第11章 公司证券定价
公司债券定价
次级债券定价
股本权证定价
可转债券定价
由于上市公司的市值存在波动性，上市公司的债券存在一定的风险。这里假设上市公司用股票价值偿还债券，因为股票价场价格具有波动性，因此债券的市场价格也存在波动性。也就是说，债券是股票的衍生工具。本章主要介绍公司债券定价、次级债券定价、认股权证定价、可转债券定价。
公司债券定价
上市公司以利润为担保发行债券，利润的主要表现形式是股票价值。如果股票价值大于到期时的债券面值，公司不会违约。股东持有股票就像持有公司看涨期权。
债券的价值
假设上市公司发行的是零息债券，债券的现值为 ，面值为 ，期限为 ，公司股票价值（又称所有者权益）为 ，公司总资产等于股票价值加债券价值。则公司价值（又称公司的总资产）为:
股票价值为：
债券到期时，如果公司价值大于等于债券的面值，公司不会违约；如果公司价值小于债券的面值，公司违约，股票价值为零。到期时股票价值为：
假设资产价值服从正态分布，股东持有股票就像持有公司看涨期权，期权的执行价格为到期时的公司债券面值 ，期限与债券的期限相同。根据欧式期权定价公式，股票价值为：
其中：
，
债券的价值为：
为了找出公司价值变化对股票价值和债券价值的影响， 和 分别对 求偏导数。
假设总资产变化1元，股票价值变化为 元，债券变化为 元，二者之和等于1， 。当公司没有负债时，资产的变化完全由股票价值的变化来承担。
因为公司股票价值与公司价值完全正相关，我们可以利用股票价值与公司价值之间的弹性系数 来求股票价值和债券价值的波动。
其中： 为股票价值的弹性系数； 债券价值的弹性系数。
例题11-1 估计债券的价值
假设公司的总资产由股票和零息债券组成，当前的总价值为150，年波动率20%。零息债券的期限为5年，面值为100。无风险利率为5%。计算债券到期后股票价值的波动率和债券价值的波动率。
解：根据看涨期权定价模型，债券到期后公司股票的价值为：
其中：
，
债券的价值为=：
股票价值的波动为：
债券价值的波动为：
公司价值的波动率是股票价值和债券价值波动率的加权平均值。
从前面的例题中我们可以看到，公司价值越大，公司的违约率越低，债券的价值上升，最大值为债券的面值，股票的价值也上升；公司的价值越小，公司违约的概率越高，债券的价值下降。
股票持有人是看涨期权的多头，而债券持有人是看涨期权的空头。股票价值随公司价值波动率的增加而增加，债券价值随公司价值波动率的增加而减少。
债券的预期损失
前面把债券的价值定义为公司的价值减去看涨期权的价值，可以求出债券的当前价值，具有明显的经济意义。根据看涨期和看跌期权平价关系，我们可以求出债券违约损失。看涨和看跌期权平价关系为：
其中： 表示公司价值，等于股票价值加债券的现值； 表示公司看涨期权的价值，也就是公司的股票价值 ， ； 表示公司看跌期权的价值， 。
看跌期权的价值可以写成下列形式
债券到期时，如果公司价值低于债券的面值，残值为
称为债券的预期补偿价值。债券到期时的预期损失为：
看跌期权价值的经济意义是，当债券到期时，债券违约损失的现值乘以违约概率 。
当公司价值波动率上升时，债券的违约损失和违约概率上升，而债券的价值下降。
例题11-2 计算债券的预期损失
假设公司当前的价值为150，年波动率为20%。公司有两种融资方式股票和债券。债券的面值为100，期限为5年。股票不支付股息，无风险利率为5%。计算风险中性违约概率、违约预期损失现值、公司债券的价值和公司股票价值。
解：5年期零息债券的现值为：
因为
违约时预期补偿价值为：
违约时预期损失为：
违约时预期损失的现值乘以违约概率:
公司债券的价值为：
股票的价值为：
这里计算出的股票价值与前面的例题一致。
风险债券是无风险债券和股票的组合
根据看涨和看跌期权平价关系，债券定价公式写成下列形式。
首先我们合并同类项，并且用 代替 ，可以发现更多的经济意义。
移项分离出债券价值，得到：
公式中，风险债券由两部分组成，一是无风险债券，比例为 ，二是公司股票，比例为 。
例题11-3 风险债券的组合
假设公司当前的价值为150，年波动率为20%。公司有两种融资方式股票和债券。债券的面值为100，期限为5年。股票不支付股息，无风险利率为5%。构建公司债券，使公司债券的价值等于无风险债券和公司股票价值的组合。
解：我们知道股票的价值为 ，公司债券的面值为 。另外， ， 。公司债券的价值为：
因为无风险债券的构成比例为：
其中公司债券的违约率为 。公司债券的违约率越高，公司债券中无风险债券的比率越低，风险资产股票的比率越高。当违约率等于1时，公司债券的风险与公司股票的风险相同。
次级债券定价
当公司破产时，公司的残值按债权人的优先级别顺序支付，首先支付级别最高的债权人，然后支付级别较高的债务人，最后支付级别较低的债务人。有些债务人就根本得不到破产公司的残值。
为了给公司债券定价，我们假设公司价值和波动率是已知的。公司将要发行三种零息债券，债券的编号分别为1、2、3，债券的级别依次降低。债券的市场价值分别为 、 和 。债券的面值分别为 、 和 。债券的到期时间为 。股票的价值等于看涨期权的价值， ，标的资产为公司价值 ，执行价格为债券面值 。公司债券 的市场价值为：
高级债券的持有人相当于持有公司价值的多头和看涨期权的空头，看涨期权等于所有者权益，归股东所有。
中级债券持有人享有公司价值减去高级债券的市场价值， ，持有看涨期权的空头，看涨期权等于股票价值，归股东所有。中级债券的市场价值为：
次级债券持有人享有公司价值与高级债券和中级债券市场价值差额的多头， ，和看涨期权的空头。
例题11-4 次级债定价
假设公司价值为120，预期收益率为12%，波动率为20%。公司有三种发行在外的零息债券，期限为5年，无风险利率为5%。3种债券的级别依次下降，面值分别为50、40和30。计算三种债券的市场价值、预期收益率和波动率。
解：(1)高级债券定价。高级债券相当于持有公司支持的多头和看涨期权的空头，期权的执行价格为50，到期时间为5年。看涨期权的价值为：
其中：
高级债券的发行价值为=。
根据资本资产定价模型，高级债券的预期收益率为：
其中：
债券的波动率为%，高级债券的波动率很小，几乎为无风险债券。
(2)中级债券定价。对于中级债券，持有人拥有支付了高级债券面值后的公司残值多头，和执行价格为90的看涨期权空头。看涨期权的价值为：
其中：
中级债券的发行价值为=。
根据资本资产定价模型，中级债券的预期收益率为：
其中：
债券的波动率为%，中级债券的波动率大于高级债券的波动率。
（3）次级债券定价。对于次级债券，持有拥有支付完高级债券和中级债券后公司残值的多头，和执行价格为120的看涨期权空头。看涨期权的价值为：
其中：
次级债券的发行价值为=。
根据资本资产定价模型，次级债券的预期收益率为：
其中：
债券的波动率为%，次级债券的波动率最高。
表11-1 次级债券定价结果表
债券发行 面值 减去债务之
前公司价值 看涨期
权价值 债券价值 市场权重 收益率
（%） 波动率
（%）
高级债券 50
中级债券 40
次级债券 30
债券合计
股票价值
资产总计
加权平均
（4）计算股票的价值。股票的价值等于公司按面值支付所有债券后看涨期权的价值，股票的价值为,权重为.
