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Ux={yꇊXꇃyꫳx};(1?1)Lx={yꇊXꇃxꫳy};(1?2)Ix={yꇊXꇃyꆫx}=UxꇉLx.(1?3)??죽헟럖뇰돆캪평x뻶뚨뗄짏캧뗀벯ꆢ쿂캧뗀벯폫컞닮뇰벯(죧춼1?1).샻폃릫샭(P1)ꆢ(P2)늻쓑횤쏷틔쿂볲떥뷡싛:쏼쳢
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x(p,w)={xꇊBp,wꇃu(x)ꇝu(x0)}={xꇊBp,wꇃxꫳx0}=Bp,wꇉ,w쿔좻쫇춹벯.죴ꫳ쫇춹탔뗄,퓲Ux쫇춹벯(쏼쳢),듓뛸0x(p,w)쫇춹벯.죴x0,x1ꇊx(p,w),x0ꇙx1,퓲xꪾ(x0+x1)/2ꇊBp,w,틲뛸u(x)ꇜu(x0)=u(x1).헢폫쪽(1?8)뇈뷏뾴돶,u(ꆤ)뇘럇잿쓢낼몯쫽.틲듋,떱ꫳ퇏룱춹쪱x(p,w)횻쓜몬캨튻뗣.ꇵ4.솬탸탔?캪쏨쫶뿉쓜뛠횵뗄몯쫽x(p,w)뗄솬탸탔,틽뷸틔쿂룅쓮,쯼퓚뫳쏦뮹튪뛠듎폃떽.뚨틥
쟒뷶떱xꇤꇊx(p,w),xꇊx(pꇤ,wꇤ)쪱ꚤpꆤꚤx=0.횤?죴ꚤpꆤꚤxꇝ0,퓲폃Walras뚨싉폫pꇤꆤx=wꇤ뗃0ꇜ(pꇤ-p)ꆤ(xꇤ-x)=w-pꆤxꇤ,뿉볻pꆤxꇤꇜw,벴xꇤꇊBp,w,틲뛸u(xꇤ)ꇜu(x).쇭튻랽쏦,평pꇤꆤx=wꇤ폐xꇊBpꇤ,wꇤ,틲뛸u(x)ꇜu(xꇤ),폚쫇u(x)=u(xꇤ).헢뗃돶xꇤꇊx(p,w)쟒xꇊx(pꇤ,wꇤ).ꇵ늹뎥탨쟳뚨싉뗄횱맛틢틥쫇:죴떱볛룱듓p뇤떽pꇤ쪱죧듋뗷헻w,쪹wꇤ쓜뗖뎥횧뢶pꇤꆤx,퓲탨쟳폫볛룱뎯쿠랴뗄랽쿲뇤뮯:ꚤpꆤꚤxꇜ0.퓚놾뛎훐,몯쫽x(p,w)뗄튻쾵쇐탔훊쫇퓚쿠뛔뗘뷏캪뿭랺뗄쳵볾쿂췆돶뗄.헢킩탔훊뗄뇭쫶폫췆횤퓚쯼뒦붫틔쒳훖탎쪽훘뢴돶쿖,틲듋쳘뇰횵뗃힢틢.??
v(ꛁp+ꛁꇤꮊp,ꛁw+ꛁꇤꮏw)ꇜmax{v(p,w),v(ꮊp,ꮏw)},웤훐,ꛁꇊ[0,1],p,ꮊpꫭ0,w,ꮏw>0(힢틢쯹쫶쳵볾쿠떱폚-v(p,w)쫇쓢낼뗄).죴u(ꆤ)쫇낼몯쫽,퓲v(p,w)뛔w쫇낼몯쫽.횤?쇮(p0,w0)=ꛁ(p,w)+ꛁꇤ(ꮊp,ꮏw).횱뷓뾴돶Bp,w?00Bp,wꇈBpꮊ,ꮏw,헢뷡뫏쪽(2?4)뗃돶v(p0,w0)ꇜmax{u(x)ꇃxꇊBp,wꇈBpꮊ,ꮏw}ꇜmax{maxxꇊu(x),maxu(x)}BxꇊBp,wꮊp,ꮏw=max{v(p,w),v(ꮊp,ꮏw)},헢뇭쏷v(ꆤ,ꆤ)쫇쓢춹몯쫽.웤듎짨u(ꆤ)쫇낼몯쫽,만뚨pꫭ0.짨ꛁꇊ[0,1],w,ꮏw>0,퓲v(p,ꛁw+ꛁꇤꮏw)=max{u(x)ꇃpꆤxꇜꛁw+ꛁꇤꮏw}ꇝmax{u(ꛁy+ꛁꇤz)ꇃpꆤyꇜw,pꆤzꇜꮏw}ꇝmax{ꛁu(y)+ꛁꇤu(z)ꇃpꆤyꇜw,pꆤzꇜꮏw}=max{ꛁu(y)ꇃpꆤyꇜw}?+max{ꛁꇤu(z)ꇃpꆤzꇜꮏw}=ꛁv(p,w)+ꛁꇤv(p,ꮏw),헢뇭쏷v(p,w)뛔w캪낼몯쫽.ꇵ4.솬탸탔?v(p,w)쫇RL+1++쓚뗄솬탸몯쫽.헢쫇뚨샭뗄췆싛.??
