南京财经大学硕士学位论文双指数跳跃扩散模型下的亚式期权和障碍期权定价研究姓名：王俊申请学位级别：硕士专业：金融学指导教师：郭存芝2009-01-09
摘 要 股票价格的变动受到诸多因素的影响，外部因素影响往往会导致股票价格较大波动甚至是跳动。股票价格过程是带跳越的过程往往更能反映金融市场的实际情况。1976年，罗伯特默顿(Merton)提出的正态跳跃扩散过程，开创了对标的资产价格是带跳跃的标的资产价格过程的建模，是对Black-Scholes模型重大发展。本文研究的双指数跳跃扩散模型假定跳跃尺度服从非对称的双指数分布，而双指数跳跃扩散模型下的期权定价的准确性已被诸多实证研究优于其它多种期权定价模型。本文研究的主要对象是该模型下的亚式期权和障碍期权定价问题。由于亚式期权定价涉及到对股票价格过程的积分和股票价格的几何或算术平均，这就决定了问题的难度，但本文利用了马尔可夫过程性质成功地克服了这些困难。论文分别假定在期权的有效期内标的资产价格过程仅发生一次跳跃和多次跳跃的两种情形来研究亚式期权定价，其中当假定标的资产价格过程仅发生一次跳跃情形下给出了解析解，在多次跳跃的情形下，本文仅给出了一个微分方程，只要能够用数值方法解出这个微分方程，就可以求出在期权的有效期内发生多次跳跃情形亚式期权价格。其次，本文研究了在该模型下的二元数字期权(digital option)和障碍期权(barrier option)的定价问题二元数字期权实际上是障碍期权。本文分别对股票价格是向上和向下穿越某一障碍价格水平两种情形的二元数字期权和障碍期权进行定价研究。论文研究这两种期权定价问题时，借鉴了有关双指数跳跃扩散过程的首达时问题的研究结论。论文分别用一维和二维的拉普拉斯变换的方法来研究一般的障碍期权定价，其中二维拉普拉斯变换后的表达式往往较一维变换后的表达式简单且更易于实际数值拉普拉斯逆变换。 关键词：双指数跳跃扩散过程；亚式期权；二元数字期权；障碍期权；拉普拉斯变换 I
ABSTRACT Stock price movements are subject to many factors, these factors often lead to large changes in the stock price process. Jump diffusion processes are able to describe rare incidents which have an influence on the prices of assets and accord with financial statistical rules more conformably. So, to model the stock price process, it is better to use Stock price process driving by jump processes. In 1976, Merton put forward the normal jump-diffusion process, he was first to model the underlying asset price process using by the jump diffusion process. In this paper, we discuss the double exponential jump diffusion model, which assumed that jump-scale is asymmetric and subject to the double exponential distribution. The option pricing under the double exponential jump diffusion model has been proved better than many other option pricing models by many empirical researches. The aim of this paper is to study how to price the Asian options and barrier options under the double exponential jump diffusion. First, we consider how to price Asian option under the double exponential jump diffusion process. With respect to Asian option, we all know that it is difficult to price Asian option because it involves the integration of the stock price process. But we successfully overcome the difficulty by using some properties of Markov process. We assume that there is only one jump and there are several jumps on the stock price process respectively in the life of Asian option. In the case of a single jump, we derive analytical formulae for Asian price; in the case of several jumps, we only give a differential equation. As long as we solve this differential equation, we can get the price of the Asian option with several jumps. Second, we consider how to price barrier options under this model. Digital option in fact is barrier option. There are two types of barrier options, one type is when stock price is upward to cross a barrier price level, the other is when stock price is downward to cross a barrier price level. In the discussion of pricing digital options, we use some results on the first passage times of the double exponential jump diffusion process to derive the formulae of digital option prices. In the case of pricing barrier options, we introduce one-dimensional and two-dimensional Laplace transform method to calculate the prices of options. The formulae transformed by two-dimensional Laplace transform turn out to be simpler than formulae transformed by one-dimensional Laplace transform. And the formulae transformed by two-dimensional are simple to do actual numerical Laplace inverse transform. KEYWORDS: double exponential jump diffusion process; Asian option; digital option; barrier option; Laplace transform II
学位论文独创性声明 本论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。论文中除了特别加以标注和致谢的地方外，不包含其他人或其它机构已经发表或撰写过的研究成果。其他同志对本研究的启发和所做的贡献均已在论文中作了明确的声明并表示了谢意。 作者签名： 日期： 学位论文使用授权声明 本人完全了解南京财经大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其它复制手段保存论文。保密的论文在解密后遵守此规定。 作者签名： 导师签名： 日期：
南京财经大学硕士学位论文 第一章 绪 论 金融衍生品定价问题是现代金融学研究的核心领域，是金融应用于实际的主要理论基础，近三十年来应用数学在经济学，金融学，投资学等领域前沿研究课题。无论是理论上的研究还是实际应用研究，都具有重要的实际价值。本章简要的阐述它的研究意义和国内外的研究现状，由此提出本论文的主要内容。 研究背景和意义 1973年，和提出了第一个期权定价公式。作为数学家的关于期权的研究始于他试图利用资本资产定价模型来解决股票的认股证定价问题，股票的认股证本质上和期权类似，他们都赋予持有者一种权利，可以在特定的时间内以合同规定的价格购买或出售一定数量的股票，但没有义务执行。Black之所以选择认股证作为研究对象是因为当时认股证市场比期权市场更活跃，有效。他认为认股证和相应的股票在任何时刻和价格下都应遵循资本资产定价模型，即回报与各自的风险成比例。通过求解与假设相应的微分方程，他发现认股权证的价格和股票的期望回报或任何其他资产的回报无关。这与人们的直觉似乎矛盾。和通过将股票和相应的期权组合起来，当比例搭配合适时，这一组合可以规避风险，也即是后来的在无套利情况下，证券组合可以复制期权的思想。在Merton的帮助下，Black和Scholes通过严密的数学推导和论证，在无套利假设的条件下，没有交易费用和市场不存在磨察的条件下利用随机分析的方法，推出标的资产不付红利假设条件下欧式期权价格必须满足的偏微分方程。他们开创的期权定价理论被誉为华尔街的一次革命，Merton和Scholes因此而获得了1997年度的诺贝尔经济学奖。下面简单的介绍一下Black-Scholes期权定价公式。 Black-Scholes期权定价公式，是欧式期权定价公式，它假定风险资产价格S服从几何布朗运动并假定无红利支付，瞬时收益率，股票收益率的波动率，无风险利率为常数，市场无交易成本和无磨察。用无风险资产，风险资产和期权组成对冲投资组合，并利用无套理原理导出来，即： dSt=μdt+σdW () tStW={W(t),t≥0}是标准的布朗运动，μ和σ为常数，执行价格为K ，到期日为T的欧式期权价格t时刻的价格为： −r(T−t) C(t,S,T;σ,r,K)=SN(d)−KeN(d) （） BS12 1
南京财经大学硕士学位论文 S21In+(r+σ)(T−t)2Kd=，d=d−σT−t 121σT−t 2x11−y2N(x)=edy∫−∞ 2π从()，()可以看出Black-Scholes期权定价公式是基于风险资产价格连续变化的，依赖t，S，T，σ，r，K 五个参数，然而实际数据研究表明股票价格实际收益率的分布比()模型所刻画的要尖峰厚尾，期权的市场价格中也存在偏差，并不存在常数的波动率，这在John hull(2001)波动率微笑一节中也得到了说明。也就是说Black-Scholes期权定价公式是在一系列的假设前提下推导出来的，后面的学者的主要工作是对B-S公式所基于的完备市场和其中的经济变量进行修改扩展和完善，使之更加符合实际情况。1976年Merton对模型()进行了推广，考虑波动率σ和无风险利率r是时间的函数的情形，得到了类似()期权定价公式。Merton(1973)考虑股利和随机利率下的期权定价模型；Cox, Ross(1976)和Merton(1973)介绍股票价格过程具有不连续的样本路径的期权定价模型。九十年代以后许多学者对于不完备的市场，基础资产的价格存在异常波动甚至是跳动或标的资产的收益率的波动率不为常数的情况下的期权定价模型，以及美式期权定价问题取得了重要意义的研究成果。我们知道，股票价格的变动受到诸多因素的影响，如企业的经营和重组，国家和国际的政治经济因素，战争和自然灾害等尤其是突发的重大事件的影响，往往导致股票价格较大波动甚至是跳动，也就是说股票价格过程是带跳的，事实现在上人们现在以更大的热情来研究股票价格过程符合跳跃扩散情形下的期权定价模型。 人们在发展非标准期权定价（奇异期权定价问题）也取得了许多成果。这类期权比标准的欧式或美式期权盈亏状态更复杂，更实用。这类期权赋有许多额外的定价信息，多数在场外交易。近十几年来，这类期权的交易越来越流行，深受投资者的喜爱。如障碍期权（barrier option），回望期权（lookback option），亚式期权（Asian option），重置期权（reset option）以及利率衍生品等。 对不连续市场的模型的概述 这种模型又称为跳跃-扩散模型（jump-diffusion model），由于前述的期权定价，是基于平稳的连续的，理想化的市场模型推导出来的，平稳即是利率，股票价格和股票价格的波动率连续变化的态势，不会暴涨暴跌，不会发生较大的突变，这种模型不适应于不连续的，突变的经济和金融环境。 许多学者从股票价格实际数据研究发现，股票价格呈现尖峰厚尾的特征，而不是模型（）所描述的对数正态分布。1976年，Merton首先提出并研究了股票价 2
南京财经大学硕士学位论文 格具有不连续回报时的期权定价问题。后来学术界着手研究理论上更接近现实的股票价格动态方程，来克服连续扩散模型()的不足，再现实际市场中反映的波动率微笑现象，使之更好的反映市场的突变对标的资产价格和标的资产回报率的影响，社会经济生活的许多例子都说明跳风险是不容忽视的，如东南亚金融危机，美国长期资本管理基金(LTCM)在俄罗斯经营失败，影响经济平稳运行的重大国家政策的调整，自然灾害（海啸，地震）等事件使人们认识到：建立资产价格不连续变动，反映跳风险模型的重要性。Vasanttilak Naik,Moon Lee(1990)以市场组合为标的资产，来对期权进行定价，并通过某种计算方法对期权价格中所蕴涵的跳风险进行定价，他们的研究表明跳风险价格为期权价格的10%-40%，并随着λ和σ的增大而增大，从而说明跳风险在期权定价中是不容忽视的。 近年来研究带跳的资产价格模型主要分为两类： (1) Poisson-Gaussian 过程 这类模型是在模型()基础上，加上与布朗运动Ｗ相独立的Poisson过程，即股票价格的运动方程是： ndS（i）（i）t =μdt+σdW+δ（dN−λdt） () t∑ittSi=1t−(i)n(i)其中δ>−1为常数，{N,t≥0}是强度为λ>0相互独立的Poisson过程。 iti=1t(2) 复合Poisson过程 1976年，Merton提出了跳跃-扩散过程，他假定股票价格服从符合复合Poisson跳跃-扩散过程，即： NtdSt=(μ−λk)dt+σdW+d([V−1]) （） ∑iSi=1t− 其中{V},i=1,2,L是非负的独立同分布的随机变量，表示股票价格的跳跃比例， i2且Y=InV~N(μ,σ)，N={N,t≥)是强度为正常数λ的Poisson过程，k=E(V−1) yyt模型()仍然描述股价回报是为正态的(对称性的特点)，即正态跳跃扩散模型。Merton在推导期权定价公式中作了关键性的假设，跳风险为非系统性风险，这意味在构造B-S证券投资组合中，消除了几何布朗运动带来的系统性风险后，证券组合仍获得无风险收益，由此得出半解析式的期权定价公式，详见.Merton(1976)。后来，有学者研究指数列维过程，而我们所研究的双指数跳跃扩散模型期权定价模型实质上是列维过程的特例。 3
