概概
念。念。MatlabMatlab表示为表示为
（（44）梯形隶属函数）梯形隶属函数
梯形曲线可由四个参数梯形曲线可由四个参数aa，，bb，，cc，，dd确定：确定：
其其中中参参数数aa和和dd确确定定梯梯形形的的““脚脚””，，而而参参数数bb和和cc确确定定
梯形的梯形的““肩膀肩膀””。。 Matlab Matlab表示为：表示为：
(5)(5)三角形隶属函数三角形隶属函数
三三角角形形曲曲线线的的形形状状由由三三个个参参数数aa，，bb，，cc确确
定：定：
其其中中参参数数aa和和cc确确定定三三角角形形的的““脚脚””，，而而参参数数bb
确定三角形的确定三角形的““峰峰””。。 Matlab Matlab表示为表示为
（（66））ZZ形隶属函数形隶属函数
这这是是基基于于样样条条函函数数的的曲曲线线，，因因其其呈呈现现ZZ形形状状而而
得得名名。。参参数数aa和和bb确确定定了了曲曲线线的的形形状状。。MatlabMatlab表表示示
为为
有关隶属函数的有关隶属函数的MATLABMATLAB设计，见著作：设计，见著作：
楼楼顺顺天天，，胡胡昌昌华华，，张张伟伟，，基基于于MATLABMATLAB的的系系统统分分
析析与与设设计计--模模糊糊系系统统，，西西安安：：西西安安电电子子科科技技大大学学出出
版社，版社，20012001
例例 隶隶属属函函数数的的设设计计：：针针对对上上述述描描述述的的66种种隶隶属属
函函数数进进行行设设计计。。MM为为隶隶属属函函数数的的类类型型，，其其中中M=1M=1
为为高高斯斯型型隶隶属属函函数数，，M=2M=2为为广广义义钟钟形形隶隶属属函函数数，，
M=3M=3为为 SS形形隶隶属属函函数数，，M=4M=4为为梯梯形形隶隶属属函函数数，，
M=5M=5为为三三角角形形隶隶属属函函数数，，M=6M=6为为ZZ形形隶隶属属函函数数。。
如图所示。如图所示。
图 高斯型隶属函数（M=1）
图 广义钟形隶属函数
（M=2）
图 S形隶属函数（M=3）
图 梯形隶属函数
（M=4）
图 三角形隶属函数（M=5）
图 Z形隶属函数
（M=6）
二、隶属函数的仿真二、隶属函数的仿真
例例 设设计计一一个个三三角角形形隶隶属属函函数数，，按按[-3[-3，，3]3]范范围围
七七个个等等级级，，建建立立一一个个模模糊糊系系统统，，用用来来表表示示{{负负大大，，
负负中中，，负负小小，，零零，，正正小小，，正正中中，，正正大大}}。。仿仿真真结结
果如图所示。果如图所示。
图 三角形隶属函数曲线
例例 设设计计评评价价一一个个学学生生成成绩绩的的隶隶属属函函数数，，在在[0[0
，，100]100]之之内内按按AA、、BB、、CC、、DD、、EE分分为为五五个个等等级级，，
即即{{不不及及格格，，及及格格，，中中，，良良，，优优}}。。分分别别采采用用五五
个个高高斯斯型型隶隶属属函函数数来来表表示示，，建建立立一一个个模模糊糊系系统统，，
仿真结果如图所示。仿真结果如图所示。
图图 高斯型隶属函数曲线高斯型隶属函数曲线
三、三、 隶属函数的确定方法隶属函数的确定方法
隶隶属属函函数数是是模模糊糊控控制制的的应应用用基基础础。。目目前前还还没没有有
成成熟熟的的方方法法来来确确定定隶隶属属函函数数，，主主要要还还停停留留在在经经验验
和和实实验验的的基基础础上上。。通通常常的的方方法法是是初初步步确确定定粗粗略略的的
隶隶属属函函数数，，然然后后通通过过““学学习习””和和实实践践来来不不断断地地调调
整整和和完完善善。。遵遵照照这这一一原原则则的的隶隶属属函函数数选选择择方方法法有有
以下几种。以下几种。
（（11）模糊统计法）模糊统计法
