第 23卷 第 5期
Vo1．23 NO．5
周口师范学院学报
Journ~1 of Zhoukou Norma1 University
2006年 9 J J
Sept．2006
股价指数的设计分析研究
王 亮 ，赵培标
(1．南京理工大学 国际交流学院；2．南京理工大学 应用数学系，南京 210094)
摘 要：研究了股票价格指数的设计及机理分析，给出某些有趣的结论．
关键词 ：股票价格 指数 ；P(1J)氏指数 ；能力指 数；弹性分析 ；风 险测度
中图分类 号：F22 文献标识码 ： A 文章编号 ： 1 671—9476(2006)05—0034—04
股票价格指数系指以指数法测算股票价格的一
种方法，是投资分析者最普通、最广泛应用的一种方
法．股票价格指数(简称“股价指数”)概念的提出旨
在解决衡量股票行市的变化问题，其本质是以平均
值的变化来描述整个股票市场的变化．目前 ，全世
界有多种股票指数，孰优孰劣 ，委实难 以评判．股价
指数，具有如下一些特征uj：
(1)具有代表性和敏感性．其一系指以样本股票
来计量股价指数；其二系指股票价格的升降．为了
更好地反映股价变动，有些指数 以整天交易的价格
变化来平均计算，如美国的道 ·琼斯股价指数，以每
分钟的价格变动来计算．
(2)共同性即任意指数都具备的特征．如反映股
价的波动及程度，从中折射出一国经济、政治的变化
发展情况．故又有“晴雨表”、“指示器”的称谓．
(3)编制程序的规范一致性及总趋势的同向性．
其基本原理则缘于不同时点值之比，其既非相对量
值之比，也非绝对量值之比．因之，股票价格指数旨
在反映变化的过程而无法以指数大小来体现经济发
展的水平或对经济发展作出多大贡献．
从世界上几种有代表性的股指构成来看，其基
本构 成原理均是 以意大利统计学 家拉斯贝尔
(Laspeyres)提出的 I 氏物价指数模型为基础．而标
准普尔指数则以法国统计学家派洵(Passche)提出
的P氏物价指数模型为背景来构建的 ．无论 L氏
指数还是 P氏指数，其无一例外地都是一种静态的
物价指数模型．另一方面，由于该类模型是 以绝 对
量价格来构建的模型，显然缺乏无量纲化的属性．这
必然导致因行业的不同而使得股价被人为产生差异
或异化，而非以经营业绩论成败．而且其因受单位量
纲的制约，使得这种指数模型不具有不变性及可比
性 ．
有鉴于此，以相对的无量纲因素来构筑相应的
指数模型则成为一种必然．本文作者之一曾就物价
指数模型的构建给出过初步的研究，这里考查的则
是股票价格指数的构建与分析问题，所得结论具有
一 定的理论价值和实际意义．
1 I 氏(P氏)指数模型构建原理
假定 (1，2，⋯，”)为股票组合，其对应的基期股
票市场价格为(Pl ，P ，⋯，P )，报告期的股票
市场价格为(P 川 ，P；抖”，⋯，P ”)以及基期的
股票数量和报告期的股票数量分别为( ，Q ，
⋯
，Q )与(Q{川’，Q5川 ，⋯，Q ”)．据此，定义
L氏和 P氏指数如下 ：
L 一 ， ㈩
P 一 ．
式(1)与(2)是人们熟识的，它表征的是两期绝对量
因素价格的对比问题．如前所述，它仅能反映出价格
下降或上涨的变动情势，却不能反映出变动的程度．
正因为如此 ，它不具有可 比性 ，尤其是不具有横向可
比性．基于此，这里将式(1)、(2)加以修正，使其具
有可比性 ，并给出其应有的本质特征．现记股票数量
收稿 日期 ：2006—02—26；修回 日期 ：2006—04—24
基金项目：国家自然科学基金资助项目(No．70572024)；南京理工大学科研发展基金资助项 目(No．AB96137)
作者简介：王 亮(1 976一 )，女。博士．副教授，主要从事数量经济学研究．
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第 23卷 第 5期 i 亮，等：股价指数的设计分析研究 35
和股票价格 的纰合为阳量的彤式(取 是一0)，即为如
下的 表达 ：
P ’一 (P ，P ，⋯ ， )，
Q = (Q ”，Q； ．⋯，Q⋯ )，
