2005年 1月
第29卷 第1期
安徽大学学报(自然科学版)
Journal of Anhui University Natural Science Edition
January 2005
Vo1．29 No．1
诱导有序加权平均的组合预测模型及其应用
陈华友 ，蔡正高
(1．安徽大学 数学与计算科学学院，安徽 合肥 230039；2．南京大学 工程管理学院，江苏 南京 210093)
摘 要：有序加权平均算子是近年来发展的在许多领域有着广泛应用的信息融合方法．本文
引进诱导有序加权平均算子的概念，并探讨了它的一些性质，然后建立诱导有序加权平均新的组
合预测模型，最后给出其在股票价格预测中的应用研究，实例分析结果表明了该方法的有效性．
关键词：诱导有序加权平均；算子；组合预测；股票价格
中图分类号：0221．1 文献标识码：A 文章编号：1000—2162(2005)O1—0001一o6
Yager 提出有序加权平均(OWA)算子，它能有效地集结数据信息，因此有关信息集结
算子理论的研究受到国内外学者的重视 J．然而传统的数据信息的融合是对特定类型的数
据取固定权系数进行加权算术平均，这往往不一定能产生理想的融合效果．在组合预测中，为
了综合利用各个单项预测方法所提供的信息，传统的组合预测方法 就是对特定的单项预
测方法取固定权系数计算加权算术平均即可．这种预测方法存在一定的缺陷．比如在对股票价
格的预测中，股票价格受到若干因素的影响，而且有些因素是不可控的，如股票投资者的心理
因素，政策因素等．因为每位专家考虑影响股票价格的因素不同以及采用不同的预测方法，所
以他们常常得出不同的预测结果．就某位专家而言，他在股价预测中有些时刻预测精度较高，
而在另一些时刻预测精度较低。因此取固定专家权系数的加权算术平均的组合预测方法与专
家预测精度的波动性不一致．本文引进诱导有序加权平均(IOWA)算子 ，建立诱导有序加权
平均新的组合预测模型，给出了单项预测方法的预测结果信息的融合的方法，最后探讨了该方
法在股票价格预测中的应用，实例分析结果令人满意．
1 诱导有序加权平均算子的概念及性质
定义1 · 设 ：R 一R为m元函数，W=(W。，W ，⋯，W ) 是与 有关的加权向量，满
足∑W =1，W ≥o，i=1，2，⋯，m，若
l=1
(0l，02，⋯，0 )=∑t￡， 6
其中b 是0 ，0 ，⋯，0 中按从大到小的顺序排列的第i个大的数，则称函数 是m维有序加权
平均算子，简记为 OWA算子． ．
定义l表明OWA算子是对 m个数0 ，0 ，⋯，0 按从大到小的顺序排序后进行有序加权平
均的，权系数W 与数 0 无关，而是与 0 ，0 ，⋯，0 的按从大小顺序排的第 i个位置有关．
收稿日期：2004—03—08
基金项目：中国博士后科研基金资助项目(2004035209)；安徽省教育厅科研基金资助项目(2oo2kjo'22)
作者简介：陈华友(1969一)，男，安徽和县人，安徽大学教授，南京大学博士后．一
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2 安徽大学学报(自然科学版) 第29卷
定义2 设 (tJ。，n。)，(tJ：，n：)，⋯，(tJ，，．，n，，．)为m个二维数组，令
fw(( 。，a1)，( ：，a2)，⋯，( ，，．，n，，．))=∑Wi ㈤
则称函数 是由 。， ：，⋯， ，，．所产生的m维诱导有序加权平均算子，简记为IOWA算子， 称为
口 的诱导值．其中 一index(i)是 。， ：，⋯， 中按从大到小的顺序排列的第i个大的数的下
标， =(ttJ。，11)：，⋯，ttJ，，．) 是OWA的加权向量，满足∑W =1，W。≥o，i=1，2，⋯，m．
定义2表明IOWA算子是对诱导值 。， ：，⋯， ，，．按从大到小的顺序排序后所对应的n。，n：，
⋯
，口，，．中的数进行有序加权平均，11) 与数n 的大小和位置无关，而与其诱导值所在位置有关．
例如，设(3，4)，(1，2)，(5，1)，(7，O)为4个二维数组，OIlZA的加权向量为11)。=0．3，W：=
0．4，t‘，3=0．2，tlJ =0．1，贝0／ ((3，4)，(1，2)，(5，1)，(7，O))=0×0．3+1×0．4+4×0．2
+2 X 0．1 = 1．4．
类似文献[1]证明OWA算子性质，利用定义2容易证明IOWA算子具有如下性质：
