实数完备性的基本定理
完备性定理的正式名称为完备性公理或者连续性公理, 包括确界原理和单调有界
定理在内, 共有七种形式. 它们各自从不同角度切入实数的完备性 (即实数的连续性),
分别刻画了实数的形式各异的本质特征.
区间套定理
定理 . 若闭区间列 [an, bn], n = 1, 2, · · · 满足
(1) [an, bn] ⊇ [an+1, bn+1] , n = 1, 2, · · · ,
(2) limn→∞(bn − an) = 0,
则存在唯一的点 c ∈ R, 使 c ∈ [an, bn], n = 1, 2, · · · , 即 {c} =
⋂∞
n=1
[an, bn].
注 . 若区间是开的, 则定理的结论不一定成立. 例如, 区间列
(
0,
1
n
)
, n =
1, 2, · · · , 显然满足定理的 (1) 和 (2), 但
⋂∞
n=1
(
0,
1
n
)
= ∅.
例 . 若开区间列
{
(an, bn)
}
满足
(i) an < an+1 < bn+1 < bn, n = 1, 2, · · · ,
(ii) limn→∞(bn − an) = 0,
则定理的结论仍成立, 即存在唯一的 c ∈ R, 使 {c} =
⋂∞
n=1
[an, bn].
证明 : 将已知开区间列
{
(an, bn)
}
适当缩小得如下闭区间列
{
[An, Bn]
}
:
An = an +
an+1 − an
3
, Bn = bn −
bn − bn+1
3
, ∀n = 1, 2, · · · ,
则由
{
an
}
,
{
bn
}
的单调性和 an < bn(n = 1, 2, · · · ) 易知
An =
an+1 + 2an
3
≤
an+2 + 2an+1
3
= An+1,
Bn =
2bn + bn+1
3
≥
2bn+1 + bn+2
3
= Bn+1.
同理, 因显然地有 an < An < an+1 < bn+1 < Bn < bn, 故
(an+1, bn+1) ⊆ [An, Bn] ⊆ (an, bn),
且 limn→∞(Bn −An) = 0. 于是闭区间列
{
[An, Bn]
}
满足区间套定理的全部条件, 因而
存在唯一的 c ∈ [An, Bn] ⊆ (an, bn), n = 1, 2, · · · , 且显然有
{c} =
⋂∞
n=1
[An, Bn] =
⋂∞
n=1
[an, bn].
Heine-Borel 有限覆盖定理
设有实数集 A 和实数子集族 {Eλ}λ∈Λ, 其中 Λ 是指标集.
若 A ⊆
⋃
λ∈ΛEλ, 则称 {Eλ}λ∈Λ 是 A的一个覆盖; 若 A的覆盖 {Eλ}λ∈Λ 中仅含开
区间, 则称 {Eλ}λ∈Λ 为 A 的一个开覆盖; 若 {Eλ}λ∈Λ 是 A 的覆盖, 且 Λ 是有限集, 则
称 {Eλ}λ∈Λ 是 A 的一个有限覆盖.
定理 . 闭区间 [a, b] 的任一开覆盖 {Eλ}λ∈Λ 中均存在 [a, b] 的一个有限覆盖,
即存在 N ∈ N 和 Ek ∈ {Eλ}λ∈Λ, k = 1, 2, · · · , N, 使 [a, b] ⊆
⋃N
k=1
Ek.
关于有限覆盖定理的理解, 应注意两点:
(1) 不能将闭区间改为开区间, 如 (0, 1) 在开覆盖
(1
n
,
2
n
)
(n = 1, 2, · · · ) 中找不到有限
覆盖.
(2) “任一开覆盖中总有有限的‘简化覆盖’(关于原开覆盖)”不能理解为“任意闭区
间都能被某有限多个开区间覆盖”.
根据有限覆盖定理, 所谓无理数的直观表示就是, 任给有界的有理数集合, 若添加
任意有限个有理数后新的集合恒无有限覆盖性, 则至少应添加一个无理数才可能满足
有限覆盖.
聚点原理与 Bolzano-Weierstrass 定理
聚点原理是一个刻画实数系多重特征的完备性定理. 应用中, 直接、间接 (反证法)
使用此结论都很常见. 注意聚点概念的多种刻画方式的相互转化.