P“”= (vl 。P ，⋯ ，P )，
Q“”= (Q ，Q ，⋯ 。Q )，
那么 ，有阳景式的 L氏和 P氏指数公式如下：
一
∑P⋯Q⋯
一
P ’·Q“”
“ P⋯Q⋯ P“”·Q“”
l P l COS 0 0)
P“”l COS f(J'0)’
，
，
一
． ㈦ L 一—] ‘
式(6)对J直着股票价格的变动率，权且称其为动态
股票价格指数．类似地 ，呵以定义 P氏股票价格指数
如下 ：
一
． ㈩
另一力。 ，I】『定义整体股票价格指数为
一
． ㈣ ¨ 一 而 ’
(3) 另外
，定义理想股票价格指数为
D 一 P⋯Q⋯ 一 P“’·Q“’
‘ P Q ” P ·Q
l P‘” l COS 1) ，1、
一 T ’ ¨
其中 COS ，，(i，j一0，1)表示向量问的夹角余弦．
首先假定股票成交量向量固定是指成交量之比，即
通常所说的“量 比”．
式(3)及(4)表明如下 的结论成立．
结论 1 式 (3)表征：报告期股票价格指数 L
只 与报告期股票量 比有关 ，而与每只股票具体的基
期成交数量无关；式 (4)说明 ：股票价格指数 P 只
与报告期股票量比有关 ，而与每只股票具体的报告
期成交数量无关．
注 结沦 1与人们通常的认识是不同的．熟知
的事实是股票市场上只要有成交量 ，股 票价格指数
就会上涨或下降，而结论 1给予人们的却是另一种
答案．
由式(3)和(4)可得到下面的结论．如果人们能
根据成交数量确定出夹角余弦，同时推测出股指的
变动幅度 ，那么报告期的股价则完全可推算 出来．换
言之 ，有
结论 2 “量升价增 ，量降价也降”的股市“原
则”是不成立的(两者并不一致 )．在股指 L ，P 保
持平稳的过程中，即股指 L ，P 可预测时，再假定
股票 A 以外的其他股票价格变化很小 ，如果能针对
A股票调配好向量夹角的余弦值，那么股票价格的
升降便可大体上给出一个范围．
结论 3 两种股价指数 L ，P 问的关 系可表
示如下 ：
l p一 ~／Lp'P P，
Ⅱ假定量比为 ，即是说，Q“’／Q ’一 ．显然 ，有
L =I =Pn而n，通过一个直接的计算可知下面
的定理成立．
定理 1 假定上述条件成立，那么有 T 一 J ．
下面考虑某一种股票对指数的贡献大小 问题．
为了方便起见，这里仅对 I 氏指数进行讨论且假定
股票问关联 系数为零 ，P 氏指数类 比可得．利用式
(3)，有
3LP
一 (P㈨’·Q ’)P ¨ 一(P¨ ’·Q ’)Pl∞
Q⋯ (P∞’·Q ’) ’
如果对某成交量 Q股票指数达到局部极值，此
时，考查某 一种股票 的成交量 Q ，则有如下 的结
论．
定理 2 如果股票指数 L 达到局部最大值或
最小值．那么有如下结果：
(P ’·Q¨ )P：¨ 一 (P¨ ·Q∞ )P： ．
就是说，
P：”
一
P“ ·Q㈨
P P ·Q∞
换 言之 ，任意一种股票 i的未来价格与现价之 比均
等于 L
关于股票价格的预期问题可参考文献[4]，此不
赘述．
类 比，可以考查 I 氏与 P氏指数 的外在平均问
题．事实 L，对 L ，P 指数的基期成交量 与报告期
的成交量进行权数的综合分析，可 以构建如下 的内
在股票价格指数模型：
、
p： ：[ ± 二 ] rq1
(5) 一 干可 ’
这一等式关系意味着两种股票指数的相对变化只与
投资者的投资取向即 ，，(i，j一0，1)有关．
2 动态 I 氏(P氏)股票价格指数模型构建
令 fJ， 一 L 一1，那么有
其中 0≤ a≤ 1，且 a一 0，P— LP；a一 1，P— PP．
注 式(9)综合了每种股票对应要素的变化，
又综合 'r整个股票市场的共 同作用．它是局部与整
体的累次综合分析．而理想股票价格指数则是反映
大范围平均股票价格变动情况 ，其在时间上的问隔
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相对较大 ，故而很难与实际情况相配合．借助式(9)
可以得到动态股价指数 ：
D ，
一 (P¨ ’一P ’)·[口Q ¨+(1一口)Q∞’]
P ’·[口Q“’+(1一口)Q ’] ’