性质1 单调性。设(口。，n：，⋯，口，，．)和(c。，e：，⋯，c，，．)是两个lrl维向量，若对任意 均有口。
≤ci，则
IOWA((t，1，口1)，(t，2，口2)，⋯，(tJ，，．，口，，．))≤IOWA((tJ1，c1)，(tJ2，c2)，⋯，(tJ，，．，c，，．))
性质2 幂等性．设 (n。，n：，⋯，n，，．)是一个lrl维向量，若对任意 均有口 =口，则
IOWA((t，1，口1)，( ，口2)，⋯，(t，，，．，a，，．))=口
性质3 介值性．IOWA算子介于rain算子和max算子之间，即
⋯
rain
．
{口i}≤IOWA((tJ1，口1)，(t，2，口2)，⋯，(tJ，，．，Ⅱ，，．))≤
．
mltx{口l}
1‘‘‘m l≤ ‘≤ m
性质4 若加权向量． =(ttJ。，ttJ：，⋯，ttJ，，．) =(1／m，1／m，⋯，1／m) ，则此时的IOWA算
子为简单算术平均算子，即
1 ，，l
towa(( n。)，( 口：)，⋯，(‰n，，．))= ∑n
性质5 若对任意i均有 =口 ，i=1，⋯，m，则
IOWA((t，1，口1)，(t，2，口2)，⋯，(t，，，．，口，，．))=OWA(口1，口2，⋯，口，，．)
可见IOWA算子是一类很广泛的信息融合算子，通常的简单算术平均算子和OWA算子均
为它的特例．
2 诱导有序加权平均的组合预测模型
设某社会经济现象的指标序列的观察值为 ，t=1，2，⋯，Ⅳ}，设有m种可行的单项预测
方法对其进行预测， 为第i种预测方法第t时刻的预测值(或拟合值)， =1，2，⋯，m，t=1，
2，⋯ ，Ⅳ．
令口 ：{ 一。 t一 ) t。’ 。 t一 t。< ， ：1，2，⋯，m，￡：1，2，⋯，Ⅳ L
O， 当I( 一 )／ I≥1时，
则 口 表示第 i种预测方法第t时刻预测精度，显然口 ∈[0，1]．把预测精度口 看成预测值
的诱导值，这样第t时刻m种单项预测方法预测精度和其对应的预测值就构成了m个二维数
组
(口1 ， 1 )，(口2 ， 2。)，⋯，(Ⅱ ， )
设 =(tt，。，tt，：，⋯，tt，，，．)T为各种预测方法在组合预测中的有序加权平均向量，将 lr1种单
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第 1期 陈华友，等：诱导有序加权平均的组合预测模型及其应用 3
项预测方法第t时刻预测精度序列口 口 一，口 按从大到小的顺序排列，设口一index(it)是第
t时刻第 i个大的预测精度的下标，根据定义 2，令
IOWA((口 ，Xlt)，(口 ，X2t)，⋯，(口 ， ))=∑ 。 。一 ( ) (1)
则式(1)称为由预测精度序列 n n -．，n 所产生的诱导有序加权平均组合预测值．
显然式(1)和传统的组合预测方法根本区别在于组合预测的赋权系数与单项预测方法无
关，而是与单项预测方法在各时点上的预测精度的大小密切相关，这就是新的诱导有序加权平
均组合预测的特点． ‘
令 ea-i )= 一Xa-i (∞，于是 』v期总的组合预测误差平方和F为
Ⅳ m m m N
F= ( 一∑Wi )) = Wi (∑e。一 ( 。一 ))
因此新的诱导有序加权平均组合预测模型可表示成如下模型
min F(wt， ，⋯， )= (∑ea-i (il)ed一 ( ))
I l J ‘ l=1
f ， (2)
【 ≥0
，
： 1，2，⋯ ，m
令E =∑ea- )e ( )，i,j=1，2，o o o，m，则称E=( ) 为111阶诱导有序加权平
均组合预测误差信息矩阵，因此式(2)可表成矩阵形式
min F(W)= E
= (3)
LW ≥ 0
其中R=(1，1，⋯，1) ，W =( 1， 2，⋯， ) ．
式(3)实际上是一个二次规划，可以利用 Kuhn—Tucker条件 将其转化为线性规划或直
接用现成的matlab最优化工具箱来求解．
3 股票价格预测模型的实例分析
下面以全兴股份的2004年2月25日至2004年3月9日的共 1O个交易日股票实际收盘
价为例，说明该模型的应用．假设p 表示该种股票第t天的实际收盘价，现有三位专家对股票第
t天的收盘价进行预测，设 P 表示第 i个专家对该股票第t天的价格预测值，i=1，2，3，t=1，
2，⋯，10，具体数据见表 1．