定义 . 设 E 是 R 中的一个子集. 若 x0 ∈ R 使得任给 δ > 0, 总有
U0 (x0, δ)
⋂
E 6= ∅, 则称 x0 是 E 的一个聚点. 若 x0 ∈ E, 且非 E 的聚点, 则
称 x0 是 E 的一个孤立点.
注 . 点 x0 是 E 的聚点与 x0 是否属于 E 无关.
由定义, 对集合 E ⊆ R 和 x0 ∈ R, 如下三个命题等价:
(i) x0 是 E 的聚点;
(ii) 任给 δ > 0, 邻域 U(x0, δ) 中有 E 的无穷多个点;
(iii) 存在 E 中互异点的序列 {xn}, 使 limn→∞ xn = x0.
由定义, x0 是 E 的孤立点当且仅当存在 δ > 0, 使 U(x0, δ)
⋂
E = {x0}.
例 . 设 E 是 [0, 1] 中全体有理数的集合, 则 E 的聚点全体是 [0, 1], 且 E 没有
孤立点, E 是其聚点集 [0, 1] 的真子集.
例 . 在 R 中, E =
{
(−1)n
1
n2
: ∀n ∈ N
}
有唯一聚点 0 且 0 /∈ E, E 有无穷多
个孤立点, 且 (−1)n
1
n2
(n = 1, 2, · · · ) 均为 E 的孤立点.
定理 (聚点原理). R 中的任意有界无穷子集至少有一个聚点.
聚点原理结合子序列的技术也可以刻画实数的完备性, 这就是纯分析的 Bolzano-
Weierstrass 定理, 也称之为列紧性定理或者致密性定理.
定理 (Bolzano-Weierstrass 定理). 有界序列一定有收敛的子序列.
根据聚点原理, 任给实数集内有界的有理数无穷集合, 其任一聚点若非有理数, 则
一定为无理数; 而根据致密性定理, 任给实数集内有界的有理数无穷序列, 其任一收敛
子列若非收敛到有理数, 则一定收敛到无理数.
Cauchy 收敛准则
Cauchy 收敛准则是第二个纯分析的完备性定理, 它侧重于序列收敛的充要条件刻
画, 仅需要序列本身的性质, 因此, 对于后面的任一种收敛性, 熟练驾驭其 Cauchy 收敛
准则形式的充要条件是必然要求.
定义 . 设 E ⊆ R. 称
{
xn
}
⊆ E 是 E 中的 Cauchy 序列, 若任给 ε > 0, 存在
N > 0, 使任意的 n,m > N 时, 有 |xn − xm| < ε.
定理 . 序列
{
xn
}
⊆ R 收敛当且仅当它是 R 中的 Cauchy 序列.
必要性是明显的. 设 a = limn→∞ xn, 则由极限定义, 任给 ε > 0, 存在 N > 0, 当
n > N 时, 有 |xn − a| <
ε
2
, 从而任给 n,m > N , 有
|xn − xm| ≤ |xn − a|+ |a− xm| < ε.
注 . 有理数域 Q 是不完备的, 因为 Q 中的 Cauchy 序列的极限不一定是有理
数; 此外, 任何开区间 (a, b) 也不完备, 因为存在 Cauchy 序列{
a+
b− a
n
}
⊆ (a, b) 但 limn→∞
(
a+
b− a
n
)
= a /∈ (a, b).
由 Cauchy收敛准则, 实数集 R中任意收敛序列的极限仍在 R中. 于是, 所谓无理
数的直观表示就是, 任取实数集内的有理数 Cauchy 序列, 若任一有理数非其极限, 则
由该 Cauchy 序列决定一个无理数.
例 . 证明: 序列
{
xn
}
是发散的, 其中 xn = 1 +
1
√
2
+ · · ·+
1
√
n
, ∀n ∈ N.
证明 : 用 Cauchy 收敛准则. 因为任给 n, 有
|x2n − xn| =
1
√
n+ 1
+ · · ·+
1
√
2n
≥
n
√
2n
>
n
2n
=
1
2
,
故
{
xn
}
不是 R 中的 Cauchy 序列, 从而
{
xn
}
一定发散.
