第四单元 特征值 特征向量
第 3 次课程教案 2 课时
教 学 内 容 实对称矩阵的对角化
教 学 目 标
1.掌握矩阵与对角矩阵相似的条件；
2.了解对称矩阵的特征值与特征向量的性质；
3.掌握将对称矩阵化为对角矩阵的方法.
重 点 难 点 正交相似变换矩阵将对称矩阵化为对角矩阵
教 学 条 件
环 境
多媒体教室；粉笔；ppt 课件
教 学 方 式
课堂讲授； 混合式教学；□ 讲授；案例教学； 分组教学；□ 实验演示；□
作业讲评；□ 实践教学；□ 其他活动
教 学 过 程 设 计
教 学 环 节
与 时 间 分
配
教 学 内 容
互 动
设 计
导 入
（ 5 分 ）
矩阵中有一类特殊的矩阵：实对称矩阵，本节讨论当矩阵为实对称矩
阵时的对角化问题，它有确切的结果：实对称阵总是可以对角化的。
互相讨论
自由回答
正 文 讲 授
（ 75 分 ）
一、矩阵的对角化
推论 若 阶矩阵 与对角阵 相似，则
即为 的 个特征值.
证明 因为 既是对角矩阵 的 特征值，由定理
3 知， 即为 的 个特征值.
定理 1 阶矩阵 与对角矩阵相似的充分必要条件是:
有 个线性无关的特征向量.
推论 如果 阶矩阵 的特征值互不相等，则 与对角矩
阵相似．
定理 1 的证明 如果可逆矩阵 ，使 为对角矩阵，
也就是
若记矩阵 ，其中 是
的列向量组, 就有
学生思考
学生倾听
学生回答
n A
n
2
1
1 2, , , n L A n
1 2, , , n L n
1 2, , , n L A n
n A
A n
n A A
P 1P AP
. PAP
1 2, , , nP p p p L 1 2, , , np p pL P
即 为 ， 于 是 有
， .
再由 是可逆矩阵便可知， 就是 的 个
线性无关的特征向量.
反 之 ， 如 果 阶 矩 阵 有 个 线 性 无 关 的 特 征 向 量
， 于 是 ， 应 有 数 ， 使 ，
.
以向量组 构成矩阵 ，则
为可逆矩阵，且 ，其中 是以 构成的对角矩
阵，也就是 ，即 与对角矩阵相似.
三阶矩阵 只有 2 个线性无关的特征向量，
所以它不可能与对角矩阵相似.
矩阵 ， 是 的特征值 3 的线性无
关的特征向量, 是 的特征值 1 的线性无关
的特征向量.
于是， 矩阵 恰有 3 个线性无关的特征向量 ，
所以它能与对角矩阵相似.
令 ， 则 为 可 逆 矩 阵 ， 且
.
例 1. 判断下列矩阵是否与对角矩阵相似，若是，求出
相似变换矩阵和对角矩阵．
1
2
1 2 1 2, , , , , ,n n
n
A p p p p p p
L L
O
1 2 1 1 2 2, , , , , ,n n nAp Ap Ap p p p L L
i i iAp p 1,2,i n L
P 1 2, , , np p pL A n
n A n
1 2, , , np p pL 1 2, , , n L i i iAp p
1,2,i n L
1 2, , , np p pL 1 2, , , nP p p p L P
AP P 1 2, , , n L
1P AP A
201
034
011
A
142
252
001
A ,
1
1
0
1
p A
,
1
0
1
,
0
1
2
32
pp A
A 1 2 3, ,p p p
1 2 3
0 2 1
, , 1 1 0
1 0 1
P p p p
P
1
3 0 0
0 1 0
0 0 1
P AP
解: 的特征多项式为
因此 的特征值为
当 时，解方程组 ．由
得基础解系
当 时，解方程组 .由
得基础解系
于是，3 阶矩阵 有 3 个线性无关的特征向量，所以它
能与对角矩阵相似.
令 ，则可逆矩阵 为所求相似变换矩阵, 且
.
例 2．设 2 阶矩阵 的特征值为 1, -5, 与特征值对应的
特征向量分别为 求 .
解： 因为 2 阶矩阵 有 2 个互异的特征值，据定理 4
的推论， 能与对角矩阵相似.
112
202
213
A
A
112
22
213
|| EA
110
22
213
110
22
213
)1(
2)1(
A .1,0 321
1 0 0 0A E x
3 1 2 1 1 0
2 0 2 0 1 1
2 1 1 0 0 0
A r
%
,
1
1
1
1
p
2 3 1 0A E x
2 1 2 1 1 2 1
2 1 2 0 0 0
2 1 2 0 0 0
A E r
%
1
0
1
,
0
1
2/1
32 pp
A
101
011
12/11
P P
100
010
000
1APP
A
,1,2,1,1 TT A
A
A
取 ，应有 ，所以
二、实对称阵相似对角化
定理 2 实对称矩阵的特征值为实数.