南京财经大学硕士学位论文 有关双指数跳跃扩散模型的文献综述 双指数跳跃扩散模型是由..Kou(2002)文中首次提出，这个模型的优势已在它的这篇文章中详细的介绍，在这里只是简单的概述一下这个模型的主要特点。我们知道Merton(1976)提出的正态跳跃扩散模型是对连续情形下的扩散模型的重要突破。Jorion(1988)文中就指出“the jump diffusion model is a significant improvement over simple diffusion model in both foreign exchange and stock markets”。可见Merton的正态跳跃扩散模型在金融数学领域的重要意义。但Merton的正态跳跃扩散模型仍有不足之处，主要是标的资产的收益率呈正态分布的假设与实际收益率数据的分布不相吻合，而实际收益率数据的分布是尖峰厚尾，他的正态跳跃扩散模型只能给出了标准欧式期权的半解析解，并且在路径依赖型奇异期权仍得不出解析解(closed form solution)。..Kou教授将跳跃尺度大小Y的分布由正态分布修正成双指数分布，分i布密度为： −ηyηy12f(y)=pηeI+qηeI () Y1{y≥0}2{y<0}其中:η>0,η>0,p,q≥0,p+q=1表示上跳和下跳的概率，该模型即是双指数跳跃12扩散模型。在..Kou(2002)的文章中比较了他的双指数跳跃模型和Merton正态跳跃扩散模型()的差别：(1)股票价格；跳跃高度的非对称性；(2)由于指数分布的无记忆性，在解决路径依赖型期权定价问题更易于处理。定价结果接近实际并且某些情况能够得到显示解析表达式。..Kou,HuiWang(2004)文中首先用Giovanni, Barone-Adesi et al (1987)文中介绍的美式期权估值方法来对双指数跳跃扩散模型下的有限到期时间的美式期权进行估值，得出了解析的估值表达式；用拉普拉斯变换(laplace transform) 方法给出了lookback put option 和up and in call option期权价格的近似解析表达式；用跳跃扩散过程的最优停时规则给出了永久看跌美式期权价格解析表达式。..Kou,Giovanni Petrella,HuiWang(2005)文中用拉普拉斯变换方法(laplace transform) 详细的研究了标准欧式看涨看跌期权，美式期权，障碍期权，回望期权的这些定价问题，并给出了实际期权定价数据，并与其它期权定价模型给出的期权定价数据作了比较，从而验证了文中讨论的定价方法的准确性。,HuiWang(2003)详细的研究了双指数跳跃扩散过程的首达时分布，首达时和终值的联合分布问题，跳过程的overshoot问题，并得出了有意义的结论。这就为计算回望和障碍期权价格的拉普拉斯变换扫除了障碍。PaulGlasserman,..Kou(2003)详细的研究了双指数跳跃扩散模型下利率衍生品的定价问题。(2004), (2005)用不同的方法给出了双指数跳跃扩散模型下的双障碍期权，回望期权和俄式期权定价公式。在实证研究方面，CyrusA,Ramezani,YongZong(2007)用最大似 4
南京财经大学硕士学位论文 然估计双指数跳跃扩散模型的参数，包括Merton正态跳跃扩散模型和几何布朗运动模型的参数，并且实证检验了双指数跳跃扩散模型优于几何布朗运动模型，在多数情况下双指数跳跃扩散模型优于Merton的正态跳跃扩散模型，而且双指数分布密度对股票和股指收益率数据分布拟合得很好，能够反映收益率分布的尖峰厚尾性质。Koichi Mackawa et al.（2008）把双指数跳跃扩散过程应用于日本证券市场，研究发现双指数跳跃扩散模型更好的拟合了日经225指数对数收益率的分布，而且对于日经225指数欧式看涨期权Kou的期权价格比B-S期权价格更接近实际金融市场的期权价格。可见，双指数跳跃扩散模型很好的反映突发事件引起的股票价格的突变，更好的刻画了资产价格的上跳和下跳，而且在奇异期权定价中也具有优势，因此在实际的金融数学研究中是一个很好的模型，而且越来越多的金融机构用该模型来给出期权价格数据。尽管双指数跳跃扩散模型是列维过程的特殊模型，但与标准的扩散模型，Merton正态跳跃扩散模型和列维过程模型相比较而言，所使用的方法不同，所得到的结论也是不一样的。 本文写作的主要内容和创新点 正是双指数跳跃扩散模型上述诸多优点是本文写作的动机，而本文的主要研究内容是双指数跳跃扩散过程在即亚式期权和障碍期权的定价研究，双指数跳跃扩散模型在如回望期权，障碍期权，美式期权，双障碍期权，俄式期权已经得到了某种意义上的研究，并可以得到近似解析解。本文的研究重点是在亚式期权和障碍期权定价。首先本文的开始，先详细的讨论了双指数跳跃扩散模型下如何给标准的欧式期权定价。在亚式期权定价中，先详细的讨论了在标准的Black-Scholes模型下的亚式期权定价。文章给出了两种亚式期权定价方法，一种方法要用到bessel过程的性质，另一种方法用到马氏过程的性质，而两种不同的方法都得到了对转化的亚式期权价格的拉普拉斯变换，而这两种方法特别是后一种方法可以更好的理解本文在双指数跳跃扩散模型下的亚式期权定价，所以详细的加以讨论。本文亚式期权在双指数跳跃扩散模型下的定价研究中，我们将利用马尔可夫过程的性质，通过求解特定马式过程预解式的密度来更好的表达亚式期权的未定权益，并利用马氏过程的无穷小算子和预解式之间的关系来研究亚式期权定价。论文首先考虑在期权的有效期内，标的资产价格过程仅仅发生一次剧烈跳动亚式期权是如何定价的。假设在期权的有效期内标的资产价格过程仅仅发生一次剧烈跳动这也是符合现实金融市场实际情况，特别是亚式期权有效期并不太长如一年之内往往是合理的。假定标的资产价格发生一次跳跃的跳跃时间是服从指数分布的。由于亚式期权的标的变量是对标的资产价格求算术或几何平均及涉及对股票价格过程的积分，这就决定了亚式期权定价的难度，研究在期权的有效期内发生多次跳跃情况下的亚式期权定价时，论文仅仅 5
南京财经大学硕士学位论文 给出了亚式期权价格所满足的微分方程，若能够解出这个微分方程，就可以得到求出在该模型下的多次跳跃发生情况下的亚式期权价格。在对障碍期权的定价研究中，论文研究的主要对象是具有单一障碍价格水平的障碍期权定价。首先讨论了障碍期权的一类二元数字期权(digital option)的定价研究，分两种情况来介绍：上向二元数字期权(downward digital option)和下向二元数字期权(upward digital option)，前者是股票价格向上穿过障碍价格水平，后者是股票价格向下穿越障碍价格水平，分别给出美式的和欧式两种情况下的上述二元数字期权(digital option)价格拉普拉斯变换表达式。美式和欧式的二元数字期权的区别是在当期权在收益支付时间不同，前者是股票价格首次到达某一障碍价格水平的时候，后者是收益支付在期权到期的时候。在障碍期权(barrier option)定价研究中，详细的讨论了up-and-in call option期权在双指数跳跃扩散模型的定价，论文将解释一维和二维的拉普拉斯变换都可以应用于up-and-in call option的定价应用，其中二维的拉普拉斯变换将会使变换后表达式更加简单，而一维的拉普拉斯变换的数学表达式往往很复杂，其中包含一些特殊函数，而且这种表达式不适合实际计算。Down-and-out call option期权定价是和up-and-in call option期权定价是类似的，论文只做简单的说明。而Down-and-out call option期权价格是双指数跳跃扩散模型下的标准的欧式期权价格减去down-and-in call option期权价格。 本文亚式期权和障碍期权定价研究涉及大量的数学公式推导，而这些数学工具看似很复杂且占用了大量篇幅，其实仔细阅读起来并没有什么的，也是很简单的。有些引理来自一些研究文献，这些引理已经给出了出处，引理在原文献中没有得到证明的，而在本文中给出了引理详细的证明。需要指出的是本文是在前文研究的基础上，把跳跃尺度的密度设置为Kou的双指数密度，把模型参数具体设置为双指数跳跃扩散模型的参数，从而把亚式期权和障碍期权定价研究推广到双指数跳跃扩散模型下。由于作者水平有限，现在只能做出这些研究，需要今后不断的学习和阅读大量的文献来弥补不足。下面是本文的可能创新之处： (1) 双指数跳跃扩散模型下的亚式期权定价研究的可能创新之处： .文献Donati-Marin et al(2001)给出了特殊的马尔可夫过程 ta,b Y=exp(aB(t)+bt)(x+exp(−(aB(t)+bs))满足随机微分方程 t∫02ttaY=x+aYdB(u)+((+b)Y+1)du,当a=2,b=v时Y的预解式： tuut∫∫002∞Uf(x)=exp(−αt)E[f(Y(t))]的密度u(x,y)。而本文把这个引理进行了扩展。从而给αxva∫0a,b出了在一般化参数情况下的马式过程Y预解式R的密度r(x,y)的表达式，见定理tλλ 6
南京财经大学硕士学位论文 ∞。从而马氏过程预解式Rf(x)=r(x,y)f(y)dy可以解析的写出，而本文把f(y)λλ∫0+设定为(x−K)，于是，我们分别求出了x≤K时的Rf(x)和x>K时的Rf(x)的λλ表达式，当股票价格仅发生一次跳跃情况下的亚式期权价格依赖于这两个表达式，详见定理。 从而就很容易的给出在股票价格仅发生一次跳跃情况下的亚式期权价格的解析表达式。在股票价格发生多次跳跃情形下的亚式期权定价要利用一些Poisson随机测度和随机积分和马式过程无穷小算子的知识，重要的是我们用到了马a,b氏过程预解式和无穷小算子的关系(a−L)Rg(x)=g(x)。通过求解马氏过程Y(x)at的无穷小算子，从而得到了特定马氏过程预解式满足的微分方程： ∞221′′′ ((r−λk)x+1)u(x)+σxu(x)+[u(x+xy)−u(x)]λF(dy)−αu(x)+g(x)=0。通2Y∫−1通过解这个微分方程，我们即可得到预解式u(x)，进而我们就可以得到亚式期权价格的拉普拉斯变换。 (2) 双指数跳跃扩散模型下的障碍期权定价研究的可能创新之处： 研究二元数字期权(digital option)定价问题时，使用了有关双指数跳跃扩散过程的首达时问题的研究结论。在文中,HuiWang(2003)： η−βββ−ηβ−a23a4β,,ab4,a23β,abτ3,a4,ab b<0时有：E[e]=e+e ηβ−βηβ−β24,a3,a24,a3,aη−βββ−ηβ11−βb,a2,ab−a2a11−β,,aτ1,a2,abb>0时有：E[e]=e+e ηβ−βηβ−β12,a1,a12,a1,a从而推出了该类期权的价格拉普拉斯变换的表达式。 在研究障碍期权(barrier option)定价问题时，我们使用了,HuiWang(2003) 有关双指数跳过程的overshoot问题的研究结论： −ηx1 P(X−b≥xX−b>0)=e ττbBP(τ≤t,X−b≥xX−b≥0) bττbB =P(τ≤tX−b>0)P(X−b≥xX−b>0) bτττbbB并利用一维和二维拉普拉斯变换的方法来研究障碍期权定价问题。 7
南京财经大学硕士学位论文 第二章 双指数跳跃扩散模型下的标准期权定价研究 Merton的正态跳跃扩散模型假定股票价格的跳跃尺度是对数正态分布意味着对突发事件对称的反映，这与实际的资产收益率数据分布是的非正态性，尖峰厚尾的现象是不一致的，因而Kou的跳跃尺度是非对称的双指数分布与实际收益率分布相一致，并且可以再现期权理论常见波动率微笑的现象。因此是对Merton的正态跳跃扩散模型重大改进，从而使模型更反映实际。本章开始部分讨论双指数跳跃扩散模型，然后详细的研究双指数跳跃扩散模型在标准的欧式期权定价问题。 双指数跳跃扩散模型 假定存在一个无磨察，无套利，连续交易的不完备金融市场。市场上存在两种资产，一种是风险资产，如股票S，另一种是无风险资产，如无风险债券B。交易时间为[0,T],给定一个完备概率空间(Ω,F,F,P)，定义在完备的概率空间上面存在三t个不确定性源：F-适应的标准的布朗运动W={W,t∈[0,T]}；与布朗运动相独立的tt具有强度参数为正常数λ泊松过程N={N,t∈[0,T]},与W,N相独立具有独立同分t布的跳跃比例随机变量V={V,i=1,2,L}取值在(0，∞)，W，N，V相互独立，并且iWNWN它们所产生的滤波σ-代数也是相互独立的。定义F=F∨F，其中，F,F分ttttt别是由{W,s≤t},{N,s≤t}产生的完备的σ-代数。由于市场是无套利的，所以存在ss着等价鞅测度，然而市场是不完备的，所以等价鞅测度不唯一。在Kou的论文中通过选取了一个特殊的风险中性测度，使得在选定的概率测度下，所有资产的折现期望为鞅，我们假设此风险中性概率测度为Q。在此风险概率测度下，无风险资产B，t风险资产W的价格变化方程为： tdBt=rdt， B=1 () 0BtNtdSt=(r−λk)dt+σdW+d([V−1]),S=S () t∑i0Si=1t−其中，r>0是无风险利率，σ>0是标的资产收益率的波动率，W是标准布朗运动，tN是强度为λ泊松过程，两者相互独立，{J,i=1,2,L}是(Ω,F,P)独立同分布随机ti 8
南京财经大学硕士学位论文 变量序列，描述资产价格的跳跃比例，用J泛指J，k=E[J-1] 并假定Y=In(J)服从双i指数分布密度，密度函数为： −ηyηy12f(y)=pηeI+qηeI () Y1{y≥0}2{y<0}其中:η>0,η>0,p,q≥0,p+q=1表示上跳和下跳的概率，该模型即是双指数跳跃12扩散模型。由&&Ito公式，()可写成： NtS2t1In()=(r−σ−λk)t+σW+Y () ∑2tiSi=10Nt令Z(t)=μt+σW+Y,则由全概率公式可得: t∑ii=1N∞t P(Z(t)≥a)=P(N(t)=n)P(μt+σW+Y≥a|N=n) ∑t∑itn=0i=1n−λt∞n(λt)e=P(μt+σW+Y≥a) () ∑t∑in!n=0i=1n其中a为任意常数，为求()需计算P(μt+σW+Y≥a)，为此Kou利用Hh函数t∑ti=1和指数分布的无记忆性，得到了详细的表达式。 定义 ：（Hh函数）对任意的n≥0，Ｈh函数的定义如下： 2∞∞t1−n2 Hh(x)=Hh(y)dy=(t−x)edt≥0,n=0,1,2,L nn−1∫∫xxn!2x−2 Hh(x)=e=2πϕ(x),Hh(x)=2πN(−x), −102xx1−2 ϕ(x)=e, N(x)=ϕ(y)dy ∫−∞2π很显然，Hh函数是一个非增函数且满足递归关系： nHh(x)=Hh(x)−Hh(x),n=1,2,3,L由此可以计算出Hh函数表达式。 nn−2n−1引理 对任意的n≥1，有 k⎧+ξ,以概率P,k=1,2,3,Ln∑in,kd⎪⎪i=1 Y= ∑⎨ik−i=1⎪−ξ,以概率Q,k=1,2,3L∑in,k⎪⎩i=1 9
