时间序列及误差修正模型
基于具有趋势特征时间序列的结构模型问题
平稳性及其检验
单整及其检验
协整及其检验
误差修正模型
结构模型的解释能力以可决系数来测量，它被定义为解释变差占总变差的比重。人们倾向于认为一个高的R2意味着X对Y的“影响”强。
时间序列及误差修正模型
例：“保险规模的预测模型及实证分析”
“城市化与商品流通的关系研究”
对于具有共同变化趋势的时间序列，即使它们之间没有任何实际联系，也会产生较高的可决系数，这意味着许多通过较高可决系数而“发现”的变量间的联系可能是虚假的，即回归式所描述的变量间的回归关系是一种“伪回归”。
例如：印度的GDP与中国的GDP
一国的人口数量与GDP
农村居民人均纯收入与城镇居民储蓄存款余额
………
时间序列及误差修正模型
基于时间序列的、通过建立因果关系为基础的结构模型所作的计量经济分析，可能存在虚假回归问题
1、变量间内在的因果关联影响是否确实存在？
格兰杰因果关系检验
因此，对于时间序列数据作结构模型分析应谨慎
2、变量间的某种关联影响是否长期稳定？
变量间的长期均衡关系
时间序列及误差修正模型
平稳性、单整、协整
Granger因果检验
基本原理：
对于X和Y，建立关系：
如果：
显著地异于0而 显著地不异于0，则存在X到Y的单向因果关系
显著地不异于0而 显著地异于0，则存在Y 到X的单向因果关系
、 均显著地异于0，则X与Y之间存在双向因果关系
均显著地不异于0，则X与Y之间不存在因果关系，两变量线性无关
检验方法：针对“X不是Y变化的原因”假设
2、对 作回归，据以计算残差RSSR
(将上式看作是约束 下的回归)
1、对 作回归，据以计算残差RSSUR
(将上式看作是无约束下的回归 ，假设其待估参数为k个 )
3、设立零假设H0：
4、计算统计量：
H0
5、依据F分布对H0作出拒绝与否的假设检验
Granger因果检验
就模型
检验方法：针对“Y不是X变化的原因”假设
重复上述1—5过程
例：我国保险业增长分析
Granger因果检验
例：基于1978—2000年数据对当年价GDP与居民消费C的因果检验
注意事项：
Y、X的滞后长度的确定
拒绝
C ---→GDP
不拒绝
GDP ---→ C
6
拒绝
C ---→GDP
拒绝
GDP ---→ C
5
拒绝
C ---→GDP
拒绝
GDP ---→ C
4
不拒绝
C ---→GDP
拒绝
GDP ---→ C
3
不拒绝
C ---→GDP
拒绝
GDP ---→ C
2
结论
F的p值
F值
格兰杰因果性
滞后期
╳
╳
╳
╳
╳
╳
╳
╳
╳
╳
AIC值
LM(1)的p值
Granger因果检验
Granger因果检验中对滞后期(滞后项数)的变动十分敏感。根据戴维森和麦金农的研究，滞后期数宁多勿少
Granger因果检验
例：我国保险业增长分析
如果 所表达的X与Y 的关系是长期均衡的，则在t-1期Y的值为：
当出现 或 ，即偏离均衡点 的情况时，这种偏离从本质上讲也是“暂时性的”，偏离不会被累积下来。
这时：对应于X的一个变动 ，Y的相应变动为：
其中： 应为一期望为0的随机变量。相应地， 应为一平稳序列。这时，结构模型所设定的变量关系是有意义的
变量间的长期均衡关系
变量间的长期均衡关系
如果：对应于X的一个变动 ，Y的相应变动为：
其中： 其期望水平不为0，相应地， 为非平稳序列
则意味着在t-1期Y的对其均衡点 的偏离将被累积下来而无法在未来的某一时期得以消除，显然， 这表明X与Y 的关系不是长期均衡的，从而对它们的关系作结构模型分析也是无意义的。
-----非均衡误差为平稳时间序列时， X与Y 的关系是长期均衡的
时间序列数据的平稳性及其检验
则称该时间序列是平稳的
1、概念
假设某个时间序列是由某一随机过程生成的，即时间序列
的每一个数值都是从一个概率分布中随机得到的，如果Xt 满足下列条件：
2、例：
独立分布序列Xt：
通常被称为一个“白噪声”，它具有相同的均值(0)、方差( )、和协方差(0)，因而它是平稳的。
一个白噪声序列的平稳序列
时间序列数据的平稳性及其检验
2、例：
随机游走序列Xt：
其中 为一个“白噪声”，它是非平稳的：
显然， 与时间 t 有关而非常数