计算出的股票收益率为：
波动率为：
表13-1列出次级债券定价结果。
对于付息债券，债券的市场价值 、 和 等于债券的现值，可以用类似的方法为付息债券定价。
股本权证定价
权证与期权的区别
期权是由证券交易所发行的，权证是由公司发行的，期权和权证的定价方法完全一样。权证与期权一样有看涨权证和看跌权证，有美式权证、欧式权证和百慕大权证。认股权证有两大类：股本权证（Equity Warrant）和衍生权证(Derivative Warrant)。衍生权证是香港交易所的称呼，在国际上又称备兑权证（Covered Warrant）、合成权证 (Synthetic Warrant) 或第三方权证(Third Party Warrant)。
股本权证是由上市公司发行的。股本权证必须进行股票交割，股票交割后会增加股票数量，稀释每股利润。衍生权证的发行人与标的资产的发行人没有任何关系，衍生权证一般由投资银行发行，标的资产可以是股票、债券、股指、汇率、商品等。衍生权证既可以进行标的资产交割，也可以用现金交割。
股本权证出现早于衍生权证，早在1911年美国电力公司就发行股本权证。20世纪60年代，许多美国公司利用股票权证为企业并购融资，德国无论从交易量还是交易额都居世界首位。70年代上市公司为了吸引投资者购买债券，在发行债券的同时赠送股本权证。由于美国有完善的股票市场和期权市场，权证市场并不发达，最发达的权证市场是欧洲、非洲和中东。
在香港地区首只股票权证在1973年发行，首只衍生权证在1989年发行。2005年11月28日，港交所就批准建设银行发行衍生权证，并允许于12月5日挂牌交易。港交所批准发行第一天，发行商就推出24只衍生权证，其中22只是看涨权证，2只是看跌权证。在香港地区交易的衍生权证是股本权证的20倍，平均每只H股和红筹股就发行40只衍生权证。由于期货和期权是标准化合约，而权证是非标准化合约，从全球角度看期货和期权的交易额都大于权证的交易额。
1992年6月上海证券交易所开始交易权证，由于过度投机，极大地伤害了普通投资者的利益，1996年6月停止交易。2005年8月22日，宝钢发行衍生认购（看涨）权证，2005年11月23日武钢发行衍生认沽（看跌）看跌权证。截止2007年底中国大陆共发行41只权证，其中认购权证23只，认沽权证18只，其中股本权证13只，衍生权证28只。由于权证交易不需要交纳印花税和过户费，2006年境内权证交易额超过香港地区跃居世界第二位，2007年交易额达到75872亿元。2007年6月日均换手率达到%。
(1)宝钢认股权证发行
2005年8月22日，宝钢发行亿份看涨权证，期限为374天，从2005年8月18日到2006年8月30日，执行价格为元/股，权证价值为元/股。标的股票的波动率为%，无风险利率为%（参考7年期国债利率），标的股票的当前价格为元/股（2005年8月18日收盘价）。
2006年8月30日宝钢股份股票的到期价格为，低于执行价格，权证投资者损失全部权证费。
(2)中信国安权证与债券捆绑发行分开交易
上市公司为了降低转换债券的发行成本，吸引投资者购买转换债券，把转换债券与权证捆绑发行，在二级市场分开交易。2007年9月14日，中信国安公司发行转换债券，面值为100元，债券的期限为6年，权证的期限为2年。原股东可优先申购该公司的转换债券，申购数量为其在股权登记日在册的股份数乘以元，再按100元1张转换成张数。
网下发行转换债券票面利率的询价区间为%至%，具体报价如下：当申购票面利率高于或等于%，低于%时，有效申购金额为200万元；当申购票面利率大于等于%，小于%时，有效申购金额为300万元；当申购票面利率大于等于%，小于%时，有效申购金额为400万元；当申购票面利率大于等于%，小于%时，有效申购金额为500万元；当申购票面利率等于%时，有效申购金额为600万元。级差为50万元。转换债券的低利率，由无偿赠送的权证来弥补投资者的损失。
股本权证定价
为了募集资金，上市公司有时发行认股权证。与衍生权证不同，到期后认股权证持有者按执行价格购买公司股票。认股权证执行时会增加股票的数量，如果公司的资产价值不变，会稀释当前股票的价值。