南京财经大学硕士学位论文 其中PQ定义为： n,kn,kn−1ηηi−kii−kn−iin−i12P=CC()()pq,1≤k≥n−1 n，k∑n−k−1nη+ηη+ηi=k1212n−1ηηi−ki1n−i2i−kn−iiQ=CC()()pq,1≤k≤n−1n,k∑n−k−1nη+ηη+η i=k1212nnnnP=p,Q=qnn+−ξ,ξ为独立同分布的指数序列，且参数η,η大于零。 ii12引理 设{ξ,ξ,ξ,L}是参数η>0的独立同指数分布随机变量序列,正态随机变1232量Z~N(0,σ)且Z与{ξ，ξ，L}相互独立，则有概率密度函数： 122(ση)2etn−ηtf(t)=(ση)eHh(−+ση)Nn−1Z+ξσ2πσ∑II=1 2(ση)2etnηtf(t)=(ση)eHh(+ση)Nn−1Z−ξσ2πσ∑II=1尾概率密度函数为： 2(ση)n2e1nP(Z+ξ≥a)=(ση)I(a;−η,−,−ση)∑in−1σ2πσi=1 2(ση)n2e1nP(Z−ξ≥a)=(ση)I(a;η,,−ση)∑in−1σ2πσi=1∞ax2这里，I(a,a,a,a)=eHh(ax−a)dx,n≥0 n−11234n34∫a1定理 若Y的分布为双指数分布()，则： n−λT∞nk(λT)e+P(Z(T)≥a)=PP(μT+σTZ+ξ≥a)+∑∑n,k∑in!n=1k=1i=1n−λT∞nk(λT)e−−λTQP(μT+σTZ−ξ≥a)+eP(μT+σTZ≥a)∑∑n,k∑in!n=1k=1i=12(ση)T1n−λT∞n2e(λT)e1k=(−Tη)PI(a−μT;−η,−,−σTη)+∑∑1n,kk−111n!2πTσσTn=1k=12(ση)T2n−λT∞n2e(λT)eT1a−μTk−λT(σTη)QI(a−μT;η,,−σTη)+eN(−)∑∑2n,kk−122n!2πTσσTσTn=1k=1 10
南京财经大学硕士学位论文 双指数跳跃扩散模型下的标准欧式期权定价公式 期权的基础知识 期权是买卖特定商品或有价证券的和约，并在期权有效期内和约的双方决定是否执行期权。更简单的说，期权是一种选择权，其交易的实质是和约的双方对权利的买卖和对投资机会的把握，期权的一方在向另一方支付一定数额的货币后，就拥有了在一定的时间内以双方互相商定的价格，向对方买入或卖出一定数量的商品的某种商品或有价证券的权利。 在期权交易中，获得选择权的一方被称为通常被称为期权的购买人，因为他们为获得这一选择权必须向期权的卖出者支付一定数额的货币，而向交易对方提供这一选择权的乙方被称为期权的出售方，因为他们以收取一定数额的货币为前提而提供这种权利的，因此，期权的出售方也被称为期权的创始人(maker of the option)或出具人(writer)。 一般来说影响期权价格的因素有标的资产价格，执行价格，到期日期，标的资产价格的波动率，无风险利率和红利，这些因素对不同种类的期权有不同的影响，通常标的资产的价格是影响期权价格最重要的因素，在执行价格不变时，当标的资产价格越高，欧式期权的内在价值就越高；当期权的有效期增加时，美式期权的价值也随之增加，这是因为当其它条件不变时，只有到期日不变的两个美式期权，有效期长的那个期权不仅包含了有效期短的那个期权的所有执行机会，而且它比有效短的那个期权有更多的获利机会。因此有效期长的那个美式期权价格总是大于其它条件不变情况下的有效期短的那个美式期权价格，但对于欧式期权却不一定成立，因为有效期长的那个欧式期权也只能在到期日执行，有效期长的欧式期权却不一定包含有效期短的所有执行机会；无风险利率对期权的价格的影响却不是那么直接，当整个经济的利率增加时，股票价格的预期增长率也倾向于增加，然而期权持有者收到未来的现金流的现值却倾向于减少；在除息之后，将减少股票的价格期权按买入或卖出标的资产分为看涨期权（call option）或看跌期权（put option）。按和约的具体执行时间可分为欧式期权，美式期权，其中，欧式期权只能在期权的到期日执行，美式期权则可以在到期日之前的任何一个工作日执行，如今市场上期权大部分为美式期权，因为美式期权的购买者可以比欧式期权的购买者有更大的权利。因此美式期权的价格也相应的大于或等于欧式期权的价格。 鞅及其相关知识的介绍 定义鞅的定义： (F)是概率空间的(Ω,F,P)上的一个σ−域，一个具有有限tt≥0 11
南京财经大学硕士学位论文 均值的可积随机变量序列(X)，即对于∀t,E(X)<∞，我们称(X)是一个鞅，tt≥0Ttt≥0如果对于所有的s≤t都有：E(X|F)=X，由鞅的定义如果(X)是鞅，则有tSStt≥0E(X)=E(X)。 t0由鞅的定义可知，给定以往的所有的信息滤波F，对于X，最好的近似是X。对StS于金融市场来说，在不存在套利的条件下，对未来的资产价格的预测最好途径是现在的价格， 定理 Cameron-Martin-Girsanov定理 设W是一个P-布朗运动，γ为一个关于F−可料过程，并且满足有界性条件ttT21E(exp(γdt))<∞，则存在一个概率测度Q，使得 p2t∫0(1) 测度P和测度Q等价 TTdQ21(2) =exp(−γdW−γdt) tt2t∫∫00dP~t(3) W=W+γds为一个Q-布朗运动。 tts∫0引理半鞅的指数公式(Doleans-Dade指数公式) 考虑一个随机积分方程 tη(t)=1+η(s)dξ(s)的解，其中 ξ(t)=a(t)+β(t)+um(t,du)， ∫∫0R这里β(t),a(t)为连续的有限变差过程，并假定m(t,(−∞,−1])=0，则 −Δξ1Sη(t)=exp{ξ(t)−<β>}e(1+Δξ) ∏2tss≤ 双指数跳跃扩散模型下的标准的欧式期权定价 设期权的执行价格为K>0，则期权到期日时T时期权的收益为： +⎧max{S−K,0}=(S−K)，看涨期权TTV(S,T)= ⎨T+max{K−S，0}=（K−S），看跌期权⎩TT此时，欧式期权t=0时的价格为 −rT V(S,0)=E[eV(S,T)] ET美式期权t=0时的价格为： −rτ V(S,0)=SupE[eV(S,τ)，τ是F停时 AτT0≤τ≤T−rT+−rT−rT记C(S,0)=E[e(S−K)]=E[eSI]−KE[eI] ETT{S≥K}{S≥K}TT 12
南京财经大学硕士学位论文 =I−I 12由于利率r为常数，根据（）和定理()，可求得： −rT−rTI=KE[eI]=KeP(S≥K) 2{S≥K}TTSS−rTT=KeP(In()≥−In())SKN(T)S−rT21=KeP((r−σ−λK)T+σW+Y≥−In()) ∑2TiKi=1S−rT21=Keγ(r−σ−λK,σ,λ,p,η,η;−In(),T)212K现计算I,利用改变计价单位的方法，定义新的概率测度Q如下： 1N(T)dQS−rTT21 =e=exp{(−σ−λK)T+σW+Y} T∑2idPSi=1SdQ−rTT注意到E[e]=1，所以有意义，由Girsanov定理可知，在新的概率测度Q，SdP∗W=W−σt是布朗运动，N的强度参数为： ttt⎡ηη⎤∗Y12λ=λE[e]=λp+q=λ（k+1）的Poisson过程， ⎢⎥η−1η+1⎣12⎦{J，i=1，2，L}在Q下仍是独立同分布的随机变量序列，但其密度函数变化为： i1∗Y f(y)=ef(y) YYYE[e]pηqη−(η−1)y(η+1)y1212=eI+eI{y≥0}{y<0}1+k1+kpηqη−(η−1)y(η+1)1212=(η−1)eI+(η+1)eI1{y≥0}2{y<0}(1+k)(η−1)(1+k)(η+1)12∗∗∗∗−ηy∗∗ηy12=pηeI+qηeI1{y≥0}2{y<0}pηqη∗∗∗∗12显然，p=，q=，η=η−1，η=η+1，1122(1+k)(η−1)(1+k)(1+η)12pηqη12k=+−1η−1η+112同时()在新的概率测度Q变为： 13
南京财经大学硕士学位论文 N(T) S2∗T1In()=(r+σ−λk)T+σW+YT∑2i Si=1 S−rT−rTTQ于是：I=E[eSI]=E[SeI]=E[SI]=SQ(S≥K) 1T{S≥K}{S≥K{S≥K}TTTTSS2∗∗∗∗1同I的计算类似，有I=Sγ(r+σ−λk,σ,λ,p,η,η,−In(),T) 21212K定理 在双指数跳跃扩散模型下的标准的欧式期权在期初t=0时的价格为: S2∗∗∗1 C(S,0)=Sγ(r+σ−λk,σ,λ,η,η,−In(),T) E212KS−rT21−Keγ(r−σ−λk,σ,λ,η,η,−In(),T) （） 212K有看涨与看跌期权的平价关系可以得到标准的欧式看跌期权的期初价格为: −rTP(S,0)=C(S,0)−Ke−S （） EE推论 当其它参数不变时，当Poisson事件发生的密度λ→0,或股票价格上跳或下跳的尺度越来越小是即η→∞,η→∞时，上述的双指数跳跃扩散模型下的标准12欧式期权价格将趋于Black-Scholes期权定价公式。 注：若股票价格有连续的红利支付，设红利率为d，只须将无风险利率r换成r-d，代入(),()，即可得到标的资产有连续红利支付情形下的期权定价公式。 14
南京财经大学硕士学位论文 第三章 双指数跳跃扩散模型下的亚式期权定价研究 在当今的发达国家的金融市场，路径依赖型的期权越来越受到投资者的青睐。亚式期权也是路径依赖型的期权，它的未定权益依赖于标的资产的平均价格，相对于标准欧式期权价格的以股票价格为标的变量，而亚式期权价格则是以股票价格的某种平均为标的变量。根据标的资产价格的平均期限开始时刻，亚式期权可以分为forward-start option指平均开始在从当前时刻t到期权到期前之间的某一时刻T(T>t)；standard option若平均开始在当前时刻t(T=t)；in-progress option是指+++平均开始在当前时刻t之前的某一时刻T(T<t)。根据平均的性质，可以是几何平−−t1均也可能是算术平均，若平均是算术平均，亚式期权的标的变量是A(t)=S(u)du，∫0tt1若平均为几何平均，亚式期权的标的变量为A(t)=exp{InS(u)du}。期权的未定权∫0t益依赖于股票价格的平均是一种很具吸引力的衍生证券，虽然是场外交易的衍生证券，但以货币和商品特别是以石油商品为标的资产的亚式期权却很常见，而亚式期权的引进将有助于减少期权到期之前期权价格遭受标的资产价格控制的风险(详见Asbjorn ,(2000))。而本文研究的是平均开始在当前时刻t=0，具有固定执行T1+价格，标准欧式算术平均亚式期权，未定权益为(A(T)−K),A(T)=S(u)du。本∫0T章我们将首先讨论在Black-Scholes模型下，即股票价格的过程不存在跳跃情形下的亚式期权定价，然后讨论在双指数跳跃扩散模型框架下研究亚式期权定价。我们分两种情况来讨论，一种情形是在期权的有效期内股票价格仅发生一次跳跃时亚式期权定价，另一种是在期权的有效期内股票价格过程将发生多次跳跃情况下亚式期权定价。 Black-Scholes模型下的亚式期权定价研究 金融市场的描述 传统的亚式期权定价研究源于Black-Scholes证券市场模型和对未定收益的风险中性分析：在标准Black-Scholes证券市场上仅有两个证券，它们的价格是由需求和供给决定的。第一种证券是无风险证券，价格为B(t)=exp(rt)，另一种证券是有风险证券，如股票。所有影响股票价格的所有不确定性产生了一个完备的概率空间(Ω,{F},Q)，{F}是标准布朗运动(B,t≥0)产生的标准滤波，Q是定义在这个tt≥0tt≥0t滤波空间的风险中性概率测度，在这个等价的概率测度下，股票价格的变化机制为： 15
南京财经大学硕士学位论文 S=(r−δ)dt+σdW(t),t≥0,δ为股票支付常数的连续红利收益率，等价的可以写成：t21S=Sexp[(r−δ−σ)t+σW(t)],t≥0,σ是股票收益率的瞬时波动率。 和MarcYor的亚式期权定价方法 在上面所描述的Black-Scholes模型下，我们研究欧式的亚式期权的定价问题。t从t到t时的股票价格积分过程为：J(t)=Sdu，假设亚式期权平均开始t时时刻，0u0∫t0T1到期日为T，执行价格为K，算术平均的亚式期权是以平均Sdu为标的变u∫t0T−t0量，到期日T时的未定权益(到期日可能支付)： +(J(T)(T−t)−K)=max(0,J(T)(T−t)−K) 00未定权益只有在到期日才支付，在其它时间内期权无收益，但亚式期权的收益依赖于从t到t时的股票价格平均。 0风险中性定价的原理是以风险资产为标的的未定权益的均衡价格为在风险中性概率测度下，其未定收益的条件期望在无风险利率下的折现。这个价格即是无套利价格。 J(T)−r(T−t)Q+ C=eE[(−K)|F] ttT−t0利用布朗运动的收缩性质（the scaling property of Brownian motion），并且改变一下各参数的系数，我们可以得到亚式期权的价格为： −r(T−t)e4S(v)(v)Q(v)+t C=C(h,q)，C(h,q)=E[(A−q)] th2T−tσ0h(v)2(B(u)+vu)(v)A=edu被称为′Yorsprocess，C(h,q)称为转化的亚式期权价格。 h∫0各个参数变化为：这些参数都是常系数 22t2(r−δ)σKσv=−1,h=(T−t),q=kh+q∗;k= q∗=(K(t−t)−Sdu) 0u2∫t0σ4S4Stt具体计算见,MarcYor(1993)。 (v)Q(v)+计算亚式期权的价格转化为计算转化的亚式期权价格：C(h,q)=E[(A−q)] h当q<0时，亚式期权失去了期权特性，我们可以直接写出： (v)Q(v)Q(v)(v)C(h,q)=E(A)−q。而E(A)易通过Fubini定理求得，而且A的各阶期望hhh 16
南京财经大学硕士学位论文 的表达式可以求出详见(Hiroyuki Matsumoto,Marc Yor(2005))。 Q(v)2h(v+1)E(A)=(e−1)2(v+1)， h(v)Q(v)+当v=-1时，A=h。因此，我们只需计算q>0时的E[(A−q)]。 hh(v)Q(v)+事实上，C(h,q)=E[(A−q)]的闭解是可以直接求出来的，即直接计算hQ(v)+(v)E[(A−q)]，因为A的概率分布密度函数是可以求出来的 (详见Hiroyuki hhMatsumoto,MarcYor(2005))。 Yor给出了解析的转化的亚式期权价格如下：对于任何h>0，q>0的实数 ∞∞21(v)v−(1+x)y2+ C(h,q)=cxe(−q)φ(h)dydx h,qxy∫∫00y∞2π−w2h−ach(w) 对于任何正实数a，φ(h)=eesh(w)sin(w)dw a∫0h221π2h−vh2 对于任何h>0， c=e v,h3π2πh由此可以得到转化的亚式期权价格的解析解。我们可以看到上面的表达式是三维积(v)分，通过三维积分来计算C(h,q)，亚式期权的转化价格，足见其计算复杂性。但(v)下面的说明使我们知道C(h,q)的三维积分表达式是不适合实际计算的，虽然能够写出其闭解表达式的，主要是因为PCarrM&&.,.Schroder(2004)文中指出：在通常的金融数据下，如σ=20%,30%,40%r=5%,δ=0,T=1年，年,t=0，因子c取值在0v,×10和×10之间而转化的亚式期权价格证明往往并不大，Yor的转化的亚式期权价格即是一个很大的数乘上一个三维积分，而这个三维积分是一个非常小的数，实际计算中又要求必须非常精确的计算这个三维积分，才能给出合理的亚式期权价格，这往往是很困难的。但在,MarcYor(1993)文中成功的克服了这Q(v)+一困难，即通过对E[(A−q)]拉普拉斯变换(laplace transform)从而避免了上面的hQ(v)+三维积分。在对E[(A−q)]进行拉普拉斯变换时,MarcYor(1993)运用了h一些复杂的数学技术，运用了bessel process和 bessel squared process的性质，如应(v)(v)(v)用lamperty identity：exp(vw+B(w))=R(A)(R是指数为v的bessel process，w 17