随机游走序列是非平稳的。
但是，其一阶差分 是平稳序列
时间序列数据的平稳性及其检验
3、时间序列平稳性的判断
(1)图示判断
依据序列水平判断：
t
Xt
t
Xt
平稳序列分布
非平稳序列分布
时间序列数据的平稳性及其检验
3、时间序列平稳性的判断
(1)图示判断
依据自相关函数判断：
k
rk
0
1
k
rk
0
1
平稳序列分布
非平稳序列分布
时间序列数据的平稳性及其检验
时间序列数据的平稳性及其检验
3、时间序列平稳性的判断
(2)单位根检验--- DF检验(Dicky-Fuller)
基本原理：随机游走序列 是非平稳的，而该序列是 中参数 时的情形。
如果 中 ，则称序列Xt有一个“单位根”
有一个单位根的时间序列是随机游走序列，随机游走序列是非平稳的。
因此，判断一个时间序列是否平稳，可以通过对
判断是否有单位根来进行------时间序列平稳性的单位根检验。
3、时间序列平稳性的判断
(2)单位根检验--- DF检验(Dicky-Fuller)
检验的假设：
对于
其差分形式
可以证明，当 时，时间序列Xt是非平稳的。 等价于
即：
H0：
H1：
因此：H0：
H1：
时间序列数据的平稳性及其检验
3、时间序列平稳性的判断
(2)单位根检验--- DF检验(Dicky-Fuller)
检验的过程：
OLS估计
计算统计量 服从DF分布
给定显著性水平，查DF分布表得DFa
判断：
拒绝H0，时间序列不存在单位根，是平稳的
不能拒绝H0，时间序列存在单位根，非平稳
时间序列数据的平稳性及其检验
(非平稳的原假设下，OLS估计有偏，t检验不适用)
3、时间序列平稳性的判断
(2)单位根检验--- ADF检验(Augment Dicky-Fuller)
ADF对DF的修正：
针对 (即 ) 的DF检验，实际上假定了时间序列是由具有白噪声随机项的一阶自回归过程AR(1)生成的。但在实际研究中，时间序列可能由更高阶的自回归过程生成，或者随机项并非是白噪声。这样，用OLS估计就会现出自相关问题而使DF检验无效。
为了被检验序列的随机项的白噪声特性， Dicky和Fuller对DF检验作了扩充，形成了ADF检验
时间序列数据的平稳性及其检验
3、时间序列平稳性的判断
(2)单位根检验--- ADF检验(Augment Dicky-Fuller)
实际检验时从模型3开始，依次到模型2、模型1，什么时候检验拒绝零假设(即原序列不存在单位根)，什么时候停止检验，并认为原序列是平稳的。如果直到模型1仍无法拒绝零假设，则认为原序列是非平稳的
ADF检验的模型：
ADF检验通过三个模型完成：
模型1：
模型2：
模型3：
时间序列数据的平稳性及其检验
3、时间序列平稳性的判断
(2)单位根检验--- ADF检验(Augment Dicky-Fuller)
ADF检验的统计量及过程：
ADF检验的统计量与DF检验相同
ADF检验的过程也与DF检验相同，但依据ADF分布判断
例：检验1978—2000年中国人均GDP序列(Y)的平稳性
冲击经济波动与政策
时间序列数据的平稳性及其检验
财政政策对劳动力市场的影响分析
模型3：
模型2：
模型1：
查表：
结论：人均GDP序列是非平稳的
时间序列数据的平稳性及其检验
滞后阶数的确定
4、时间序列平稳性的运用
(1)构建一平稳时间序列模型而不是结构模型进行预测及其它应用
当影响Xt的主要因素难以确定，或虽然知晓影响因素但因素水平很难给以确切表征(如消费偏好、宏观环境等)时，结构模型分析法实际上是难以操作的。
而时间序列模型只使用该序列的过去水平来预测未来值，较好地克服了结构模型分析中的上述问题
例：线性时间序列模型的一般形式ARMA(p, q)
如果该序列是平稳的，即其行为不会随着时间的推移而改变，则就可以通过该序列的过去行为来预测未来
-----时间序列模型
时间序列数据的平稳性及其检验
4、时间序列平稳性的运用
基于时间序列数据的结构模型分析暗含的假设是序列数据的平稳性。
如果ADF检验序列数据是平稳的，则经典的结构分析方法是合理的；如果ADF检验序列数据是非平稳的，则经典的结构分析方法很可能产生虚假回归。
非平稳时间序列数据的根本特征是表现出一种趋势特征。两列实际上无任何关联性的时间序列作回归，之所以会有较高的R2(即虚假回归)，就是因为它们有共同的变化趋势。