假设在权证执行前股票的总价值为 ， 表示股票的发行数量，每股价格为 。假设 表示发行在外认股权证的总价值，认股权证的数量为 ， 为每份认股权证的价值。假设公司只有两种融资渠道，发行股票和认股权证,权证的有效期为 ，认股权证在有效期内股票不派息。假设公司总价值 对数收益率服从正态分布，标准差为 。权证的总执行价值为 ，每份权证的执行价格为 。权证执行后，股票的价值被稀释，稀释因子为：
假设权证到期时公司的价值为 ,如果认股权证盈利，权证持有人会执行权证，支付现金 ，公司的总价值变为 ，权证持有人获得公司总价值的 ，即 。权证的终值可表示为：
或者
权证的终值类似欧式看涨期权的终值，看涨期权的标的资产为 ,收益率服从正态分布，执行价格为 。认股权证的当前价值为：
其中：
每份权证的价值等于 。
例题11-5 认股权证定价
假设公司首次公开发行股票2000万股，发行价格为40元，股票不派息。同时给员工500万份欧式认股权证，执行价格为35元，期限为5年，员工不交纳期权费。股票和权证是公司融资的两个唯一来源，认股权证持有人可以凭一份权证购买一股普通股股票。无风险利率为5%,公司收益率的标准差为20%。计算认股权证的价值。
解：如果执行认股权证，将稀释每股资产，稀释因子为：
权证持有人收到公司价值的20%，80%归普通股股东。
执行权证时，权证持有人支付的总金额为：
权证执行前，公司的总价值为：
权证的总价值为：
其中：
权证的总价值为57,275,416元，每份权证元。
可转债券定价
普通债券发行人向持有人承诺在有效期内，定期支付债券利息，到期后还本支付最后一次利息。与普通债券不同的是可转换债券到期后，债券的持有人放弃债券的面值，转换成公司的普通股票。可转换债券也有违约风险。可转换债券相当于一种风险资产转换成另一种风险资产的交换期权。
为了定价可转换债券，我们假设公司只有两种融资渠道：发行股票和债券。股票的价值为 ，发行股票数量为 。可转换债券的市场价值为 ，可转换成 股。则公司的总价值为 ，总价值的对数收益率服从正态分布，标准差为 。为了方便起见，假设债券为折价债券，总面值为 ，债券收益率为 。
可转换债券的持有人是否把债券转换成股票，取决于转换后每股价值是否大于转换之前的每股价值。即
不等式左边第一项表示转换后每股价值，左边第二项表示转换前每股价值。到期后债券持有人不要求支付现金，只要放弃债券面值就可以获得价值更高的股票。
把不等式两边同时乘以 得到 ， 其中: 为稀释因子。可转换期权的价值相当于标的资产为 、执行价格为债券的面值 的欧式看涨期权。可转换期权到期时的终值为 。可转换期权的价值为：
其中：
可转债的持有者相当于持有债券的面值和欧式看涨期权，减去看跌期权的价值，看跌期权的价值等于债券违约损失。可债券的价值为：
例题11-6 可转债定价
假设公司当前发行在外的股票数量为200，总价值为6000，波动率为20%，收益率为12%,股票不派息。公司的可转换债券的面值为3000，期限为5年，可转换的股票数量为100。无风险利率为5%。计算可转换债券的价值、股票价值、股票和债券的总价值。
解：已知参数 ， ， ，
（1）计算可转换债券的价值、收益率和波动率
其次计算看跌期权的价值。因为：
因此看跌期权的价值为。
然后计算转换期权的价值。
因为稀释因子为 ，
因此可转换看涨期权的价值为。
因此可转换债券的现值为：
公司价值的波动越大可转换债券的价值越大，股票的价值越小。
为了计算可转换债券的收益率和波动率，我们首先计算债券的 和 。
可转换债券的收益率为：
可转换债券的波动率为：
（2）计算股票的价值、收益率和波动率
普通股的价值为:
每股价值为：
股票的 和 分别为：
股票的收益率为：
股票的波动率为：
（3）计算折价债券的价值、收益率和波动率
如果公司发行的不是转换债券，而是普通折价债券，则普通折价债券的当前价值为：
普通债券的 和 分别为：
普通折价债券的收益率为：
普通折价债券的波动率为：
可转换债券定价结果列于表11-4中。
表11-4 可转换债券定价结果
本章小结
股东持有股票就像持有公司看涨期权，期权的执行价格为到期时的公司债券面值。
债券价值等于公司价值减去看涨期权的价值。债券的价值等于债券的现值减去看跌期权的价值。
次级债的价值等于公司价值减去高级债券价值和股票价值。
可转债的价值等于债券的现值减看跌期权的价值，加上转换期权的价值。