为 对应的特征向量 . 即
于是有
两式相减， 因为 p≠0,
定理 3 依次是
它们对应的特征向量. 则 与 正交.
证明 由已知有
左乘（2）式的两端得
因为 是实对称矩阵，所以
于是
即 p1 与 p2 正交.
定理 4 设 为 阶对称矩阵，则必有正交矩阵 ,使
， 是以 的 个特征值为对角元素的对角矩
阵.
它 们 的 重 数 依 次 为 于 是 , .
恰有 个线性无关的实特征向量, 把它们正交
单 位 化 ， 即 得 个 单 位 正 交 的 特 征 向 量 , . 由
. 知这样的特征向量恰有 个. 又实对称矩阵
不等的特征值对应的特征向量正交( 根据定理 6 )，故这 个
特征向量构成规范正交向量组.以它们为列构成矩阵 ,则为
正交矩阵，并有
恰是 的 个特征值.
推论 设 为 阶对称矩阵, 重根,
11
21
P
50
011APP
1
50
01
PPA
3/13/1
3/23/1
50
01
11
21
12
43
的特征值，是实对称矩阵设证 A x .xxA
,xxAxxAxx TTT
xxxAxxAxAxx TTTTT 及
,0)( xxT得 ,0xxT所以
，故 .为实数即
的两个特征值，是实对称矩阵设 A21 , 21 , pp
,21 若 1p 2p
)1(111 ppA
)2(222 ppA
Tp1以 21221 )( ppApp
TT
A
)( 21 App
T
21)( pAp
T 211 )( pp
T 211 pp
T
.02121 ppT
，因为 21 ,021 pp
T故
A n P
PAP 1 其中 A n
，，，，的互不相等的特征值为设证明 mA 21
，，，， mrrr 21 nrrr m 21
i对应特征值 ir
ir mi ,,, 21
nrrr m 21 n
n
P
P
PAP 1 ,,,11 mmrr 个个的对角元素含其中对角矩阵
A n
A n 的特征方程的是A r
恰 有
个线性无关的特征向量.
为对
角矩阵．
于是得正交矩阵
，的秩则矩阵 rnEAREA )( 从而特征值 r
APPPA 1
210
120
005
1 ，使，求一个正交矩阵设例 .
的特征多项式为解 A:
210
120
005
EA ),5)(3)(1(
.531 321 ，，故的特征值
时，当 11
0
0
0
110
110
004
3
2
1
x
x
x
由
,
1
1
0
3
2
1
x
x
x
解得基础解系 .
2
1
2
1
0
1
p单位化得
时，当 32
0
0
0
110
110
002
3
2
1
x
x
x
由
,
1
1
0
3
2
1
x
x
x
解得基础解系 .
2
1
2
1
0
2p单位化得
时，当 53
0
0
0
310
130
000
3
2
1
x
x
x
由
,
0
0
1
3
2
1
x
x
x
解得基础解系 .
0
0
1
3p单位化得
且使得
为 对
角矩阵．
解：A 的特征多项式为
将其规范正交化.
正交化：取
再单位化得
0
2
1
2
1
0
2
1
2
1
100
321 ),,( pppP
.
5
3
1
1
APPAPP T
APPPA 1
111
111
111
2 ，使，求一个正交矩阵设例 .
EA
111
111
111
,)3( 2
., 30 321 故得特征值
,), 00021 xEA解齐次线性方程组（时当
,,
1
0
1
0
1
1
21 bb解得基础解系
,
0
1
1
11
bq
1
2
1
2
1
0
1
1
2
1
1
0
1
],[
],[
1
11
21
21
11
21
22 bbb
bb
bb
bb
bb
bq T
T
6
2
6
1
6
1
,
0
2
1
2
1
21 pp
,0)333 xEA（时，解齐次线性方程组当
于是得正交矩阵 .
且使得
课 堂 小 结
（ 10 分 ）
正交相似变换矩阵将对称矩阵化为对角矩阵的步骤 学生回答
课 后 作 业
目 标 达 成
度 的 主 要
观 测 点
正交相似变换矩阵将对称矩阵化为对角矩阵
教 后 小 结
,
1
1
1
解得基础解系 .
3
1
3
1
3
1
3
p单位化得
3
1
6
20
3
1
6
1
2
1
3
1
6
1
2
1
321 ),,( pppP
.
3
0
0
1
APPAPP T