(2)消除原序列中的趋势性从而转化为平稳序列再作结构模型分析
时间序列数据的平稳性及其检验
4、时间序列平稳性的运用
(2)消除原序列中的趋势性从而转化为平稳序列再作结构模型分析
引入时间 t 作为代表趋势变量。在原解释变量的基础上引入时间 t ，将包含在原序列中的趋势特征分离出来。
-------分离确定性趋势
对原序列作差分变换，从而将原非平稳序列转化为平稳序列。 -------分离随机性性趋势
如何将非平稳时间序列数据转化为平稳序列？两种方式：
时间序列数据的平稳性及其检验
如何判断非平稳时间序列中的趋势特征是确定性趋势还是随机性趋势？ ------依据ADF检验中针对模型3的检验
对于如下自回归过程：
其中 是一个白噪声，t 为一时间趋势变量
等价于：
如果 ，则成为一带趋势的随机变化过程：
根据 的正负，Xt表现出明显的上升或下降趋势。这种趋势称为确定性趋势。
序列为平稳时间序列，即通过分离趋势项可消除确定性趋势
时间序列数据的平稳性及其检验
对于同一自回归过程：
其中 是一个白噪声，t 为一时间趋势变量
如果 ，则成为一带位移的随机游走过程：
根据 的正负，Xt表现出明显的上升或和趋势。这种趋势称为随机性趋势。
等价于：
序列为平稳时间序列，即通过差分变换可消除随机性趋势
时间序列数据的平稳性及其检验
判断一个非平稳的时间序列，其趋势特征是随机性还是确定性，可通过对以下模型的ADF检验作出判断：
(1)对上式作OLS估计
(2)依据ADF作出检验：
如果 ，Xt带有确定性趋势
如果 ， Xt带有随机性趋势
如果 ， Xt包含有确定性和随机性两种趋势
时间序列数据的平稳性及其检验
时间序列数据的单整及其检验
1、概念：
一个时间序列经过一次差分变成平稳的，称原序列为1阶单整序列，记为I(1)
一般化：如果一个时间序列经过d 次差分变成平稳序列，称原序列是d 阶单整序列，记为I(d)
因此，随机游走序列1阶单整序列
随机游走序列Xt：
其中 为一个“白噪声”，它是非平稳的，但是，其一阶差分
是平稳序列
1、概念：
描述现实经济水平的变量，只有少数变量的时间数列表现为平稳序列。一些存量指标常常是2阶单整的，以不变价格表示的流量指标如消费、收入等常常再现为1阶单整序列
多数非平稳序列可以通过一次或多次差分变为平稳序列，但也有一些时间序列无论经过多少次差分都不能变为平稳序列，这种序列被称为非单整的
时间序列数据的单整及其检验
单整性检验可以借助对时间序列的平稳性检验方法。
对时间序列Xt的平稳性ADF检验通过检验三个模型进行，类似地：
2、检验：
对时间序列Xt的1阶单整检验，相当于对序列 作平稳性检验，相应的“模型3”为：
对时间序列Xt的 d 阶单整检验，相当于对序列 作平稳性检验，相应的“模型3”为：
时间序列数据的单整及其检验
2、检验：
例：对中国1978—2000年的GDP序列，可以建立如下模型
查表：
说明：原GDP序列是1阶单整的
时间序列数据的单整及其检验
同阶单整变量之间可能是协整的
各自非平稳的、但相互协整的变量间具有长期稳定的关系，因此是可以使用经典回归模型方法建立回归模型的
3、运用：
时间序列数据的单整及其检验
时间序列间的协整及其检验
1、概念
如果序列X1t、 X2t、……、 Xkt都是d 阶单整的，存在向量a=(a1, a2,…., ak)，使得Zt=aXt~I(d-b)，其中b >0，Xt=(X1t, X2t , …, Xkt)’，则认为序列X1t、 X2t、……、 Xkt 是 (d-b) 阶协整的，记为：
Xt ~ CI ( d，b )
其中 a 称为协整向量
例：假设Xt ~ I(2) ， Yt ~ I(2)
存在Zt=a1Xt+a2 Yt ~ I(0)
则认为序列Xt 、Yt 之间是 (2、2) 阶协整的
记为： Zt ~ CI ( 2，2 )
1、概念
假设有三个单整变量：
并且：
则认为：
时间序列间的协整及其检验
1、概念
(d，d)阶协整是一类非常重要的协整关系：变量间如果是(d，d)阶协整的，则其线性组合变量是I(d- d )即 I(0 )的
则建立结构方程： 是合适的，因为随机项具有“白噪声”，而白噪声序列是平稳序列。