1ꇣ뇘튪쳵볾.죴ꮊxꇊx(p,w),퓲듦퓚ꛋꇊR+,쪹뗃ꮨu(ꮊx)ꇜꛋp,?[ꮨu(ꮊx)-ꛋp]ꆤꮊx=0;(2?7)떱ꮊxꫭ0쪱폐ꮨu(ꮊx)=ꛋꇣ돤럖쳵볾.죴u(ꆤ)쫇쓢낼몯쫽,ꮊxꇊRL+싺ퟣpꆤꮊx=w,?ꮨu(ꮊx)=ꛋpꫭ0,(2?8)퓲ꮊxꇊx(p,w).횤?1ꇣퟷLagrange몯쫽L=u(x)-ꛋpꆤx+ꛌꆤx.죴ꮊx쫇UMP쪽(2?3)뗄뷢,퓲평K?T쳵볾폐ꛋꇊR+,ꛌꇊRL+,쪹뗃ꮨL(ꮊx)=ꮨu(ꮊx)-ꛋp+ꛌ=0;ꛋ(pꆤꮊx-w)=ꛌꆤꮊ(2?9)x=0.평쪽(2?9)횱뷓췆돶쪽(2?7).죴ꮊxꫭ0,퓲듓ꛌꆤꮊx=0폫ꛌꇝ0췆돶ꛌ=0,틲뛸ꮨu(ꮊx)=ꛋp.?2ꇣ죴ꮊxꮲx(p,w),퓲좡xꇊx(p,w)뗃u(ꮊ?x)<u(x).좡ꛁ>0돤럖킡,쪹u(ꮊx)<u(ꛁꇤ?x),퓲tꇽ0쪱0ꇜu(tꇤꮊx+ꛁ?tꇤx)-u(ꮊx)????(폃쓢낼탔)=u?(ꮊx+t(ꛁꇤx-ꮊx))-u(ꮊx)=tꮨu(ꮊx)ꆤ(ꛁꇤ?x-ꮊx)+o(t)=ꛋtpꆤ(ꛁꇤ?x-ꮊx)+o(t)???(폃쪽(2?8))=-ꛋtꛁw+o(t),???????(폃쪽(2?8))헢췆돶ꛋꛁwꇜ0,뗃돶쎬뛜.틲듋ꮊxꇊx(p,w).ꇵ평뚨샭췆돶,죴ꫳ쫇춹탔뗄,ꮊxꫭ0,ꮨu(ꮊx)ꫭ0,pꆤꮊx=w,퓲ꮊxꇊx(p,w)뗄돤튪쳵볾쫇:듦퓚ꛋ>0,쪹ꮨu(ꮊx)=ꛋp.벸뫎짏,헢틢캶ퟅ컞닮뇰쟺쏦u(x)=u(ꮊx)폫풤쯣뎬욽쏦퓚뗣ꮊx쿠쟐(죧춼2?1).쳵볾ꮨu(ꮊx)=ꛋp뿉뗈볛뗘뇭돉?u(ꮊx)/?xl?(2?10)u(ꮊx)/?=plxkpk(1ꇜl,kꇜL).쪽(2?10)ퟳ뛋돆캪짌욷l폫k횮볤뗄뇟볊쳦듺싊,ꆤ23ꆤ
볇ퟷMRSlk.뚨샭훐뗄ꛋ돆캪Lagrange돋ퟓ,퓚튻뚨뢽볓쳵볾쿂,뿉쟳돶웤뇭듯쪽.쏼쳢
훊:(1)x(p,w)폫v(p,w)뚼쫇0듎웫듎몯쫽;(2)v(p,w)뛔p떥뗷복,뛔w퇏룱떥뗷퓶;(3)v(p,w)뛔w쫇낼몯쫽;(4)싺ퟣ뫣뗈쪽(2?5)ꆢ(2?11).
(2?5)뛔펦뗄뫣뗈쪽쫇pꆤh(p,u)=e(p,u).(2?17)??내헕짏뷚뗄쮼슷,쿂튻늽펦떱쫇떼돶몯쫽h(p,u)폫e(p,u)뗄룷훖탔훊.늻맽,퓚헢퇹ퟶ횮잰,ퟮ뫃쫇쿈붨솢h(p,u),e(p,u)폫x(p,w),v(p,w)횮볤뗄솪쾵;뷨훺폚헢킩솪쾵,믲탭뿉붫x(p,w),v(p,w)뗄쒳킩탔훊횱뷓틆떽몯쫽h(p,u),e(p,u).쏼쳢
v(p,w)폫e(p,u)횮볤뗄쿠뮥뮯.쿂쏦붫뾴떽,헢튻쫂쪵벫폐샻폃볛횵.??