南京财经大学硕士学位论文 v+1s1s（v）(v)2R(0)=1)；运用bessel半群的密度：p(1,s)=exp(−(1+s))I()(v>-1)qqq2qq等。利用这些工具，,MarcYor(1993)推出了当bessel过程的指数v>-1时的Q(v)+对E[(A−q)]拉普拉斯变换的表达式，即： h12q−x(μ−v)2−2(μ+v)2+1ex(1−2qx)∞∫−λh(v)0 eC(h,q)dh=, Γ代表gamma函数 ∫0λ(λ−2−2v)Γ((μ−v)2−1)详细的推导过程见,MarcYor(1993)，通过拉普拉斯逆变换即可得到变量Q(v)+E[(A−q)]，从而可以得到亚式期权价格。 h2(r−δ)需要指出的是v=−1在现实的金融市场上v<-1是成立的，特别是σ很小，2σδ>r的时候会更加合理。在PCarrM&&.和.Schroder(2004)文中考虑了这些事实，允许λ为复数，利用复分析技术，运用三种不同的方法（1）对bessel process进行Girsanov thransform；（2）应用随机分析和复分析相结合的技术；（3）a uniform proof，从而把,MarcYor(1993)文中的结果推广到v<-1的情形，并得到了类似的结果，具体的推导过程详见PCarrM&&.和.Schroder(2004)。 DonatiMartin,RaoufGhomrasni,MarcYor亚式期权定价方法 在这一节中我们将介绍Donati-Marin et al(2001)文中推导出计算转换的亚式期权价格的拉普拉斯变换的另一种不同的方法，需要运用马氏过程的性质，这种方法也是本文中借鉴和引用的方法。 首先引进了如下的等式，根据文中的引理，下面的等式概率分布上是成立的： ta,b A:=exp(aB(s)+bs)ds 则： t∫0lawta,b A=exp(aB(t)+bt)exp(−(aB(s)+bs))ds,t≥0 () t∫0把股票价格初始化为S=1，期权到期日为t，执行价格为K，亚式期权价格定义为：0a,b+E[(A−K)]，通过对这个定价公式的转化很容易得到一般化的亚式期权价格。 ta,b()式的右面定义了t时刻的马尔可夫过程{Y(0);t≥0}。因此下面的等式是成立t的： a,b+a,b+E[(A−K)]=E[(Y(0)−K)] ttta,b Y(x)=exp(aB(t)+bt)(x+exp(−(aB(s)+bs))ds),t≥0 t∫0 18
南京财经大学硕士学位论文 a,b过程{Y(x);t≥0}满足的随机微分方程为： t2ttaY=x+aYdB(u)+((+b)Y+1)du tuu∫∫0022,v取a=2,b=v，定义马尔可夫过程 {Y(x);t≥0}的预解式U，即满足下式： tα∞2,v Uf(x)=exp(−αt)E[f(Y)]dt () axt∫0并且可以求出预解式U的密度为： αv+μΓ()⎛111−v2u(x,y)=⎜I(y)()exp(−)ϕ(x)ϕ(y) a{0,x}12⎜Γ(1+μ)yy⎝11⎞1−v+I(y)()exp(−)ϕ(x)ϕ(y)⎟ {x,∞}21⎟yy⎠对于任何x, y>0： 1v+μ11v+μ1(v+μ)2(v+μ)2ϕ(x)=()Φ(;1+μ;);ϕ(x)=()Ψ(;1+μ;) 12x2xx2x2μ=v+4α;Φ,Ψ分别代表第一种和第二种超几何函数。 注：对预解式U的密度的u(x,y)的表达式证明放在了后面。 ααlaw2,v2,v2,v2,v我们知道A=Y(0)我们把()式中的f(Y)换成Y(0)得到： TTttαα∞2,v2,v1U(0)=exp(−αt)E[Y]dt=E[Y] a0tα0T∫α0用预解式U的密度的u(x,y)表示： αα∞U(0)=u(0,y)ydy αα∫02,v2,v由此可以得出Y(0)的密度为：αu(0,y)，也即是Y(0)的密度。 TaTαα∞2,v+−αt2,v+而E[(A−K)]=αeE[(A−K)dt Ttα∫0∞−αt2,v+ =αeE[(Y(0)−K)]dt 0t∫0+ =αUf(0) f(x)=(x−K) α∞∞αUf(0)=αu(0,y)f(y)dy=αu(0,y)(y−K)dy ααα∫∫0K 19
南京财经大学硕士学位论文 v+μΓ()∞1121−v =α()exp(−)ϕ(y)(y−K)dy 1∫KΓ(1+μ)yyv+μΓ()∞111v+μ121−v(v+μ)2 =α()exp(−)()Φ(;1+μ;)(y−K)dy ∫KΓ(1+μ)yyy2yv+μμ−vΓ()Γ(−1)1μ+v11−(μ−v)222 =αKexp(−)Φ(+2;1+μ;) μ−vK2KΓ(1+μ)Γ(+1)22,v+我们通过对αUf(0)进行拉普拉斯逆变换就可以得到E[(A−K)] αt(v)Q(v)+通过上面的介绍我们知道：C(h,q)=E[(A−q)] h∞Q(v)+−αh(v) 从而可以得到：E[(A−q)]=αeC(h,q)dh Tα∫0∞Q(v)+−αh(v)+E[(A−q)]=αeE[(A−q)]dh Thα∫0∞h−αh+ =αeE[(exp(2W(s)+2vs)ds−q)]dh ∫∫00∞2h−αh+1 =αeE[(exp(2W(u)+vu)du−2q)]dh 2∫∫001∞t−αt+112 =αeE[(exp(2W(u)+vu)du−2q)]dt 22∫∫001∞−αt2,v+112 =αeE[(A−2q)]dt 22t∫02,v+1=E[(A−2q)] 2T1α2因此应用Donati-Marin et al（2001）文中介绍的方法，再一次得到了转化的亚式期权价格的拉普拉斯变换，这种方法是与,MarcYor(1993)文中介绍的计算转换的亚式期权价格的拉普拉斯变换的方法是显然不同的。 双指数跳跃扩散模型下的亚式期权定价研究 我们知道双指数跳跃扩散模型下标的资产的运动机制为： dBt=rdt，B=1 0BtNtdSt=(r−λk)dt+σdW+d([V−1]),S=S t∑i0Si=1t− 20
南京财经大学硕士学位论文 rt在这种不完备的市场下有这样的两种资产，无风险资产B=e（r是无风险利率）t和一个风险资产（如股票），它的跳跃尺度为V,VLVL，跳跃发生的时刻为12Jτ,τLτL，在标的资产价格发生突变时刻期间，股票价格依然服从Black-Scholes12J模型，我们用(T)来表示股票价格发生跳跃的时间间隔，在Poisson过程在情形下ii≥1是一列服从独立同分布的参数为θ的指数随机变量，τ代表Poisson事件即跳跃发生jj时刻，于是τ=T，j为自然数。于是股票价格的变化机制可以描述为： j∑ii=1dSt(1) 跳跃发生的时间之间[τ,τ)：=rdt+σdW,S=S jj+1t0St−(2) 在跳跃发生时刻τ，股票价格的跳跃大小为ΔS=S−S=S(V−1) −−jττjjJττJj显然，股票价格过程(S)在[0,t]时间内是右连续的，F-适应的，仅有有限个不连tt≥0t续点。 因此，对于任何t≥0有： N(t)tS=S+S((r−λk)ds+σdW)+S(V−1) −t0ss∑j∫τ0jj=1由半鞅Doleans-Dade指数公式，我们可以得到： N(t)21 S=Sexp(σW+(r−λt−σ)t)V t0t∏2jj=1下面我们将要研究标的资产价格在期权的有效期内仅发生一次跳跃和多次跳跃情形的亚式期权是如何定价的。 期权有效期内股票价格仅发生一次跳跃时的亚式期权定价 1. 模型的描述 给定了一个概率空间(Ω,F,(F),P)，我们假设T是参数为θ的指数随机变量，t0≤t1V是跳跃尺度随机变量取值在(0,∞)并且是与布朗运动W相独立。股票价格过程在t1t时刻是F-适应的，右连续的过程并且满足 t 21
南京财经大学硕士学位论文 dSt(1) 在时间间隔[0,T)，=rdt+σdW,S=S； 1t0St−(2) 在时刻T，股票价格S的跳跃大小为：ΔS=S−S=S(V−1)； −=−1tTTT11TT111t(3) 对于任何t≥T， S=S+S(rds+σdW)+S(V−1). −1t0ssT∫T01于是，我们将有股票价格的解析表达式S： t21当t∈[0,T),S=Sexp(σdW+(r−σ)t)； 1t0t221当t≥T,S=Sexp(σW+(r−σ)t)V 1t0t212. 基本定理的证明 tξs引理 假定一个列维过程(ξ,t≥0)，令A(ξ)=eds，于是我们有对于任何t>0，tt∫0下面的等式成立： lawξt (eA(−ξ)),ξ)=(A(ξ),ξ) tttt引理 对于任何s,t≥0,下面的等式在概率分布上成立： lawt+ssaB(u)+buaB(t)+btaW(u)+bu edu=eedu ∫∫t0这里，W(u),B(u),u≤t是两个相互独立的布朗运动。 t+sssaB(u)+buaB(v+t)+b(v+t)a(B(v+t)−B(t))+aB(t)+b(v+t)证明：edu=edv=edv ∫∫t00saB(t)+btaW(v)+bv =eedv ∫0在证明过程中我们进行了变量代换并运用了布朗运动的独立增量性。 推论 若T，S为两个时间随机变量，则下面的等式成立： lawT+SS exp(aB(t)+bt)dt=exp(aB(T)+bT)exp(aW(t)+bt)dt ∫∫T0这里W(u),B(u),u≤t是两个相互独立的布朗运动。 下面我们介绍一下文章Donati-Marin et al(2001)推导出来的重要的一个结论： 引理 假设T为参数为α的指数随机变量，并且与布朗运动B(t),t≥0相互独立，αTa2,v则变量A：=exp(2B(s)+vs)ds的分布密度为： Ta∫02,v P(A∈dy)=αu(0,y)dy Tαα 22
南京财经大学硕士学位论文 μ+v(μ−v)Γ1+()211v+μ1⎛⎞⎛⎞⎛⎞22u(0,y)=exp−Φ;1+μ；，μ=v+4a ⎜⎟⎜⎟⎜⎟aΓ(1+μ)xx2x⎝⎠⎝⎠⎝⎠Φ(a,b,z)表示第一种超几何分布函数。 注：详细的证明过程见Donati-Marin et al(2001)，在这里就不详细的写出了。 我们将根据该引理，给出这个定理的更一般化的形式，即给出变量 TTaaexp(aB(s)+bs)ds(a,b为实数)的分布密度。在介绍exp(aB(s)+bs)ds(a,b为实数)∫∫00的分布密度之前，我们还要介绍下面的引理。 2b~引理 令v=，下面的等式在概率分布上是成立的： 2alawTTa222αa~exp(aB(s)+bs)ds=exp(2B(u)+vu)du ∫2∫00a2aT2α~TTααsa22证明：exp(aB(s)+bs)ds=exp(2B()+bs)ds=exp(2B(u)+vu)du ∫∫2∫0002a22lawaTsaα在这里我们进行了变量代换，即令u=，容易证明T=，所以引理αa22成立。 有了上面的引理，下面的定理容易证明。 Tα定理 变量 exp(aB(s)+bs)ds的概率分布密度可由下式表示： ∫022Tαa2αa⎛⎞P(exp(aB(s)+bs)ds∈dp)=u(0,ρ) ⎜⎟2∫22αa02a2⎝⎠~~1+(v+μ)2~~~~Γ((v+μ)2⎛⎞⎛⎞⎛⎞)22v+μ2~α⎜⎟⎜exp−⎟Φ⎜+⎟ =;1μ; ~222⎜⎟⎜⎟⎜⎟Γ(1+μ)aρaρ2aρ⎝⎠⎝⎠⎝⎠222~~~~~μ=v+4α,v=2ba,α=2αa 证明：根据初等概率论的知识容易证明。 ta,b引理 随机过程Y(x)=exp(aB(t)+bt)(x+exp(−(aB(s)+bs)ds)是马尔可夫过t∫02tta程，并且是下面方程的解：Y=x+aYdB(u)+((+b)Y+1)du tuu∫∫002注：证明过程详见Donati-Marin et al(2001) a,b2,v显然过程Y(x)的初始值为x，当a=2,b=v时我们用Y表示Y(x)。 tvt 23
南京财经大学硕士学位论文 引理 若用U表示马尔可夫过程Y的预解式，即： αv∞ Uf(x)=exp(−αt)E[f(Y(t))]dt αxv∫0则预解式U的密度可以由下式表示： αU(x,y)=av+μ Γ()⎛1111⎞21−v1−v⎜I(y)()exp(−)ϕ(x)ϕ(y)+I(y)()exp(−)ϕ(x)ϕ(y)⎟[0,x]12[x,∞]21⎜⎟Γ(1+μ)yyyy⎝⎠1v+μ11v+μ1(v+μ)2(v+μ)2ϕ(x)=()Φ(;1+μ;)；ϕ(x)=()Ψ(;1+μ;),x>0,y>0,12x2xx2x 2μ=v+4α,Φ,Ψ分别为第一种和第二种超几何分布函数。证明：仅给出简要的证明，详细的证明过程请参见论文Donati-Marin et al(2001) 若f为一个定义在[0，∞]上的有界函数，函数u(x):=Uf(x)是下面微分方程的a解：(αI−L)u(x)=f(x)，我们利用了马氏过程无穷小算子和预解式的关系。L代 表马尔可夫过程Y无穷微算子，从而u(x)是下面的微分方程的解： v2du(x)du(x)2x+((1+v)x+1)−αu(x)+f(x)=0 2dxdx解这个微分方程可得： v+μΓ()x1121−vu(x)=()exp(−)ϕ(t)ϕ(x)f(t)dt+ 21∫0Γ(v+1)ttv+μΓ()∞1121−v ()exp(−)ϕ(t)ϕ(x)f(t)dt 12∫xΓ(1+v)tt由此可见马尔可夫过程Y的预解式U的密度可以由上式表示。 vαa,b下面的定理将给出马尔可夫过程Y(x)预解式R的密度表达式。 tλa,b定理 我们用R来表示马尔可夫过程Y(x)的预解式，那么预解式R的密度可λtλ以用下式表示： 24