(10)
其次，可有：p= L +(1一 )P ；p =儿 +
(1一 )P ．
从股票价格指数角度来说 ，式(10)比理想股价
指数要广泛的多．由于其在性态上是趋势性的且动
态的 ，故而其作用远 比此前 的指数更能说明股票市
场的波动情况．
3 股票价格指数上涨的总体规律性分析
考查式(9)关于 a的导数，有
dP
一
一
P“” ㈩ )[等 一p]
P ’·[口Q“ +(1一口)Q∞’]
取驻点如下 ：
(1)P ’·(Q“’一Q ’)一 0；
f2 P： ： ：： ： ：二 ：：：
P‘ ·(Q‘”一Q 。’)
对于(1)而言，只要成交量 的改变量 向量与基
期的股票价格向量正交，那么股指总会处在高位．即
有下面的结论 ．
结论4 用很小的成交量就可使得股指在高位
运行；较大的成交量也可能让股指在低位徘徊．换
言之，成交量决定股指论是缺乏科学依据的；相反的
是只要选取适 当的成交量向量 ，股票价格指数总会
被人为的操纵．
另一方面，考虑情形(2)，直接的计算可知
． ： 二 ：：：：[ ： ：二 ：：：
d口 P∞’·[口Q ’¨+ (1一口)Q∞’]
由此不难得到
定理 3 如果股价指数因成交量而增长 ，则股
票价格指数总体上是加速下降的．换言之，当股票价
格上涨到一定的程度后必然下降．就是说 ，股价上涨
总是趋缓的，且以[L ，P ]为股票价格波动区间．
现假 定 股 票 价 格 与 成 交 量 的 关 系 为 P ：
厂(Q)．为了方便，仅考查一种股票的投资收益情
况．假定收益 函数为 R — A(t)F(P，Q)．记 ：
X，那么有
dR
= F(P，Q)dA ．raF dP OF dQ]，
一R 一A 十 Sp 十 ’
： 攀m：警删一⋯与成
交量的分配率．由此可以讨论固定收益的投资规模
问题，详细内容可参考文献[3]．因为Q与P的关系，
有
定理 4 投资收益对成交量的弹性为
十 5p 十 50~
假定技术成分对成交量的反应是迟钝 的，那么又有
面ER 器+SO．进一步地，女口果能在一定的范围
内控制股票价格对成交数量的弹性大小，那么，收益
的成交量弹性便可确定．
众所周知，弹性分析在管理科学中特别在会计
学中又表现为杠杆效应，换句话说 ，弹性就直接表现
为风险．弹性的大小表征了风险的高低．因此，准确
而完备的弹性分析，对于风险度量和风险的防范有
着及其重要 的意义．
下面利用经营杠杆分析的已有成果，对股票指
数的未来波动规律给出相应的预测算式，并结合杠
杆算式本身，给出更为广泛和精细的风险度量算式．
因为 ： (Q)'那么有女口下的
定理 5 投资收益对成交量的弹性又可表为
历ER—s 罟厂 (Q)+ ．
假定D 一器，且称其为收益对成交量的经
营杠杆．记报告期 的投资收益为 R ，则根据经 营杠
杆 的定义不难知道：R =R(1+D L X r)，其 中R，
r分别为基期收益和成交量增长率．现取股票指数
按式(10)即下式变化 ：
，
一 (P¨ 一P∞’)·[口Q ’¨+ (1一口)Q∞ ]
P∞’·[口Q“’+(1一口)Q∞ ] ’
视收益为指数，并定义指数对成交量 的弹性为
DOL ，那么有如下的
定理6 假定成交量的增长率是 r，现在市场股
票价格指数为 P。，令未来市场股票价格指数为 P ，
那么 P1一 P。(1+DOLl X r)．
假定股票投资资金系自有资金 S和债务 D两
部分组成，并令 D／S— T，即债务与自有资金的比
率．利用文献[5]、[6]的有关经营杠杆拓展的基本
原理和方法 ，有
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第 23卷 第5期 王 亮，等：股价指数的没计分析研究 37
定理 7 对报告期的股票价格指数的判断可以
基于下面的广义经营杠杆 ：
IX)I．。一 IX)I．。r1+T(1一Z)]， (13)
其 中 z为 交 易 税 率 ．假 定 D L 一 DOL ，
T(1一z)IX)L。一EK)L，分别称其为投资管理风险和
财务风险．显然，投资风险可以按此分解为管理风
险和财务风险．换言之 ，有