쟒뷶떱xꇊh(pꇤ,u),xꇤꇊh(p,u)쪱뗈쪽돉솢.횤?평u(x)=u(xꇤ)=u,폐ꚤpꆤꚤx=(pꇤ-p)ꆤ(xꇤ-x)=(pꇤꆤxꇤ-pꇤꆤx)+(pꆤx-pꆤxꇤ)ꇜ0,뗈쪽돉솢뷶떱pꇤꆤxꇤ=pꇤꆤx,pꆤx=pꆤxꇤ,벴xꇊh(pꇤ,u),xꇤꇊh(p,u).ꇵ??
4.솬탸탔?e(p,u)쫇(p,u)뗄솬탸몯쫽.횤?평쪽(2?20),w=e(p,u)싺ퟣ랽돌F(p,u,w)ꪾv(p,w)-u=0.틲F쫇(p,u,w)뗄솬탸몯쫽쟒뛔w퇏룱떥뗷퓶,맊평틾몯쫽뚨샭췆돶w=e(p,u)쫇(p,u)뗄솬탸몯쫽.ꇵ힢?죧춬x(p,w)뗄짏냫솬탸탔췆돶v(p,w)뗄솬탸탔튻퇹,h(p,u)뗄짏냫솬탸탔튲췆돶e(p,u)뗄솬탸탔.떫헢늻쫇튻룶뫏쫊뗄횤쏷,틲퓚췆돶h(p,u)뗄짏냫솬탸탔쪱폃떽e(p,u)뗄솬탸탔.5.뿉캢탔?짨ꮊpꫭ0,ꮅu>u(0),퓲e(p,ꮅu)뛔p퓚뗣ꮊp뿉캢뗄돤튪쳵볾쫇h(ꮊp,ꮅu)뷶몬튻뗣,듋쪱폐?e(ꮊp,ꮅu)?=h(ꮊp,ꮅu).p헢쫇틔쿂튻냣뚨샭뗄췆싛.뚨샭(뛔얼뚨샭)?짨K?RL쫇튻럇뿕뇕벯,ꛌK(p)=infpꆤxxꇊK쫇K뗄횧돐몯쫽;ꮊpꇊRL.퓲ꛌK(p)퓚뗣ꮊp뿉캢뗄돤튪쳵볾쫇듦퓚캨튻ꮊxꇊK,쪹뗃ꛌK(ꮊp)=ꮊpꆤꮊx;듋쪱폐?ꛌK(ꮊp)/?p=ꮊx.볲떥뗘쮵,e(ꆤ,u)뗄뿉캢탔뗈볛폚h(ꆤ,u)뗄떥횵탔.??
횤?1ꇣ죧춬뚨샭횮횤,폃K?T쳵볾뗃돶듦퓚ꛋꇊR+,쪹쪽(2?24)돉솢.뇘뚨ꛋ>0,럱퓲ꛋ=0,폚쫇평쪽(2?24)뗃pꆤꮊx=0,듓뛸ꮊx=0,떫헢폫u(ꮊx)=u>u(0)쿠쎬뛜.2ꇣ뇘뚨ꮊx>0,틲뛸wꪾpꆤꮊx>0,폚쫇평뚨샭횮2ꇣ폐ꮊxꇊx(p,w)=h(p,v(p,w))??(폃쪽(2?18))=h(p,u(ꮊx))=h(p,u).ꇵ??쳵볾ꛋꮨu(ꮊx)=p쿔좻춬퇹뗈볛폚쪽(2?24).뛔폚Cꛂobb?Douglas짺닺몯쫽u=ꛁx1x2(닎뾴샽),솪솢쪽(2?10)폫u(x)=u캩튻뗘뷢돶ꛁꛂpꛁ1+ꛂ1p2h(p,u)=kꛁkꛂ,,?k=u;(2?26)p1p2ꛁꛂe(p,u)=pꆤh(p,u)=k(ꛁ+ꛂ).(2?27)평쪽(2?26)ꆢ(2?27)뾴돶,h(p,u)폫e(p,u)뛔p럖뇰쫇0듎웫듎폫1듎웫듎몯쫽;e(p,u)뛔p떥뗷퓶쟒캪낼몯쫽,뛔u퇏룱떥뗷퓶쟒캪춹몯쫽(ꛁ+ꛂꇜ1).헢킩뚼펦횤쇋폫킡뷚훐뗄뷡싛.뷡뫏쪽(2?13)ꆢ(2?14),튲뿉퇩횤쪽(2?19)폫쪽(2?20):h(p,u)=x(p,e(p,u)),?v(p,e(p,u))=u.샽
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