南京财经大学硕士学位论文 r(x,y)=λΓˆ⎧~~⎫(a)22221−v1−v~~~~I(y)()exp(−)ϕ(x)ϕ(y)+I(y)()exp(−)ϕ(y)ϕ(x)⎨⎬[0,x]12[x,∞]122222ˆayayayayΓ(b)⎩⎭2222aˆaˆˆˆˆˆˆˆx,y>0;ϕ(x)=()Φ(a,b,);ϕ(x)=()Ψ(a,b;);12222axaxaxaxˆˆv+μ2b2λ2ˆˆˆˆˆˆˆˆa=,v=,b=1+μ,μ=v+4λ,λ=; 222aaΦ,Ψ分别表示第一种和第二种超几何函数。ta,b证明：我们知道 Y(x)=exp(aB(t)+bt)(x+exp(−(aB(s)+bs)ds) t∫022tatas=exp(2B()+bt)(x+exp(−(2B()+bs))ds ∫0222at22ˆˆ=exp(2B(v)+vv)(x+exp(−(2B(u)+vu))du) ∫20a2v2axBˆˆ=exp(2(v)+vv)(+exp(−(2B(u)+vu))du) 2∫0a222vˆ,=Y v2a2at 在这里我们作了变量代换：v= 2a,b马尔可夫过程Y(x)的预解式R可表示为： tλ∞∞2a,b2vˆ,Rf(x)=exp(−λt)E[f(Y(x))]dt=exp(−λt)E[f(Y)]dt λxtxv∫∫200a∞∞2vλ22222vˆvˆ,2,ˆ =exp(−)E[f(Y)]dv=exp(−λv)E[f(Y)]dv 2xxv∫22at222∫200aaaaa22ˆ,v2vˆ,a,b令F(Y)=f(Y)=f(Y(x))，F(⋅)是定义在[0,+∞)上的实函数。 vvt2a2∞ax2vˆ,ˆ于是：exp(−λv)E[F(Y)]dv=RF() xˆvˆ∫λ022ax由引理预解式R的密度可以表示为：u(,s) ˆˆλλ222∞axax则RF()=u(,s)F(s)ds ˆˆλ∫λ0222∞2ax于是：Rf(x)=u(,s)F(s)ds λˆ2∫λ0a2 25
南京财经大学硕士学位论文 ∞又因为：Rf(x)=r(x,y)f(y)dy λλ∫0222vˆ,a,b在这里我们用s表示Y，用y表示Y(x)，则y=s,F(s)=f(y),dy=ds vt22aa2222axayaxay则易见：r(x,y)=u(,)=u(,) 2λˆλ2λa2222并利用u(x,y)具体表达式，见引理，即可得到预解式R的密度r(x,y)。 aλλτ−T1引理 exp(aW+bs)dρ的概率密度可以表示为： t∫02τ−T1ϑθaρP(exp(aW+bs)ds∈dp)=u(0,)dρ 2t∫2ϑa0θ+ϑ2~~v+μΓ()2~θϑ22aρ1−v2=I[0,∞]()exp(−)ϕ() 1~22θ+ϑΓ(1+μ)aρaρ2~~v+μΓ()~~~~~θϑ222v+μ21−v(v+μ)22~=I[0,∞]()exp(−)()Φ(,1+μ;) ~2222θ+ϑΓ(1+μ)aρaρaρ2aρ~~v+μΓ()~~ϑ~~θ22μ+v21+(μ−v)22~=I[0,∞]()exp(−)Φ(,1+μ;) ~222θ+ϑΓ(1+μ)aρaρ2aρ2b~2ϑ2~~ˆˆv=,ϑ=,μ=v+4ϑ, 22aa证明过程请参见论文Ching-Sung Chou et al[2006]. 引理 下面的等式成立： Γ(1−b)Γ(1−b)1−bΨ(a,b;x)=Φ(a,b;x)+xΦ(1+a−b,2−b,x) Γ(1+a−b)Γ(a)引理下面的等式成立： ∞111Γ(b−a−2)111b−ab−a−2(t−K)()exp(−)Φ(a,b;)dt=()exp(−)Φ(a+2,b,)∫KtttΓ(b−a)KKK∞1111111b−ab−a−1 ()exp(−)Φ(a,b,)dt=()exp(−)Φ(a+1,b,) ∫Ktttb−a−1KKK引理下面的等式成立： ∞111111b−ab−a−2 (t−K)()exp(−)Ψ(a,b;)dt=()exp(−)Ψ(a+2,b,) ∫KtttKKK证明过程请参见论文Ching-Sung Chou et al[2006]. 26
南京财经大学硕士学位论文 引理 Kummer first theorem −x eΦ(a,b;x)=Φ(b−a,b;−x) +a,b我们令f(x)=(x−K)，由定理，我们推导出马尔可夫过程Y(x)预解式： Kt∞Rf(x)=r(x,y)f(y)dy λKλK∫0xΓˆ(a⎧)1ˆ2ˆ22b−aˆb−aˆ+ˆϕˆˆ =(x)()()exp(−)Ψ(a,b;)(y−K)dy ⎨1∫2220ˆyaayayΓ(b)⎩∞⎫1ˆ2ˆ22b−aˆb−aˆ+ˆ +ϕˆ−Φˆ(x)()()exp()(a,b;)(y−K)dy ⎬2∫222xyaayay⎭2当x≤K，我们进行变量代换y=2ξa，上式可以写为： ∞1ˆ2ˆ22b−aˆb−aˆˆRˆˆ f(x)=ϕ(x)()()exp(−)Φ(a,b;)(y−K)dy λK2∫222Kyaayay2∞Γˆ(a)aˆ2ˆ112ξ2b−aˆb−aˆˆˆˆ =ϕ(x)()()exp(−)Φ(a,b;)(−K)dξ 22∫222aK2ˆ2ξaξξaaΓ(b)2∞Γˆ(a)21ˆ11a2b−aˆˆϕˆˆ =(x)()()exp(−)Φ(a,b;)(ξ−K)dξ 222∫aK2ˆaξξξ2Γ(b) 由引理上式可转换为： ˆΓˆˆ(a)2Γ(b−a−2)2ˆ222b−aˆ−2ˆRˆˆf(x)=ϕ(x)()()exp(−)Φ(a+2,b;) λK22222ˆˆaaKaKaKΓˆ(b)Γ(b−a)ˆΓˆˆ22(a)2Γ(b−a−2)2ˆ22aˆ2b−aˆ−2ˆˆˆˆ=()Ψ(a,b;)()()exp(−)Φ(a+2,b;) 222222ˆˆaxaxaaKaKaKΓˆ(b)Γ(b−a)ˆΓˆˆ(a)Γ(b−a−2)12ˆ1ˆ222aˆbb−aˆ−2ˆˆˆˆ=()()()exp(−)Ψ(a,b;)Φ(a+2,b;) (1) 2222ˆˆxaKaKaxaKΓˆ(b)Γ(b−a)∞当x>K时，Rf(x)=r(x,y)f(y)dy λKλK∫0xΓˆa⎧()1ˆ2ˆ22b−aˆb−aˆˆˆˆ=ϕ(x)()()exp(−)Ψ(a,b;)(y−K)dy ⎨1∫222KˆyaayayΓ(b)⎩∞1ˆ2ˆ22b−aˆb−aˆˆ +ϕˆˆ(x)()()exp(−)Φ(a,b;)(y−K)dy 2∫222xyaayay2我们再一次的进行变量代换：ξ=ay2，于是上式可化简为： 27
南京财经大学硕士学位论文 Γˆ(a)2ˆ211ˆ22baˆb−aˆ−2 ˆRˆˆf(x)=()Φ(a,b;)()()exp(−)Ψ(a+2,b;)λK2222ˆaaxxKaKaKΓ(b) 22a22ˆˆ+ˆˆxΦ(1−a,2−b;−)Φ(a+2,b;)22ˆˆˆaxaxˆb−b−ˆ(1)(a−1)(b−a−1)22aK22ˆˆ+ˆˆx(1−)Φ(1−a,2−b;−)Φ(a+1,b;)22ˆˆxaxaxˆ(b−1)(b−a−1) (2) 22a22ˆˆˆˆ−ˆˆxΦ(b−a,b;−)Φ(3+a−b,2−b;)22ˆaxaxˆˆ(b−1)a(a+1)22aK22ˆˆˆˆ+ˆˆx(1−)Φ(b−a,b;−)Φ(2+a−b,2−b;)22ˆxaxaxb−ˆ(1)a上面结论推导过程中我们使用了引理。 引理 如果马尔可夫过程(X)的初始概率测度v，即P(X∈A)=v(dx)，则tt≥00∫A对于任何博雷尔(borel)函数有：E[f(X)]=E[f(X)]v(dx),E是对马尔可夫过程vtxtx∫(X)的概率分布求期望，此时，马尔可夫过程的初始值X=x。 tt≥003. 股票价格仅发生一次跳跃情形的亚式期权定价研究 前面介绍过,MarcYor(1993)文中在Black-Scholes模型下研究亚式期权(v)+定价问题，我们知道在亚式期权定价问题中，E[(A−K)]是一个重要的变量，它t(v)+决定着亚式期权定价公式的获得。事实上，E[(A−K)]是可以写出解析表达式的，t但得到的表达式过于复杂，而且不适合实际计算。因此，我们发现最好是研究随机(v)+(v)+函数E[(A−K)]，即是对E[(A−K)]的拉普拉斯变换（laplace transform），经Ttλ变换后的表达式简单并且适合于实际的计算目的。那么转换后的亚式期权价格的拉普拉斯变换为： 12K−t(μ−v)2−2(μ+v)2+1et(1−2Kt)dt∞∫(v)+−λt(v)+0E[(A−K)]=λeE[(A−K)]dt= Ttλ∫0(λ−2(1+λ))Γ((μ−v)2−1)t(v)这里A:=exp(2(B(s)+vs))ds,t≥0 t∫0(v)+(v)+当然我们需要E[(A−K)]进行拉普拉斯逆变换，从而得到表达式E[(A−K)]，Ttλ这需要数值计算方法。受到拉普拉斯变换方法的启发，在本章研究双指数跳跃扩散τa,b模型下的亚式期权定价研究中我们需要研究随机函数A=Sds(τ是服从参数为τs∫0 28
南京财经大学硕士学位论文 ϑ的指数分布并且与股票价格过程{S,t≥0}是相独立的)。 t∞a,b+−ϑta,b+11我们需要计算E[(A−K)]=ϑeE[(A−K)]dt TτTt∫0a,b+1因此需要得到E[(A−K)]的具体表达式，然后经过拉普拉斯逆变换可得到Tτa,b+1E[(A−K)]，而亚式期权定价公式为： TtT−rTa,b+−rT+11 eE[(A−K)]=eE[(Sds−K)] TTTS∫0τττ+++111我们有：E[(Sds−K)]=E[(Sds−K)I]+E[(Sds−K)I] TSTs{τ≥T}Ts{τ<T}∫∫1∫1000当τ≥T时， 1τTτ12211Sds=Sexp((r−σ)s+σW(s))ds+Sexp((r−σ)s+σW(s))Vds s02021∫∫∫00T1lawT12211 =Sexp((r−σ)s+σW(s))ds+Sexp[(r−σ)T+σW(T)]V× 0202111∫0τ−T121 exp((r−σ)s+σB(s))ds 2∫0T12211=Sexp((r−σ)T+σW(T))exp(−[(r−σ)s+σW(s)])ds+ 02112∫0τ−T12211 Sexp((r−σ)T+σW(T))Vexp[(r−σ)s+σB(s)]ds 021112∫021=Sexp[(r−σ)T+σW(T)]×0211 Tτ−1122⎛11⎞exp[−((r−σ)s+σW(s))]ds+Vexp[(r−σ)s+σB(s)]ds⎜⎟212∫⎝⎠ta,b由上面定义的马尔可夫过程Y(x)=exp(aW(t)+bt)(x+exp(−(aW(s)+bs)ds)可以t∫0a,b21知道上式即是马氏过程Y(x)，参数对应为：a=σ,b=r−σ,t=T, t21τ−T121 x=Vexp[(r−σ)s+σB(s)]ds. 12∫0ta,ba,ba,b定义A:=Sds，则当τ≥T时A=SY(x) ts1τ0T∫10a,b+1下面我们详细的计算E[(A−K)] Tτa,b+1E[(A−K)]Tτ a,b+a,b+a,b+111=E[(A−KT)]=E[(A−KT)I{τ≥T}]+E[(A−KT)I{τ<T}]TτTτ1Tτ1a,b+a,b+11=E[(SY(x)−KT)]+E[(A−KT)I{τ<T}] T0TTτ11 29
南京财经大学硕士学位论文 τa,b+11=E[f(SY(x))]+E[(Sds−KT)I{τ<T}] TKT0TTs11∫0∞τa,b2+111=E[f(SY(y)]h(y)dy+E[(Sexp((r−σ)t+σW(t))dt−KT)] TSyKT0TT02∫01∫00∞∞τ−θta,b2+111=θeE[f(SY(y))]h(y)dtdy+E[(Sexp((r−σ)t+σW(t))dt−KT)]TSyKT0tT02∫∫0∫000∞τ+11=θRf(Sy)h(y)dy+SE[(exp((bt+aW(t))dt−KTS)] TθKT0T00∫∫00KT∞1a,b11=θRf(Sy)h(y)dy+θRf(Sy)h(y)dy+SE[f(Y(0))] TθKT0TθKT0T0KTSτ∫∫100KTKT∞∞1−ϑta,b11=θRf(Sy)h(y)dy+θRf(Sy)h(y)dy+SϑeE[f(Y(0))]dt TθKT0TθKT0T0KTSt∫∫∫00KT0KT∞111=θRf(Sy)h(y)dy+θRf(Sy)h(y)dy+SϑRf(0) (3) TθKT0TθKT0T0ϑKTS∫∫100KTa,b+1Rf(Sy),Rf(0)可以由(1)(2)式可得。代入(3)即可得到E[(A−K)]的具体θKT0ϑKTSTτ0表达式。因此有下面的定理： 定理 若股票价格S,t≥0的运动方式满足下面的条件： t (1) 在时间间隔[0,T)，股票价格满足：dS=rdt+σdW(t)； 1t(2) 在时刻T，股票价格跳跃大小为：ΔS=S−S=S(V−1)； −−1TT111TT11t(3) 对于任何t≥T， S=S+S((r−λk)ds+σdW)+S(V−1). −1t0ssT∫T01这里T是服从参数为θ的指数时间随机变量，V是股票价格跳跃大小的尺度变量，11取值在(0,∞)，独立于布朗运动{B(t),t≥0}(我们知道Y=InV服从双指数分布)，τ是11服从参数为ϑ的指数时间随机变量，独立于股票价格过程{S,t≥0}，并且以上随机tta,b变量都是相互独立的，K是期权的执行价格，A=Sds，则计算亚式期权价格ts∫0a,b+1重要的变量 E[(A−K)] 。 TτKT当y≤时， S0Rf(Sy)=θKT0ˆΓˆΓˆ(a)(b−a−2)12ˆ1ˆ222aˆbb−aˆ−2ˆˆˆˆ()()()exp(−)Ψ(a,b;)Φ(a+2,b;)2222ˆˆSyaKTaKTaSyaKTΓˆ(b)Γ(b−a)001v+μ1(v+μ)2由Donati-Marin et al(2001)，ϕ(0)=1，ϕ(x)=()Ψ(;1+μ;) 22x2x 30
南京财经大学硕士学位论文 由前面的定义： 22ayay22aˆˆˆˆˆˆv=2a−b+1,μ=b−1,x=时，ϕ()=()Ψ(a,b;); 22222aSyay0由上式：Rf(y)= ϑKTS0ˆΓˆΓˆ(a)(b−a−2SS)22ˆˆ222aˆb−aˆb−aˆ0−20ˆˆˆˆ()()()exp(−)Ψ(a,b;)Φ(a+2,b;)=22222ˆˆayaKTaKTayaKTΓΓˆ(b)(b−a)2ˆΓˆˆaΓb−a−ayS2S2S()(2)2ˆˆb−aˆb−aˆ0−200ˆϕ−Φˆ()()()exp()(a+2,b;) 2222ˆˆ2aKTaKTaKTΓbΓb−ˆ()(a)ˆΓˆˆaΓb−a−2S2S2S()()2ˆˆb−aˆb−aˆ0−200ˆ故Rˆf(0)=()()exp(−)Φ(a+2,b;) ϑKTS0222ˆˆaKTaKTaKTΓˆ(b)Γ(b−a)KT当y>时， S0Rf(Sy)= θKT0Γˆ(a)2ˆ211ˆ22baˆb−aˆ−2ˆΦˆˆ()(a,b;)()()exp(−)Ψ(a+2,b;)2222ˆaaSySyKTaKTaKTΓ(b)0022a22ˆˆ+ˆˆSyΦ(1−a,2−b;−)Φ(a+2,b;)022ˆˆˆaSyaSyˆˆ(b−1)(b−a−1)(b−a−1)0022aKT22ˆˆ+ˆˆSy(1−)Φ(1−a,2−b;−)Φ(a+1,b;)022ˆˆSyaSyaSyˆ(b−1)(b−a−1)000 22a22ˆˆˆˆˆˆ−SyΦ(b−a,b;−)Φ(3+a−b,2−b;)022ˆaSyaSyˆˆ(b−1)a(a+1)0022aKT22ˆˆˆˆˆˆ+Sy(1−)Φ(b−a,b;−)Φ(2+a−b,2−b;)022ˆSyaSyaSyˆ(b−1)a000τ−T121我们知道h(x)代表x=Vexp[(r−σ)s+σB(s)]ds的密度函数。 12∫0Y=InV是服从双指数分布的随机变量。分布密度为： 11−ηyηy12f(y)=pηeI+qηeI Y1{y≥0}2{y<0}则V=exp(Y)的概率分布密度为： 111−ηInvηInv12g(v)=(pηeI{v≥1}+qηeI{0<v<1}) 12vτ−T121由引理知，exp[(r−σ)s+σB(s)]ds的概率分布密度为： 2∫0 31