表 1 股票实际收盘价和专家对股票价格的预测
实际收盘价 p。 6．78 6．65 6．78 7．07 7．46 7．03 7．00 6．94 7．02 6．87
专家一预测值 p2。 6．50 6．59 6．73 6．80 6．93 7．18 7．23 7．15 7．15 7．10
专家二预测值 pl。 6．72 6．83 6．95 6．91 7．19 7．38 7．17 7．23 7．08 6．95
专家三预测值 p 6．80 6．78 6．80 6．95 7．25 7．36 7．15 7．08 7．10 7．20
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4 安徽大学学报(自然科学版) 第 29卷
3．1 专家的权系数的估计
设第 i个专家的权系数为W ，i：1，2，3，权系数的大小体现专家预测的准确性程度。传统
组合方法就是对三位专家取固定权系数进行加权算术平均得到第 t天的股票价格估计值P 为
3
P ：∑w~Pit (4) t 4
式(4)的特点是第 i个专家在任何时刻的权系数均为W ，然而就某专家而言，他在有些时刻预
测准确性较高，而在另一些时刻预测准确性较低，为此利用诱导有序加权平均组合预测模型来
进行预测．令
口 ：1一I P 一P I／P ，i=1，2，3，t=1，2，⋯，lO
则 口 表示第 i个专家对该股票第 t天收盘价预测的精度，口 越大表明第 i个专家预测效果越
好，三位专家预测精度的计算结果见表2．
表2 三位专家预测精度
预测精度 aIt 0．9578 0．9910 0．9926 0．9618 0．9290 0．9787 0．9671 0．9697 0．9815 0．9665
预测精度 a2。 0．9912 0．9729 0．9749 0．9774 0．9638 0．6502 0．9757 0．9582 0．9915 0．9884
预测精度 a3。 0．9971 0．9805 0．9971 0．9830 0．9718 0．9531 0．9786 0．9798 0．9886 0．9520
设 为诱导有序加权平均组合预测值，则
3
； ：IOWA((口 Pl s)，(口 ，P2s)，(口3 ，P3,))：∑ index ：1 2一，10 (5)
其中a—index(it)是第 t时刻第i个大的预测精度的下标，Wi为有序加权平均权系数， ：1，
2，3．将表 1和表 2的数据带人到式(5)中计算得
10
：
1
：IOWA((口11，P )，(口z ，Pz )，(口3 ，P3 ))：
IOWA((O．9587，6．50)，(O．9912，6．80)．，(O．9971，6．72)：
6．72w1+6．80w2+6．50w3
同理
P 2= 6·59Wl+6·78w2．+6·83 3，
3
； =6．95w +6．91wz+6．80ws，；
； =7．18w +7．36wz+7．38ws，；，
：7．08w1l+7．15wz+7．23ws，；
；1。：6．95w1+7．1Ow2+7．20w3
= 6．80w1+6．73w2+6．95w3，
= 7．25w1+7．19w2+6．93w3，
= 7．15w1+7．17w2+7．23w3，
： 7．08w1+7．1Ow2+7．15w3，
设F(w ，W ，W，)为股票收盘价的诱导有序加权平均组合预测误差平方和，则
10
F(w ，W2 s) (
0．1375w +0．3627w；+0．8788w；+0．3870w1W2+0．5850w1W3+1．0396w2W3
从而可得如下最优化模型
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第 1期 陈华友，等：诱导有序加权平均的组合预测模型及其应用 5
rain F(W1，W2，W3)=0．1375w +0．3627w；+0．8788w；
+0．3870w1W2+0．5850w1W3+1．0396w2W3
． 』 ·+ + 3 ，
tw1≥ 0，W2≥ 0，W3≥ 0
利用Matlab最优化工具箱计算得诱导有序加权平均的组合预测模型的最优权系数为
Wl = 1， =0， =0
为了反映本文提出的诱导有序加权平均的组合预测模型的有效性，选择下列以下两个误
差指标评价预测效果：
N ． N