例：
时间序列间的协整及其检验
2、检验
第一步：用OLS估计方程得(即进行协整回归)：
及
第二步：检验et的平稳性。方法就是ADF检验，但协整检验中的ADF检验临界值比平稳性检验中的ADF检验小。因此检验中须依据协整检验的ADF分布临界值表(由Mackinnon于1991年通过模拟试验给出)作出判断
(1)双变量的协整关系检验
-----Engle-Granger检验
时间序列间的协整及其检验
2、检验
(2)多变量的协整关系检验
将其中一个变量设置为被解释变量，将其它变量作为解释变量，作协整回归，用与双变量协整关系检验类似的方法作出检验；如果残差序列不平稳，更换被解释变量重复上述过程。
当所有的变量都被作为被解释变量检验之后，仍不能得到平稳的残差序列，则认为这些变量间不存在 (d，d) 阶协整
所不同的是，多变量协整检验中的ADF临界值与变量个数有关，依据多变量协整检验ADF临界值表(由Mackinnon于1991年通过模拟试验给出)作出判断
-----Engle-Granger检验
时间序列间的协整及其检验
2、检验
(2)多变量的协整关系检验
-----Johansen检验，或称JJ(Johansen-Juselius)检验
时间序列间的协整及其检验
3、运用
(1)如果各时间序列变量间存在(d，d) 阶协整关系，则即使这些变量序列本身是非平稳的，仍可直接建立结构模型来分析
(2)建立误差修正模型，分析变量间的长期弹性和短期弹性
时间序列间的协整及其检验
非平稳时间序列可以通过差分方法将转化为平稳序列，再作经典的结构模型分析，例：建立人均消费水平(Y)与人均可支配收入(X)的结构模型
如果Y与X均是有随机性趋势的时间序列，则它们的差分量是平稳的，从而可以建立：
时间序列间的协整及其检验
这种差分过程会引起三方面问题：
1、如果Y与X原本存在长期稳定的均衡关系，且(1)式中的随机项不存在序列相关，则差分后(2)式中的随机项是一个一阶移动平均时间序列，因而是序列相关的
2、如果采用(2)式的差分形式，则关于变量水平值的重要信息将被忽略，这时模型只表达了变量间的短期关系即△Y与△X的关系，而没有揭示变量间的长期关系，即Y与X的关系
时间序列间的协整及其检验
这种差分过程会引起三方面问题：
3、差分模型不包括截距项，但使用样本数据回归时很少出现截距项著为0的情况。如果采用带截距项的差简单差分模型：
则意味着：即使X保持不变(△Xt =0)， Y 也会处于(△Yt = a0 +vt)长期上升(a0>0)或长期下降(a0<0)的过程中， 显然不符合经济理论的一般假设
结论：简单差分并不一定可行
时间序列间的协整及其检验
误差修正模型
基本思想：
X 与Y 协整，说明两者之间存在长期均衡关系。但是，即使它们之间存在长期均衡关系，也会在短期内出现失衡。这种失衡体现在随机项中。
对于：
一阶差分模型：
变换形式有：
基本思想：
一阶误差修正 模型：
ecm称为误差修正项，因为 ，有：若t-1时刻，Y大于其长期均衡水平 ， ecm为正、λecm为负，使得△Yt减少；若t-1时刻，Y小于其长期均衡水平 ， ecm为负、λecm为正，使得△Yt增加。体现了长期非均衡误差对Yt的调节和控制，即短期均衡状态。
误差修正模型
比较：
误差修正模型
反映的内容：
将差分模型：
写成简单形式：
有：
反映的内容：
当估计关系式：
对应：
可得：
短期参数
长期参数，对应于
反映前一期对均衡点的偏离有多大部分可在下一期得到纠正
(可推广到多个变量之间，并可能高阶滞后关键在于vt )
误差修正模型
实践中，变量通常以对数的形式出现，即：
即：
从而：
Y关于X的短期弹性
Y关于X的长期弹性
反映的内容：
误差修正模型
估计方法：
建立误差修正模型的前提是变量间协整
方法1：
展开ECM 有：
估计并检验该式，从而ECM为：
对于：
其中：
记为：
误差修正模型
误差修正模型
估计方法：
方法2：
第一步：作协整回归
从而 Y关于X的短期弹性为：
第二步：估计ECM
检验残差项的有效性及平稳性，从而 Y关于X的长期弹性为：
对于：
其中：
估计方法：
两种估计方法的结果一般不同
误差修正模型
例：财政政策对劳动力市场的影响分析