南京财经大学硕士学位论文 2θϑaρf(ρ)=u(0,) 22ϑaθ+ϑ2~~v+μΓ()~~~~θϑ22μ+v21+(μ−v)22~=I[0,∞]()exp(−)Φ(,1+μ;) ~222θ+ϑΓ(1+μ)aρaρ2aρτ−T121f(v,ρ)=g(v)f(ρ)为V和exp[(r−σ)s+σB(s)]ds联合分布密度。 12∫0τ−T121则容易证明x=Vexp[(r−σ)s+σB(s)]ds的概率密度为： 12∫0∞∞x1x1h(x)=f(,ρ)dρ=g()f(ρ)dρ ∫∫00ρρρρ~~v+μΓ()~~∞~~θϑx22μ+v211+(μ−v)22~ =g()()exp(−)Φ(,1+μ;)dρ ~∫2220θ+ϑΓ(1+μ)ρaρaρ2aρρ推论 亚式看跌期权价格也可以从看涨看跌平价关系中推导出来： a,b+a,b+a,b111 E[(K−A)]−E[(A−K)]=K−E[A] TτTτTτa,b+a,b+a,b E[(KT−A)]=E[(A−KT)]+KT−E[A] τττ由上面的假设知道：双指数跳跃尺度变量V和布朗运动W(t)是相互独立的。 1t≥0a,ba,ba,b E[A]=E[AI{τ≤T}]+E[AI{τ>T}] ττ1τ1τT12211=E[Sexp((r−σ)t+σW(t))dt]+E[Sexp((r−σ)t+σW(t))dt 0202∫∫00τ21+Sexp((r−σ)t+σW(t))Vdt]021∫T1∞t∞t−ϑt−θt=ϑeSE[exp(bt+aW(t))]dt+θeSE[exp(bt+aW(t))dt 00∫∫∫∫0000τT1 +E(V)E[Sexp(bt+aW(t))dt−Sexp(bt+aW(t))dt] 100⎡⎤⎛⎞⎛⎞1ϑθ⎜⎟⎜⎟=−1+⎢⎥222⎜1⎟⎜1⎟b+a2ϑ−(b+a)θ−(b+a)⎢⎥⎝2⎠⎝2⎠⎣⎦ ⎛⎞∞1ϑθ⎜⎟+−vg(v)dv222∫1⎜11⎟0b+aϑ−(b+a)θ−(b+a)2⎝22⎠1−ηInvηInv12g(v)是V 概率分布密度，g(v)=(pηeI{v≥1}+qηeI{0<v<1}) 112v 32
南京财经大学硕士学位论文 21a=σ,b=r−σ 期权有效期内股票价格发生多次跳跃时的亚式期权定价 研究股票价格发生多次跳跃情形下的亚式期权定价前，我们先介绍一下随机过程和随机分析的知识。 1. Poisson随机测度和Poisson随机积分的概述 命题 (非时齐的Poisson过程的补偿函数) t~设N(t)是以λ(t)为强度的非时齐的Poisson过程，那么N(t):=N(t)−λ(s)ds是鞅， ∫0t则λ(s)ds就称为非时齐的Poisson过程的补偿函数。 ∫0定义 Poisson点过程 N(v):=N((−∞,v])依赖于取实数值v， tt正整数随机过程{N(v):t≥0，−∞<v<+∞} t称为Poisson点过程，如果对于N((a,b]):=N(b)−N(a)满足： ttt(1) 随机分流定理，若在区间(a,b](i=1,Lm)两两不相交的，则随机过程iiN((a,b])(i=1,Lm)是相互独立的。 iii(2) 对于a<b<c有可加性，N((a,b])+N((b,c])=N((a,c]) ttt(3) 存在单调递增的函数F(v)，使的F(−∞)=0且N((a,b])是强度函数为t[F(b)−F(a)]λ(t)是非时齐的Poisson过程。 并且F(v)λ(t)为Poisson点过程的补偿函数。 N(t)vLvL⎛⎞1k注：对于取离散赋值的非时齐的复合Poisson过程Y=X，X~⎜⎟，t∑in⎜⎟pLpLi=1⎝1k⎠将过程在t时刻以前取值为v的累计个数记为：N({v})=集合{X=v：s≤t}中元素ts的个数。非时齐的复合Poisson过程Y=vN({v})。这种离散的定义可以扩展到t∑ktkk连续的情形，即X可以取连续值，N((a,b])表示在t时刻以前，X取值于区间(a,b]ktk的次数。 命题 由非时齐的复合Poisson过程所定义的随机过程族 33
南京财经大学硕士学位论文 {N(v),t≥0,−∞<v<∞}是Poisson点过程，λ(t)是非时齐Poisson过程的强度函数，tN(v)表示此非时齐的复合Poisson过程在t时刻以前取值于区间(−∞,v]的次数，则t此Poisson点过程的补偿函数为F(v)λ(t)，其中F(v)是X的分布函数，即XXn~N(v)=N(v)−F(v)λ(t)是鞅。 ttXN(t)注：用Poisson点过程表达此非时齐的复合Poisson过程Y=X=vN(dv) t∑it∫i=1定义 时空Poisson过程 正整数随机变量族{μ(t,v):t≥0,−∞<v<∞}称为时空Poisson点过程，如果满足： (1) 如果满足条件μ((s,t]×(a,b])服从强度函数为（λ(t)−λ(s))(F(b)−F(a))的非时齐的Poisson过程，F单调递增，F(−∞)=0。 (2) 独立性：若A=(s,t]×(a,b](i=1,L,m)，且A两两不相交，则μ(A),Lμ(A)iiiiii1m彼此独立。 (3) 可加性：若A=(s,t]×(a,b](i=1，2，3），且A两两不相交，A=AUA iiiiii123注：对于非时齐的复合Poisson过程Y，Poisson点过程和时空Poisson过程是等价t的，即μ(t,v)=N(v)。这是一个时空双参数的正整数值的随机变量族，表示此非t时齐的复合 Poisson过程在t时刻以前取值于区间(−∞,v]的次数。 命题 时空Poisson过程的补偿函数为：F(v)λ(t)，从而使得 Xnμˆ(t,v)=μ(t,v)−F(v)λ(t)是鞅，F(v)是赋值随机变量X的分布函数，λ(t)是非XXn齐 Poisson过程的强度函数。 命题 用时空Poisson过程表达非时齐的复合Poisson过程为: N(t)t∞Y=X=vμ(ds,dv) t∑i∫∫0−∞i=1引理&& 一般化的Ito公式 设有布朗运动{B:t≥0}与时空Poisson过程{μ(t,v):t≥0,对一切v}相互独立，则t 34
南京财经大学硕士学位论文 由布朗运动{B:t≥0}与时空Poisson过程联合驱动的随机微分方程： ttt ξ=ξ+b(s,ξ)ds+σ(s,ξ)dB+g(s,ξ,v)μ(ds,dv) t0ssss−∫∫∫∫000即方程：dξ=b(t,ξ)dt+σ(t,ξ)dB+g(t,ξ,v)μ(dt,dv)的解是马尔可夫过程， ttttt−∫若λ(t)有界，g(t,x,v)连续，且在[0,t]上满足： 2222 b(t,x)+g(t,x,v)+σ(t,x)≤C(1+x) 222 b(t,x)−b(t,y)+σ(t,x)−σ(t,y)+g(t,x,v)−g(t,y,v)≤Cx−y 那么上面的随机微分方程有唯一的解ξ，并且它是马尔可夫过程。 t 若对于F(t,x)对t连续可微，对x二阶连续可微，ξ是上面随机微分方程的解，则： t21′′′′ dF(t,ξ)=[F+b(t,ξ)F+(σ(t,ξ))F]dt t−ttx2txx′ +σ(t,ξ)FdB+[F(t,ξ+g(t,ξ,v))−F(t,ξ)]μ(dt,dv) txtt−t−t−∫2.马尔可夫过程的无穷小算子的简介 定义 设X是一时齐的马尔可夫过程，其转移密度函数为p(t,x,y)，记 tstP(x)−P(x)ttP(x)=p(t,x,y)f(y)dy，则称P(x)为X的马氏半群，若lim存在，t∫s→ts−t则记为Af(x)，并称Af(x)为马尔可夫过程X的无穷小算子。 tttst(p(s,x,y)f(y)−p(t,x,y)f(y))dy(f(y)−f(x))p(s−t,x,y)dyP(x)−P(x)∫∫lim=lim=lims→ts→ts→ts−ts−ts−tE[f(X)−f(X)|X=x]stt=lim s→ts−tE[f(X)−f(X)|X=x]stt故Af(x)=lim ts→ts−tss1若′′′X=x+W(t)，由&&Ito公式f(X)=f(X)+f(X)dW(u)+f(X)du tstu2u∫∫tt11′′′′Af(z)=f(X)|=f(z) t2tX=z2t若dX=b(X)dt+σ(X)dW(t)，由&&Ito公式 ttt 35
南京财经大学硕士学位论文 ss21′′′′f(X)=f(X)+σ(X)f(X)dW(u)+[b(X)f(X)+(σ(X))f(X)du sttuuu2uu∫∫tt2211′′′′′′Af(z)=[b(X)f(X)+((σ(X))f(X)]|=b(z)f(z)+((σ(z))f(z) ttt2ttX=z2t+命题：g(x)为定义在R上的有界函数；T为服从参数为α的指数随机变量，αa,ba,b并且与马尔可夫过程{Y,t≥0}相独立；用R来表示马尔可夫过程{Y,t≥0}的预tαta,b解式，定义函数u(x)=Rg(x)，马尔可夫过程{Y,t≥0}预解式与无穷小算子有如αt下的关系：(αI−A)u(x)=g(x) t−3.股票价格发生多次跳跃情形下的亚式期权定价 在这一节中我们将研究在[0,t]时间内标的资产价格的跳跃次数服从Poisson分布情形下的亚式期权定价。我们沿用前面描述的双指数跳跃扩散模型下的股票价格12运动机制：此时a=σ,b=r−λk−σ 2NtdSt=(r−λk)dt+σdW+d([V−1]),S=S t∑i0Si=1t−N(t)N(t)2211S=Sexp(σW+(r−λk−σ)t)V=Sexp(σW(t)+(r−λk−σ)t+InV)t0t∏j∑202jj=1j=1N(t)21X=σW(t)+(r−λk−σ)t+InV是列维过程。 t∑2jj=1根据引理，下面的等式是成立的： N(t)ta,b21A:=Sexp(σW(t)+(r−λk−σ)t+In(V))dt t0∑2j∫0j=1law21=Sexp[σW(t)+(r−λk−σ)t02N(t)N(s) t21+In(V)]exp[−(σW(s)+(r−λk−σ)s+In(V))]ds∑j∑2j∫0j=1j=1N(t)N(s)t12211=Sexp(σW(t)+(r−λk−σ)t)Vexp[−(σW(s)+(r−λk−σ)s)]ds 0∏2j∏2∫0Vj=1j=1ja,b因此定义随机过程：Y(x) tN(t)N(s)t12211=Sexp(σW(t)+(r−λk−σ)t)V(x+exp[−(σW(s)+(r−λk−σ)s)]ds)0∏2j∏2∫0Vj=1j=1j 36
南京财经大学硕士学位论文 a,ba,ba,b由Ching-Sung Chou et al(2006)知Y(x)是马尔可夫过程，并且Y(0)=A,t≥0也ttta,b是马尔可夫过程，Y(x)是随机微分方程： tN(t)ttY=x+σYdW(s)+((r−λk)Y+1)ds+Y(V−1)的解。 −−−t∑j∫s∫sτ00jj=1由前面介绍的时空Posisson过程知识，随机微分方程： N(t)ttY=x+σYdW(s)+((r−λk)Y+1)ds+Y(V−1)可以写成： −−−t∑j∫s∫sτ00jj=1ttt∞Y=x+σYdW(s)+((r−λk)Y+1)ds+Yyμ(dy,ds) −−ts−∫s∫s∫∫000−1∞dY=σYdW(t)+((r−λk)Y+1)dt+Yyμ(dy,dt) tt−t−t−∫−1+μ(dy,ds)即是上面描述的时空Poisson过程，定义在(−1,∞)\{0}×ℜ。赋值随机变量即是跳跃尺度比例y=V−1，取值在(−1,∞)，令F(y)为赋值随机变量y=V−1的jYj概率分布函数，由前面介绍的Poisson随机测度和Poisson随机积分的知识，我们知道ˆμ(dy,ds)=μ(dy,ds)−λF(dy)ds是鞅。 Y由一般化的&&Ito公式，我们有下面的关系式： 21′′′′dF(Y)=[((r−λk)Y+1)F(Y)+σYF(Y)]dt+σYF(Y)dW(t) tt−t−2t−t−t−t−∞ +[F(Y+Yy)−F(Y)]μ(dy,dt) t−t−t−∫−1221也即：′′′′dF(Y)=[(r−λk)Y+1)F(Y)+σYF(Y)]dt+σYF(Y)dW(t) tt−t−2t−t−t−t−∞++−μˆ [F(YYy)F(Y)]((dy,dt)+λF(dy)dt) t−t−t−Y∫−1tt∞′Fˆ (Y)=F(Y)+σYF(Y)dW(s)+[F(Y+Yy)−F(Y)]μ(dy,ds) t0s−s−s−s−s−∫∫∫00−1tt∞221′′′ +[((r−λk)Y+1)F(Y)+σYF(Y)]ds+[F(Y+Yy)−F(Y)]λF(dy)ds s−s2s−ss−s−s−Y∫∫∫00−1a,b我们知道随机过程：Y(x) tN(t)N(s)t12211=Sexp(σW (t)+(r−λk−σ)t)V(x+exp[−(σW(s)+(r−λk−σ)s)]ds)0∏j∏22∫0Vj=1j=1j是马尔可夫过程，并且满足随机微分方程： ttt∞Y=x+σYdW(s)+((r−λk)Y+1)ds+Yyμ(dy,ds) −−ts−∫s∫s∫∫000−1 37
南京财经大学硕士学位论文 ∞dY=σYdW(t)+((r−λk)Y+1)dt+Yyμ(dy,dt) tt−t−t−∫−1a,b由定义我们可以写出马尔可夫过程Y(x)的无穷小算子AF(z)，即： tt−E[F(Y)−F(Y)|Y=z]st−t−AF(z)=lim= t−s→ts−tss∞221′′′[((r−λk)Y+1)F(Y)+σYF(Y)]du+[F(Y+Yy)−F(Y)]λF(dy)duu−u−2u−u−u−u−u−Y∫∫tt−1lims→ts−t∞221′′′ =((r−λk)Y+1)F(Y)+σYF(Y)+[F(Y+Yy)−F(Y)]λF(dy) t−t−2t−t−t−t−t−Y∫−1∞221′′′=((r−λk)z+1)F(z)+σzF(z)+[F(z+zy)−F(z)]λF(dy) 2Y∫−1由命题给出的马尔可夫过程预解式与无穷小算子的关系，下面的等式成立： ∞221′′′((r−λk)x+1)u(x)+σxu(x)+[u(x+xy)−u(x)]λF(dy)−αu(x)+g(x)=0 2Y∫−1我们需要解这个微分方程，得出u(x)。 a,ba,b显然，Y(0)=A,t≥0是马尔可夫过程，并且下面的等式成立： tta,b+a,b+E[(A−K)]=E[(Y(0)−K)] tt∞a,b+a,b+−αta,b+从而E[(A−K)]=E[(Y(0)−K)]=αeE[(Y(0)−K)]dt TTtαα∫0+ =αRg(0)=αu(0) 此时g(x)=(x−K) αa,b+a,b+我们知道E[(A−K)]是对E[(A−K)]的拉普拉斯变换，即： Ttα∞a,b+−αta,b+ E[(A−K)]=αeE[(A−K)dt Ttα∫0a,b+我们只要通过拉普拉斯逆变换即可得到变量E[(A−K)],t≥0，而在双指数跳跃扩t散模型下并且在期权的有效期内股票价格发生多次跳跃时亚式期权时价格为： −rTa,b+−rTa,b+11eE[(A−K)]=eE[(A−KT)] TTTT从而我们得到了该模型下的亚式期权t=0时价格。 38
南京财经大学硕士学位论文 小结 在本章的开始我们介绍了亚式期权的概念和分类，我们所要研究的期权是固定执行价格，标准欧式的算术平均的亚式看涨期权。首先研究了的是在Black-Scoles模型下的亚式期权定价，我们介绍了两种方法，而这两种定价方法研究的都是如何获得对转换的亚式期权价格的拉普拉斯变换，其中后一种方法是本文主要借鉴的方法。其次，我们分别研究了在双指数跳跃扩散模型下股票价格仅发生一次跳跃和多次跳跃情形亚式期权定价。我们使用了马氏过程的性质，利用了马氏过程无穷小算子和预解式之间的关系，Poisson随机测度和随机积分来研究亚式期权定价。在股票价格仅发生一次跳跃的情形，我们给出了亚式期权价格的拉普拉斯变换的解析表达式，在股票价格发生多次跳跃的情形下，亚式期权给不出解析解，我们仅仅得到了一个微分方程，若我们解出这个微分方程便可以得到在该情形下亚式期权价格。 39