定理 8 DOL。一 DOL+册 L．
= =：= == 一
当连续观察 走个投资期的股票指数的变动情况
时，可推知如下的
定理 9 假 定第 走个 时 期 的 投 资风 险 度 为
DOI． ，那么有
IX)I． 一IX)I．。[1+T(1一z)] ． (14)
式(14)说明下面的事实：
(1)以债务的方式于股票投资，其风险比不进
行借债时的投资风险大；
(2)债务的存在，使得投资风险被不断放大；
(3)对与债务结构不一致的投资主体，即便其
对应的投资风险是相同的，但投资者对于股票价格
指数的预期也会因债务结构的差异而不同．
参考文献 ：
[1]徐国祥．证券投资分析I-M]．上海：上海三联书店，1997．
I-2]黎诣远．微观经济分析I-M]．北京：清华大学出版社，1994．
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I-5]刘银国，赵培标．经营杠杆评注[J]．财贸研究，1999，10(4)：43—44．
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I-7]陈维桓．微分流形初步[M]．北京：高等教育出版社，1998．
Reflection and design analysis of stock price index
W ANG Liang ．ZHAO Pei—biao
(1．School of International Education，Nanj ing University of Science and Technology；
2．Dept．of Applied Math．，Nanjing University of Science＆ Technology，Nanjing 210094)
Abstract The design and intrinsic analysis of stock price index are studied in this paper．Some interesting results are also
posed． ·
Key words：stock price index；P(I )index；capability index~elasticity index analysis：risk measure
(上接 第 29页) 。
hydromagnetic flow with dissipative termsi-J]．J．P．D．E，2002，15：23—38．
[10]KONG De—xing．Cauchy problem for quasilinear hyperbolic systems with higher order dissipative termsI'J]．NoDEA，
1997(4)：477—489．
‘ M athem atical study on unsteady flows in a canal
LIU Fa—gui，NIE Da—yong
(North China Institute of W ater Conservancy and Hydroelectric Power，Zhengzhou 450008，China)
Abstract：In this paper we consider Cauchy problem for Saint—Venant system with different resistance，the existence，
nonexistence and life span of classical solution are obtained，and proper explanation of the results are given too．
Key words：unsteady flow in a cana1；Saint—Venant system；Cauchy problem；blow up
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