根根据据所所提提出出的的模模糊糊概概念念进进行行调调查查统统计计，，提提出出
与与之之对对应应的的模模糊糊集集AA，，通通过过统统计计实实验验，，确确定定不不同同
元素隶属于元素隶属于AA的程度。的程度。
对模糊集对模糊集AA的隶属度的隶属度 = =
（（22）主观经验法）主观经验法
当当论论域域为为离离散散论论域域时时，，可可根根据据主主观观认认识识，，结结合合个个
人人经经验验，，经经过过分分析析和和推推理理，，直直接接给给出出隶隶属属度度。。这这种种
确定隶属函数的方法已经被广泛应用。确定隶属函数的方法已经被广泛应用。
（（33）神经网络法）神经网络法
利用神经网络的学习功能，由神经网络自动生成利用神经网络的学习功能，由神经网络自动生成
隶属函数，并通过网络的学习自动调整隶属函数的隶属函数，并通过网络的学习自动调整隶属函数的
值。值。
第四节 模糊关系
一、模糊关系一、模糊关系
例例 设设有有一一组组同同学学XX，，X={X={张张三三，，李李四四，，王王五五}}，，
他他们们的的功功课课为为YY，，Y={Y={英英语语，，数数学学，，物物理理，，化化学学}}。。
他们的考试成绩如下表：他们的考试成绩如下表：
表 考试成绩表
取取隶隶属属函函数数 ，，其其中中uu为为成成绩绩。。如如果果
将将他他们们的的成成绩绩转转化化为为隶隶属属度度，，则则构构成成一一个个xx××yy上上
的一个模糊关系的一个模糊关系RR，见下表。，见下表。
表 考试成绩表的模糊化
将上表写成矩阵形式，得：
该该矩矩阵阵称称作作模模糊糊矩矩阵阵，，其其中中各各个个元元素素必必须须在在
[0[0，，1]1]闭闭环环区区间间上上取取值值。。矩矩阵阵RR也也可可以以用用关关系系图图
来表示，如图所示。来表示，如图所示。
图 R的关系图
二、模糊矩阵运算二、模糊矩阵运算
设有设有nn阶模糊矩阵阶模糊矩阵AA和和BB，， ，，
，，且且 。。则则定定义义如如下下几几种种模模糊糊矩矩
阵运算方式：阵运算方式：
例3-10 设
三、模糊矩阵的合成三、模糊矩阵的合成
模模糊糊矩矩阵阵的的合合成成类类似似于于普普通通矩矩阵阵的的乘乘积积。。将将
乘乘积积运运算算换换成成““取取小小””，，将将加加运运算算换换成成““取取大大””
即可。即可。
设设矩矩阵阵AA是是xx××yy上上的的模模糊糊关关系系，，矩矩阵阵BB是是yy×z×z
上上的的模模糊糊关关系系，，则则C=AC=AοBB称称为为AA与与BB矩矩阵阵的的合合成成，，
合成算法为：合成算法为：
例 3-11 设， ，
则A和B的合成为：
其中
第五节 模糊推理
一、模糊语句一、模糊语句
将将含含有有模模糊糊概概念念的的语语法法规规则则所所构构成成的的语语句句称称
为为模模糊糊语语句句。。根根据据其其语语义义和和构构成成的的语语法法规规则则不不同同，，
可分为以下几种类型：可分为以下几种类型：
（（11））模模糊糊陈陈述述句句：：语语句句本本身身具具有有模模糊糊性性，，又又称称为为
模糊命题。如：模糊命题。如：““今天天气很热今天天气很热””。。
（（22））模模糊糊判判断断句句：：是是模模糊糊逻逻辑辑中中最最基基本本的的语语句句。。
语语句句形形式式：：““是是a”a”，，记记作作（（aa）），，且且aa所所表表示示的的概概念念
是模糊的。如是模糊的。如““张三是好学生张三是好学生””。。
（（33））模模糊糊推推理理句句：：语语句句形形式式：：若若是是，，则则是是。。则则为为
模糊推理语句。如模糊推理语句。如““今天是晴天，则今天暖和今天是晴天，则今天暖和””。。
二、模糊推理二、模糊推理
常常用用的的有有两两种种模模糊糊条条件件推推理理语语句句：：If If A A then then B B