南京财经大学硕士学位论文 第四章 双指数跳跃扩散模型下的障碍期权定价研究 本章我们将研究双指数跳跃扩散模型下的障碍期权定价，而这里我们仅仅介绍具有单一障碍价格水平的期权定价问题。首先我们将研究二元数字期权(digital option)的定价问题。二元数字期权(digital option)是障碍期权的一类，我们首先介绍二元数字期权(digital option)概念。在推导这种期权的价格过程中，我们使用了有关双指数跳跃扩散过程的首达时问题的研究结论。其次我们研究了双指数跳跃扩散模型下的障碍期权(barrier option)的定价问题，详细的介绍了up-and-in call option这种期权是如何定价的，我们可以使用一维或二维的拉普拉斯变换的方法，其中二维拉普拉斯变换后的表达式往往较一维拉普拉斯变换后的表达式更加简单，因此也更适合实际的数值计算。通过拉普拉斯逆变换我们就可以得到up-and-in call option这种期权的价格。而down-and-out call option期权的定价问题是与up-and-in call option call定价是类似的，我们只作简单的说明。 双指数跳跃扩散模型下的二元数字期权（digital option）定价研究 1. 二元数字期权(digital option)的简介 二元数字期权(digital option)是这样的衍生证券，当标的资产的价格在期权的有效期内向上或向下首次到达某一预先设定的价格障碍水平时，将支付给期权的持有者一美元的报酬，支付时期可能在标的资产价格首次到达某一固定的障碍价格水平时候，也可能在期权的到期日。若支付在期权的到期日时，这样的二元数字期权(digital option)称为欧式的二元数字期权，若支付在股票价格首次到达这一障碍价格水平时，这样的二元数字期权(digital option)称为美式二元数字期权。 当股票价格是向下穿越某一障碍价格水平时，这样的二元数字期权称为下向的二元数字期权(downward digital option)，我们分别用EDOD和EDID来表示欧式的down–and-out 和down-and-in digital option 的期权价格，我们还将用ADID来表示美式的down–and-in digital option的期权价格；当股票价格是向上穿越某一障碍价格水平时，这样的二元数字期权称为上向的二元数字期权(upward digital option)，我们分别用EUID，AUID分别来表示欧式和美式的up-and-in digital option期权价格。 2. 二元数字期权的定价研究 ∧下面我们将给出这些价格的拉普拉斯变换（laplace transform）。用f来表示f的 40
南京财经大学硕士学位论文 ∧∞−qt拉普拉斯变换 f=ef(t)dt，q为任意大于零的实数。为了更好的研究二元数∫0字期权的定价问题，我们先介绍下面的引理。 pηqη2221211引理 定义G(x):=x(r−σ−λk)+xσ+λ(+−1) 22η−xη+x12G(x)=a(a是任意大于零的实数)有四个根：β,β,−β,−β，这四个根满足1,a2,a3,a4,a0<β<η<β<∞,0<β<η<β<∞ 1,a12,a3,a24,aNtS2t1注：G(x)的这种表达式是因为X(t)=In=(r−σ−λk)t+σW+Y， 2t∑iSi=10详见..Kou,HuiWang.(2003)，..Kou,HuiWang(2004)。 定理 (1)．下向的二元数字期权(downward digital option) H假设无风险利率r为常数，S>H，定义T(h)=inf{t≥0：X≤h}，h=In()<0， 0tS0∧S=infS,X=infX，则EDID(q) TsTS0≤s≤T0≤s≤Tη−βββ−ηβ1123,r+q4,r+qhβ4,r+q23,r+qhβ3,r+q4,r+q=e+e r+qηβ−βr+qηβ−β24,r+q3,r+q24,r+q3,r+q∧∧∞1−qTEDOD(q)=eEDOD(T)dT=−EDID(q) ∫0r+q∧∧q+rADID(q)=EDID(q) q(2).上向的二元数字期权(Upward digital option) H假设S>H，令h=In()>0，定义T(h)=inf{t≥0：X≥h} 0tS0∧S=supS,X=supX，则EUID(q)= TsTS0≤s≤T0≤s≤Tη−βββ−ηβ1111,r+q2,r+q−hβ2,r+q11,r+q−hβ1,r+q2,r+qe+e r+qηβ−βr+qηβ−β12,r+q1,r+q12,r+q1,r+q∧∧q+rAUID(q)=EUID(q) q证明：(一)Downward digital options 1.欧式的Down-and–in digital option 的价格可表示为： 41
南京财经大学硕士学位论文 H−rT−rT−rT EDID(T)=EDID(T,S)=eE[I{S≤H}]=eP(S≤H）=eP(X≤In()) 0TTTS0−rT则有EDID(T)=eP(X≤h) T∧∞∞−(r+q)T−（r+q）T则有EDID(q)=eP(X≤h)dT=eP(T(h)≤T)dT T∫∫00∧∞∞−qT−rT(h)−qT−rT(h) ADID(T)=eE[eI{X≤H}]dT=E[eI{T(h)≤T}dT T∫∫00我们将利用,HuiWang(2003)文中有关双指数跳跃扩散过程首达时的结论： η−βββ−ηβ−a23aabβ,4,4,a23abβ,τ3,a4,ab对于b<0时有:E[e]=e+e ηβ−βηβ−β24,a3,a24,a3,a这里a是任意大于零的实数，−β，−β是G(x)=a的唯一的两个负根。 3,a4,a∞∞11−（r+q）T−(r+q)T−(r+q)T(h)eP(T(h)≤T)dT=edP(T(h)≤T)=E[e] ∫∫00r+qr+qη−βββ−ηβ1123,r+q4,r+qhβ4,r+q23,r+qhβ3,r+q4,r+q=e+e r+qηβ−βr+qηβ−β24,r+q3,r+q24,r+q3,r+q 2. 欧式的Down-and-out digital option的价格可以表示为： −rT−rT−rT−rT EDOD(T)=eP(X>h)=e−eP(X≤h)=e−EDID(T) TT∧∧∞1−qTEDOD(q)=eEDOD(T)dT=−EDID(q) ∫0r+q3. 美式的down-and-in digital option的价格可表示为： −rT(h)ADID(T)=ADID(S,T)=E[eI{X≤h}] 0T∧∞∞−qT−rT(h)−qT−rT(h)ADID(T)=eE[eI{X≤H}]dT=E[eI{T(h)≤T}dT] T∫∫00∞∞1q+r−rT(h)−qT−(r+q)T(h)−(r+q)T=E[eedT]=E[e]=eP(T(h)≤T)dT ∫∫T(h)0qq∧q+r=EDID(q) q(二). Upward digital options 1. 欧式的Up-and-in digital option的价格可以表示为： 42
南京财经大学硕士学位论文 H−rT−rTEUID(T,S,H)=eP(S>H)=eP(X>In()) 0TTS0∧∞∞−(r+q)T−(r+q)TEUID(q)=eP(X>h)dT=eP(T(h)≤T)dT T∫∫00我们再一次利用..Kou ,HuiWang(2003)的结论： η−βββ−ηβ−112−β,a,aba2a−β,11,abτ1,a2,ab对于b>0时有：E[e]=e+e ηβ−βηβ−β12,a1,a12,a1,a这里a是任意大于零的实数，β，β是G(x)=a的唯一的两个正根。 1,a2,a∞∞11−（r+q）T−(r+q)T−(r+q)T(h)eP(T(h)≤T)dT=edP(T(h)≤T)=E[e] ∫∫00r+qr+qη−βββ−ηβ1111,r+q2,r+q−hβ2,r+q11,r+q−hβ1,r+q2,r+q=e+e r+qηβ−βr+qηβ−β12,r+q1,r+q12,r+q1,r+q2. 美式的up-and-in digital option的价格为可以表示为： −rT(h)−rT(h)AUID(T,S,H)=E[eI{S≥H)]=E[eI{X≥H)] 0TT^∞−qT−rT(h) AUID(q)=eE[eI{X≥H}]dT T∫0∞−qT−rT(h) =E[eeI{T(h)≤T}]dT ∫0∞∞1q+r−rT(h)−qT−(r+q)T(h)−(r+q)T=E[eedT]=E[e]=eP(T(h)≤T)dT∫∫T(h)0qq∧q+r =EUID(q) 双指数跳跃扩散模型下的障碍期权(barrier option)定价研究 在市场上交易的barrier options有八种类型的barrier options，它们包括： up(down)-and-in(out) call(put) options，例如down-and-out call options(DOC)期权 *−rT+价格有如下的表示：DOC=E[e(S(T)−K)I{minS(t)≥H}](H<S(0)) 0≤t≤TH是障碍价格水平；up-and-in call options(UIC)期权价格可以表示为： −rT+UIC=E[e(S(T)−K)I{maxS(t)≥H}]，此时H>S(0)也是障碍价格水平。 0≤t≤T定义下面的标记：对于任意给定的概率测度P： 43
南京财经大学硕士学位论文 Ψ(μ,σ,λ,p,η,η;a,b,T):=P(X(T)≥a,maxX(t)≥b) 120≤t≤T在概率测度P下，X(t)是双指数跳跃扩散过程，漂移为μ，波动率为σ，Possion N(t)过程的参数为λ，即X(t)=μt+σW(t)+Y，Y是双指数分布密度： ∑iii=1−ηyηy12 f(y)=pηeI{y≥0}+qηeI{y<0} Y121. 用一维的拉普拉斯变换来求解up-and-in call option期权价格 −rT+UIC=E[e(S(T)−K)I{maxS(t)≥H}] 0≤t≤T−rT−rT=E[eS(T)I{S(T)≥K,maxS(t)≥H}]−KeP[S(T)≥K,maxS(t)≥H] 0≤t≤T0≤t≤TKHP[S(T)≥K,maxS(t)≥H]=P(X(T)≥In,maxX(t)≥In) 0≤t≤T0≤t≤TSS00NTST21在风险中性概率测度P下X(T)=In()=(r−σ−λk)T+σW+Y 2T∑iSi=10KH上式等于：P(X(T)≥In,maxX(T)≥In) 0≤t≤TSS00KH21=Ψ(r−σ−λ,ξ,σ,λ,p,η,η;In(),In(),T) 212SS00−rT为了求出E[eS(T)I{S(T)≥K,maxS(t)≥H}]，我们需要进行测度变换，因此0≤t≤T~定义一个新的概率测度P： ~N(T)dPS(T)−rT−rTX(T)21|=e=ee=exp{(−σ−λξ)T+σW(T)+Y} t=T∑2idPS(0)i=1~dPS(t)−rt而这个定义的概率测度是有意义的，因为E[]=E[e]，因此根据GirsanovdPS(0)~~~测度变换定理，W(t)=W(t)−σt是P−布朗运动，在新的概率测度P下，X(t)可以NTS~T21表示为：X(T)=In()=(r+σ−λk)T+σW+Y是新的双指数跳跃扩散过程，2T∑iSi=10~Y此时Poisson过程的参数为λ=λE(e)=λ(1+ξ)，而跳跃尺度大小Y是独立同分布 44
南京财经大学硕士学位论文 的随机变量，分布密度为： 111YY−ηyYηy12ef(y)=epηeI{y≥0}+eqηeI{y<0} Y12YYYE(e)E(e)E(e)1η1η−(η−1)y(η+1)y1212=p(η−1)eI{y≥0}+q(η+1)eI{y<0) 12YYE(e)η−1E(e)η+112因此在新的概率测度下，这也是双指数分布密度，参数分别是 ~~η=η−1,η=η+1 11221η1ηpηqηY~1~212p=p,q=qE(e)=+ YYE(e)η−1E(e)η+1η−1η+11212−rTE[eS(T)I{S(T)≥K,maxS(t)≥H}] 0≤t≤TS(T)KH−rT=S(0)E[eI{X(T)≥In(),maxX(t)≥In()}] 0≤t≤TS(0)SS00 ~KH=S(0)P(X(T)≥In(),maxX(T)≥In())0≤t≤TSS 00~~KH2~~~1=S(0)Ψ(r+σ−λξ,σ,λ,p,η,η,In(),In(),T) 212SS00~~KH2~~~1因此我们可以求出UIC=S(0)Ψ(r+σ−λξ,σ,λ,p,η,η,In(),In(),T) 212SS00KH−rT21 −KeΨ(r−σ−λξ,σ,λ,p,η,η;In(),In(),T) 212SS00KH由..Kou,HuiWang(2003)，可以得到对P(X(T)≥In(),maxX(T)≥In)和 0≤t≤TSS00~KHP(P(X(T)≥In,maxX(T)≥In)一维拉普拉斯变换， 通过拉普拉斯逆变换我们0≤t≤TSS00可得到up-and-in call option(UIC)期权价格。 2. 用二维的拉普拉斯变换来求解up-and-in call option期权价格 下面我们将介绍另一种计算up-and-in call options(UIC)方法，即采取二维的拉普−rT+拉斯变换的方法，我们可以对UIC=E[e(S(T)−K)I{maxS(t)≥H}]进行二维0≤t≤T 45
南京财经大学硕士学位论文 ~KH的拉普拉斯变换，也可对P(X(T)≥In(),maxX(T)≥In())或 0≤t≤TSS00KHP(X(T)≥In,maxX(T)≥In)进行二维拉普拉斯变换，我们仅仅给出对表达式 0≤t≤TSS00KHP(X(T)≥In,maxX(T)≥In)二维拉普拉斯变换表达式， 0≤t≤TSS00−rT+E[e(S(T)−K)I{maxS(t)≥H}]的二维拉普拉斯变换的表达式详见, 0≤t≤TGiovanni Petrella,Hui Wang(2005)。 H令k=−InK,b=In(),τ=inf{t≥0,X(T)≥b}， bS0−rT−k+UIC(k,T)=E[e(S(T)−e)I{maxS(t)≥H}] 0≤t≤T−rT−k+ =E[e(S(T)−e)I{τ≤T}] bKHP(X(T)≥In,maxX(T)≥In)=P(InS(T)≥InK,τ≤T) b0≤t≤TSS00=P(k≥−InS(T),τ≤T b ~KH~P(X(T)≥In,maxX(T)≥In)=P(k≥−InS(T),τ≤T)0≤t≤TbSS 00由二维拉普拉斯变换可得到： )∞∞−ξk−αT⎡⎤f(ξ,α)=eE{I{k≥−InS(T),τ≤T}dkdT b∫∫0⎢−∞⎥⎣⎦∞∞−ξk−αT⎡⎤ =EedkdT ∫∫⎢τ−InS(T)⎥⎣b⎦∞∞11ξ−αTξ−α(t+τ)⎡⎤⎡⎤b =ES(T)edT=ES(t+τ)edt b∫∫⎢τ⎥⎢0⎥⎣b⎦⎣⎦ξξξ∞⎡∞⎤S(t+τ)⎡ξ−α(t+τ)⎤ξ−ατb−αtbbESt+τ)edtF=ES(τ)eedtF⎢⎥bτbτ∫∫ξbn⎢0⎥0⎣⎦S(τ)⎢⎥b⎣⎦∞⎡ξ−ατ−αt⎤b =ES(τ)eexp(ξX(t))edtF bτ∫b⎢0⎥⎣⎦∞ξ−ατ−αtb =S(τ)eexp(tG(ξ))edt b∫0 46