(1)平方和误差SSE=∑( 一X t) ；(2)平均绝对百分比误差MAPE= 1∑l( 一
) J．其中 为指标序列第 时刻的实际观察值， 为某种预测方法第 时刻的预测值，^r表
示样本数量，t=1，2，⋯，Ⅳ
按上述两个误差指标分别计算三位专家预测误差和诱导有序加权平均的组合预测误差，
结果见表3．
表3 预测效果评价指标
从表3可以看出，诱导有序加权平均的组合预测的两个误差指标值均明显的低于三位专
家预测误差指标值，从而表明本文提出的组合预测方法能够有效地提高预测精度．
3．2 预测区间上股票价格的多步预测公式
令
1 r一1
( )= ∑口 (Ⅳ一t)，T=1，2，⋯，N
‘ l U
则 ( )表示第i个专家以第Ⅳ天作为起点(这里N=10)，在过去的 天内对该股票价格预
测的平均精度， (T)的大小体现了第i个专家在这 天内对该股票价格的把握程度，石 ( )
越大表明第i位专家在过去的 天内预测效果越好，根据预测连贯性的原则可以推测各位专家
在未来的第k+ 天的对股票价格预测精度与其过去的 天内对该股票价格的平均预测精度
保持一致，因此第Ⅳ+ 天的股票价格诱导有序加权平均的多步组合预测模型为
P
：
N+r
= IOWA(( 。( )，p·．．v+ >，(a2( )，P2,N+r)，(a 3( )，P3,N~r))=
3
∑Wlp (r)一 ，出(i)．(．v+r)，T=1，2，⋯
其中-6(T)一index(i)表示 (T)， ，(T)， ( )中第i大下标．
因为 =1， =0， =0，所以多步组合预测模型的直观意义是：把过去的 天内对
该股票价格预测的平均精度最高的那位专家的第Ⅳ+’ 天的股票价格预测值就作为这三位专
家的组合预测值．同时要注意的是， (T)随时间T的变化而变化，平均预测精度最高的那位
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6 安徽大学学报(自然科学版) 第29卷
专家也是随时间T的变化而变化，而不是固定的某个专家．
参考文献：
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Combined forecasting model based on induced
ordered weighted averaging operator and its application
CHEN Hua—you ．_．CAI Zheng—gao
(1．School of Mathema6cs and Computational Science，Anhui University，Heffei 230039，China；
2．School ofEnginecring Management Science，Nanjing University，Nanjing 210093，China)
Abstract：Ordered weighted averaging(OWA)operator is a kind of information fusion meth—
od，which has been developed in recent years and used in a wide range of apphcations．An induced
ordered weighted averaging(IOWA)operator is introduced in this paper，and its$ome properties
are discussed．Then the new combined forecasting model based on induced ordered weighted avera—
ging operator is constructed．Finally forecasting of stock price is also given using this mod el，and it
shows that the mod el is effective．
Key words：induced ordered weighted averaging；operator；combined forecasting；stock price
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