else Celse C；；If A AND B then CIf A AND B then C
下下面面以以第第二二种种推推理理语语句句为为例例进进行行探探讨讨，，该该语语句句可可构构
成一个简单的模糊控制器，如图所示。成一个简单的模糊控制器，如图所示。
图图 二输入单输出模糊控制器二输入单输出模糊控制器
其其中中AA，，BB，，CC分分别别为为论论域域xx，，yy，，zz上上的的模模糊糊集集合合，，
AA为为误误差差信信号号上上的的模模糊糊子子集集，，BB为为误误差差变变化化率率上上的的
模糊子集，模糊子集，CC为控制器输出上的模糊子集。为控制器输出上的模糊子集。
常用的模糊推理方法有两种：Zadeh法和
Mamdani法。Mamdani推理法是模糊控制中普遍
使用的方法，其本质是一种合成推理方法。
定义：若有两个模糊集A和B，其论域分别为X和Y，
则定义在积空间 上的模糊集合
为 的直积，隶属函数表达为：
或
模模糊糊推推理理语语句句“If “If A A AND AND B B then then C”C”确确定定了了三三
元模糊关系元模糊关系RR，即：，即：
R=(AR=(A××B)B)T1T1××CC
其其中中 (A(A××B)B)T1T1为为模模糊糊关关系系矩矩阵阵 (A(A××B) B) (m(m×n×n))构构成成的的
mm×n×n列向量，列向量，nn和和mm分别为分别为AA和和BB论域元素的个数。论域元素的个数。
基基于于模模糊糊推推理理规规则则，，根根据据模模糊糊关关系系RR，，可可求求得得
给定输入给定输入AA11和和BB11对应的输出对应的输出CC11：：
C1=C1=（（A1A1××B1B1））T2T2RR
例3-9 设论域x={a1，a2，a3}，y={b1，b2
，b3}，z={c1，c2，c3}，已知
， 。试确定
“If A AND B then C”所决定的模糊关系
R，以及输入为 ,
时的输出C1。
解：解：
将将AA××BB矩阵扩展成如下列向量：矩阵扩展成如下列向量：
当输入为A1和B1时，有：
将A1×B1矩阵扩展成如下行向量：
最后得:
即：
三、模糊关系方程三、模糊关系方程
11、模糊关系方程概念、模糊关系方程概念
将将模模糊糊关关系系RR看看成成一一个个模模糊糊变变换换器器。。当当AA
为输入时，为输入时，BB为输出，如图所示。为输出，如图所示。
图图 模糊变换器模糊变换器
可分为两种情况讨论：可分为两种情况讨论：
（（11））已已知知输输入入AA和和模模糊糊关关系系RR，，求求输输出出BB，，这这是是综综
合评判，即模糊变换问题。合评判，即模糊变换问题。
（（22））已已知知输输入入AA和和输输出出BB，，求求模模糊糊关关系系RR，，或或已已知知
模模糊糊关关系系RR和和输输出出BB，，求求输输入入AA，，这这是是模模糊糊综综合合评评判判
的逆问题，需要求解模糊关系方程。的逆问题，需要求解模糊关系方程。
22、模糊关系方程的解、模糊关系方程的解
近近似似试试探探法法是是目目前前实实际际应应用用中中较较为为常常用用
的方法之一。的方法之一。
例例 解方程解方程
解：解： 由方程得：由方程得：
显然三个括弧内的值都不可能超过显然三个括弧内的值都不可能超过。由于。由于
是是显显然然的的，，因因此此xx22可可以以取取[0,1][0,1]的的任任意意
值，即值，即xx22=[0,1]=[0,1]。。
现在只考虑：现在只考虑：
这这两两个个括括弧弧内内的的值值可可以以是是：：其其中中一一个个等等于于
，另一个不超过，另一个不超过。分两种情况讨论：。分两种情况讨论：
(1) 设∧x1=，∧x3≤，
则 ，
即方程的解为
(2) 设∧x1≤，∧x3=，
则 ，
即方程的解为：