南京财经大学硕士学位论文 ξS(τ)−ατbb =e α−G(ξ) ξ)⎡⎤1S(τ)1 −ατ−ατbξbbf(ξ,α)=Ee=E[eS(τ)]⎢⎥bξα−G(ξ)ξ(α−G(ξ))⎣⎦ 1−ατyξ−ατξbb={E[e(He)I{S(τ)>H}]+E[eHI{S(τ)=H}]} bbξ(α−G(ξ))1−ατyξξ−ατbb=E[eI{S(τ)>H}]E[(He)]+HE[eI{S(τ)=H}] bbξ(α−G(ξ))ξ⎧⎫Hη−ατ−ατ1bb=E[eI{X(τ)>b}]+E[eI{X(τ)=b}] ⎨⎬bbξ(α−G(ξ))η−ξ⎩1⎭ 由..Kou,HuiWang(2003)，我们可以求出： (η−β)(β−η)−b−b−ατ11,α2αββ,11,α2,αb E[eI{X(τ)>b}]=(e−e) bη(β−β)12,α1,αη−ββ−ηα−bβ−11−b,2,1βατα1,ξ2,αbE[eI{X(τ)=b}]=e+e bβ−ββ−β2,α1,α2,α1,αβ,β为G(x)=α的两个正根，并且满足0<β<η<β<∞ 1,α2,α1,α12,α在上面的推导过程中我们运用了Kou推导的有关对双指数跳跃扩散过程首达时问题的研究，即当在S(τ)−H>0的条件下，τ和X(τ)−b的概率分布是无关的，bbb并且X(τ)−b的条件分布是以η为参数的指数分布。利用这些结果我们就可以得到b1KH~KH对P(X(T)≥In,maxX(T)≥In)和P(X(T)≥In,maxX(T)≥In)的二维拉0≤t≤T0≤t≤TSSSS0000普拉斯变换。通过数值逆转就可以计算出UIC期权的价格。 3. Down-and-out call option期权定价研究 −rT+DOC=E[e(S(T)−K)I{minS(t)≥H}]，H<S(0)是障碍价格水平， 0≤t≤T在双指数跳跃扩散模型下我们可以推导如下： *−rT+DOC=E[e(S(T)−K)I{minS(t)≥H}] 0≤t≤T−rT+−rT+=E[e(S(T)−K)]−E[e(S(T)−K)I{minS(t)<H}] 0≤t≤T 47
南京财经大学硕士学位论文 即down-and-out call option期权价格是双指数跳跃扩散模型下的标准的欧式期权价格减去down-and-in call option期权价格。 定义τ=inf{t≥0;S(t)<H},{minS(t)<H}={τ≤T} bb0≤t≤T−rT−k+−rTE[e(S(T)−e)I{τ≤T}]=E[eS(T)I{k≥−InS(T),τ≤T}] bb−rT−E[KeI{k≥−InS(T);τ≤T}] b~~dPS(T)−rT与上面类似，通过定义一个新的概率测度P,=e上式可以得到： dPS(0)t=T−rT−k+E[e(S(T)−e)I{τ≤T}] bS(T)−rT−rT=S(0)E[eI{k≥−InS(T),τ≤T}]−KeP(k≥−InS(T),τ≤T) bbS(0)~−rT=S(0)P(k≥−InS(T),τ≤T)−KeP(k≥−InS(T),τ≤T) bb~类似的，我们可以求出对P(k≥−InS(T),τ≤T),P(k≥−InS(T),τ≤T)一维和二 bbH维的拉普拉斯变换，此时b=In<0此时股票价格是向下穿越障碍价格水平。 S0−rT+E[e(S(T)−K)]表示在双指数跳跃扩散模型下的标准欧式期权定价公式，已 经在前面章节中给出，因此我们可以得到对DIC价格表达式的一维和二维拉普 拉斯变换，通过拉普拉斯逆变换，即可得到down-and-in call option期权价格， 然后，标准期权价格减去down-and-in call option期权价格，即可求出down-and-out call option期权价格。 小结 在双指数跳跃扩散模型下的障碍期权定价研究中，我们首先研究了障碍期权中 的一类二元数字(digital option)期权定价问题，我们使用了有关对双指数跳跃扩散过程首达时问题的研究结论。我们分别给出了上向和下向的二元数字期权价格的拉普拉斯变换的表达式。我们详细的研究了up-and-in call options(UIC)的期权定价问题，我们可以使用一维或二维的拉普拉斯变换求得这种期权的价格。Down-and-out call option这种期权的定价问题是与up-and-in call options(UIC)定价是类似的，我们同样可以使用一维或二维拉普拉斯变换来求得它的价格。这种期权的价格可以表示为双指数跳跃扩散模型下的标准欧式看涨期权价格减去down-and-in call option期权价格。 48
南京财经大学硕士学位论文 第五章 总结与展望 本文的总结 本文运用期权定价理论和随机过程随机分析的相关知识讨论了在双指数跳跃扩散模型下的亚式期权和障碍期权定价问题。在该模型下的亚式期权定价研究中，我们先讨论了在Black-Scholes模型下的两种亚式期权定价的方法，一种方法用到bessel过程的性质，求出转换的亚式期权价格的拉普拉斯变换，另一种方法要用到马氏过程的性质，通过求解特定的马氏过程预解式的密度，再一次得到了转换的亚式期权价格的拉普拉斯变换。两种方法的主要研究问题是如何得到对转换的亚式期权价格的拉普拉斯变换表达式。第二种方法则是本文主要借鉴的方法，因此本文重点讨论。在讨论双指数跳跃扩散模型下的亚式期权定价的问题时，先假定在期权的有效期内股票价格仅发生一次跳跃情形下亚式期权是如何定价的，仅一次跳跃的时间服从指数分布，这种情况对于亚式期权的有效期不是太长时候是合理的。第二种是假定期权有效期内股票价格发生多次跳跃的情况下研究亚式期权定价，即在一段时间内股票价格发生的跳跃的次数服从泊松分布。这种情况下，双指数跳跃扩散模型下的亚式期权价格得不出解析表达式，我们仅给出了一个微分方程，通过求解这个微分方程我们便可以得到股票价格发生多次跳跃情况下的亚式期权价格。当然以后做的工作就是通过实际金融市场数据来估计模型的参数，并通过长期实证检验该模型定价的准确性。其次是研究双指数跳跃扩散模型下的障碍期权定价，我们先用有关双指数跳跃扩散过程的首达时问题的研究结论，推导出二元数字期权的价格拉普拉斯变换的表达式。我们分别考虑了欧式的和美式的，上向和下向的二元数字期权(digital option)的定价问题。对于障碍期权(barrier option)定价问题，我们同样使用了有关双指数跳跃扩散过程首达时问题的研究结论，并用一维和二维的拉普拉斯变换方法研究该种期权定价问题。 未来研究的展望 双指数跳跃扩散过程实际上是列维过程，现在很多学者在列维过程的框架下来研究期权定价。Carr&Wu(2004),Huang&Wu(2004)指出对称形式的双指数跳跃扩散过程是时间变换列维过程，他们用特征函数，使用傅立叶变换的方法来给未定权益定价。MarcJeannin,MartijinPistorius文中通过把列维测度的密度设置形式为： n+n−+−+++−ax−−−−ax iik(x)=λpaeI{x>0}+λpaeI{x<0}∑ii∑iii=1i=1n±+−+−+−±这里λ,λ,p,p,a,a>0,p=1，从而给出了对Kou的双指数跳跃扩散模型的iiii∑ii=1 49
南京财经大学硕士学位论文 一种扩展形式。Ramezani&Zeng(1998)提出Pareto-Beta jump-diffusion model(PBJD)，该模型假设好的消息和不好的消息分别用两个独立的泊松过程来建模，向上和向下的跳跃尺度分别服从Pareto和Beta分布，这与上跳和下跳尺度分别服从非对称的指数分布假设显然不同。Keppo et al(2003)通过引入随机波动率，从而再一次的改进了双指数跳跃扩散模型。Eraker et al(2003)指出随机波动率作为收益率过程的重要组成部分，应该引入到双指数跳跃扩散模型中去，作为一个例子，Keppo et al(2003)把ARCH效应引入到双指数跳跃扩散模型中去。Andersen et al(2002)把跳跃尺度的密度改进为是时间变量的函数，是对双指数跳跃扩散模型另一个方向的改进。这些对双指数跳跃扩散模型的改进模型，如何应用到标准期权和奇异期权定价将是学术界研究方向和未来需要做的工作。 虽然越来越多的学者用双指数跳跃扩散过程来给股票价格过程建模，可是，到目前为止，有关该模型的参数估计和实证检验方面的工作还远远不够。 Ramezani&Zeng(2007)用最大似然估计模型的参数，并实证检验该模型，胡素华等(2006)用MCMC来估计模型的参数。屈指可数的研究文献，所以作者预测模型应用研究与实证研究应该是学术界未来研究的重点。而本文的不足就是没有对模型的参数进行估计和实证检验期权定价的准确性，这在以后的学习中加以改进和弥补。 50
南京财经大学硕士学位论文 参考文献 [1] 陈超,邹捷中,王自后.股票价格服从纯生跳跃-扩散过程的期权定价模[J]. 数量经济技术经济研究,2002,1:40-42. [2] 胡迪鹤.随机过程论基础理论应用[M].武汉:武汉大学出版社,2000:192-213. [3] 胡素华等.双指数跳跃扩散模型的MCMC估计[J]. 系统工程学报, 2006,21(2)113-118. [4] 林元烈.应用随机过程[M].北京:清华大学出版社,2002. [5] 龚光鲁,钱敏平.应用随机过程教程及在算法和智能计算机中的随机模型[M].北京:清华大学出版社,2004:423-439. [6] 宁丽娟,刘新平.股票价格服从跳跃-扩散过程的期权定价模型[J]. 陕西大学学报(自然科学版),2003,31(4):16-19. [7] 闫海峰,刘三阳.带有Poisson跳的股票价格模型的期权定价[J].工程大学学报,2003,20(2):35-40. [8] 闫海峰,刘三阳.股票价格遵循Ornstein-Uhlenback过程的期权定价[J].系统工程学报,2003,18(6):547-551. [9] 杨云锋,刘新平.股票价格跳过程为复合Poisson过程的期权定价模型[J]. 陕西大学学报(自然科学版),33(3):14-17. [10] 赵建国,师恪.股票价格服从跳跃扩散过程的期权定价模型[J].新疆大学学报,2006,23(2):166-169. [11] Artur Sepp. Analytical pricing of double-barrier options under a double double exponential jump diffusion process: applications of laplace transform[J]. International Journal of Theoretical Applied Finance, 2004,7(2):151-175. [12] Artur Sepp. Analytical valuation of Lookback and Russian options in a double-exponential jump diffusion model [J]. Woking Papers, 2005. [13] Asbjorn , Peter Lochte, Jorgensen. Analytical valuation of American -style Asian options[J]. Management Science, 2000,46(8):1116-1136. [14] Anja Going, Eth Zurich. Some generalizations of bessel processes [R]. 1997: [15] , , empirical investigation of continuous time equity return model [J].Journal of Finance,2002,4:231-262. [16] Alison Etheridge. A course in Financial Calculus [M]. BeiJing: Post & Telecom Press, 2006: [17] , Wu, L. Time-changed Levy processes and option pricing. [J] Journal of Financial Economics 2004,17(1):113-141. 51
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南京财经大学硕士学位论文 附录 攻读硕士学位期间发表的学术论文 [1]. 王俊 双指数跳跃扩散模型下的二元数字期权(digital option)定价研究，河南工程学院学报，2008，12月 55
南京财经大学硕士学位论文 后 记 我一直思考这样的问题，即如何在短暂的几十年的人生过程中获得最大的成就。 在有限的人生过程中使自己的人生意义最大化，实现最可能大的收获是我一直渴望的目标，只有这样我们才不会白白来这个世上一回。什么是人生的意义，我个人认为就是人要有自己的追求，实现自己的追求就是人生的意义，因此人生的意义在于实现自己的追求，无论这个追求是好的或坏的都无所谓。我个人追求是实现自己金融工程和金融数学研究上的成绩。我的研究方向是金融工程和金融数学，虽然难了一点，而且要有很好的数学知识，可是这些研究这些知识太激动人心了，太让我感兴趣了。要学就学最难的，最尖端的，最感兴趣的，所以我愿意用我的一生的时间去来做这些激动人心的研究，掌握这些诱人的知识。所以不去学这些知识，不做这些研究就对我来说没有实现自己的追求，人生活得没有意义。 回首自己的过去，也有很多让人不堪回首的往事，我失败很多，付出很多，也尝过许多辛酸，努力也很多，也有不多几次的胜利的喜悦，我也曾消沉过，很多次也想放弃追求，孤独过，痛哭过，往往是没人来安慰。可是，我有时是很坚强的，不管是多痛苦，每天早上我都会重新振作起来，因为我还要看书，我还要学习，我还要做研究，我的追求尚没有实现，我还有自己的事情要做，所以我不会永远的消沉与痛苦。偶尔几次翻杂书，忽然遇到几句让人顿悟的哲理，往往会让我心旷神怡，感触良多。回首往事，最让我感慨的是道理是选择比努力更重要。我以前是努力，也浪费了很多时间，一直都很盲目，那是因为我的选择不对。人生都走了很长的路了，到现在才发现，于是觉得是晚了点。不管怎么说，我以前虽然学习很盲目，可是还是学了一些东西，明白了一些道理。我现在认为我还有几件事没完成，本科期间学那几门课实际上还是应该继续学好的。我现在要看的书也没有完成，事情没做完，书没看完，要搞金融数学金融工程方面的研究数学是一定要好的，我未来几年时间就是专心的学习数学，不就是那么几门数学课，想看的书现在不看的话将来就没时间再看了。实现自己的人生目标，人生要有意义这些要求对于现在的我来说就是一定要把自己想看的书看完，只有这样才不会后悔。 转眼之间两年半要过去了，我也毕业了，我在这里特别感谢最我启发最大的姜正军老师，他对我的学习指导和影响最大，我也要感谢闫海峰老师，郭文旌老师都在我的学习上给了我很大的指导。我要感谢我的同学万兵，王炎，韩鑫，陶莎，徐自强等，他们都很厉害，感谢我研究生期间的所有同学和朋友，谢谢！！ 56
