第二章 数学应用
一、解答技巧
1、学习和掌握新题型
2、重点掌握新变化和基本理论知识
3、在掌握方程法的基础上加强思维训练
4、学会使用代入法和排除法
5、反复练习，提高做题速度
二、基本解题思路
1、方程的思路
2、代入与排除的思路
3、猜证结合的思路
三、常见题型和基本理论知识
1、数字计算
(1)直接补数法
概念：如果两个数的和正好可以凑成整十、
整百、整千，称这两个数互为补数。
例题：计算 274+135+326+265
解：原式=(274+326)+(135+265)
=600+400=1000
(2)间接补数法
例题：计算 1986+2381
解：原式=2000-14+2381
=2000+2381-14
=6381-14
=6367
(凑整去补法)
(3)相近的若干数求和
例题：计算
1997+2002+1999+2003+1991+2005
解：把 2000 作为基准数，
原式=2000x6+(-3+2-1+3-9+5)
=12000-3
=11997
(4)乘法运算中的凑整法
基本的凑整算式：5x2=10，25x4=100，
125x4=500，625x4=2500
例题：计算
(+)/(
解：原式=(+)/(+30)
=
=1
练习：计算 ++
解：原式
=++
=++
=(25-24+51)
=
=495
(5)尾数计算法
概念：当四个答案完全不同时，可以采用为数计算法选择出正确答案。
例题：99+1919+9999 的个位数是()
解析：答案各不相同，所以可采用尾数法。
9+9+9=27
答案：7，选 D
练习：计算
()2+ ()2+()2+()2 的值是：
解析：
()2 的尾数为 1，()2 的尾数为 4，
()2 的尾数为 9，()2 的尾数为 6，
所以最后和的尾数为 1+3+9+6 的和的尾数，即 0
答案：D
(6)自然数 n 次方的尾数变化情况
例题：19991998 的末位数字是()
解析：9n 的尾数是以 2 为周期进行变化的，
分别为 9，1，9，1，……
答案：1
2n 的尾数变化是以 4 为周期变化的，
分别为 2，4，8，6
3n 的尾数变化是以 4 为周期变化的，
分别为 3，9，7，1
7n 的尾数变化是以 4 为周期变化的，
分别为 7，9，3，1
8n 的尾数变化是以 4 为周期变化的，
分别为 8，4，2，6
4n 的尾数变化是以 2 为周期变化的，分别为 4，6
9n 的尾数变化是以 2 为周期变化的，分别为 9，1
5n、6n 尾数不变
练习：19881989+19891988 的个位数是
解析：19881989 的尾数是由 81989 的尾数确定的，1989/4=497 余 1，所以 81989
的尾数和 81 的尾数是相同的，即为 8；
19891988 的尾数是由 91988 的尾数确定的，1988/2=994 余 0，所以 91988
的尾数和 92 的尾数是相同的，即为 1。
答案：8+1=9
(7)提取公因式法
例题：计算 1235x6788-1234x6789
解：
原式=1235x6788-1234x6788-1234
=6788x(1235-1234)-1234
=6788-1234
=5554
练习：计算 999999x777778+333333x666666
解一：原式
=333333x3x777778+333333x666666
=333333x(3x777778+666666)
=333333x(2333334+666666)
=333333x3000000
=999999000000
解二：原式
=999999x777778+333333x3x222222
=999999x777778+999999x222222
=999999x(777778+222222)
=999999x1000000
=999999000000
解一和解二在公因式的选择上有所不同，
导致计算的简便程度不相同
(8)因式分解
例题：
计算 2002x20032003-2003x20022002
解析：20032003=2003x10001；
20022002=2002x10001
原式=2002x2003x10001-
2003x2002x10001
(9)代换的方法
例题：计算(1++)x(++)-(1+++)x(+)
解：设 A=+，
B=++
原式=(1+A)xB-(1+B)xA=B-A=
练习：已知 X=1/49，Y=1/7，
计算 7X-3(2Y2/3+X/5)-(Y2+2X/5)+2Y2
解：根据已知条件 X=1/49，Y=1/7，
可进行 X=Y2 的代换
原式=7X-3(2X/3+X/5)-(X+2X/5)+2X
=7X-2X-3X/5-X-2X/5+2X
=5X
=5/49
(10)利用公式法计算
例题：计算 782+222+2x78x22
解：核心公式：
完全平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2
原式=(78+22)2
=10000
其它核心公式：
平方差公式：a2-b2=(a-b)(a+b)
立方和公式：a3+b3=a2-ab+b2
立方差公式：a3-b3=a2+ab+b2
完全立方公式：
(a±b)3=a3±3a2b+3ab2±b3
2、比较大小
(1)作差法：
对任意两数 a、b，如果 a-b﹥0 则 a﹥b；
如果 a-b﹤0 则 a﹤b；如果 a-b=0 则 a=b。
(2)作比法：
当 a、b 为任意两正数时，如果 a/b﹥1 则 a﹥b；
如果 a/b﹤1 则 a﹤b；如果 a/b=1 则 a=b。
当 a、b 为任意两负数时，如果 a/b﹥1 则 a﹤b；
如果 a/b﹤1 则 a﹥b；如果 a/b=1 则 a=b。
(3)中间值法：
对任意两数 a、b，
当很难直接用作差法和作比法比较大小时，
通常选取中间值 c，
如果 a﹥c 而 c﹥b，
则 a﹥b。
例题：分数 中最大的一个是
解析：取中间值 和原式的各个分数
进行比较，可以发现
除了 比 大，其余分数都比 小
答案： 最大
3、比例问题
(1)和谁比
(2)增加或减少多少
(3)运用方程法或代入法
例题：b 比增加了 20%，则 b 是 a 的多少？
a 又是 b 的多少？
解析：列方程 a(1+20%)=b，
所以 b 是 a 的 倍
，
所以 a 是 b 的
练习：鱼塘里养了一批鱼，第一次捕上来
200 条，做好标记后放回鱼塘，数日
后再捕上 100 条，发现有标记的鱼有
5 条，问鱼塘里大约有多少条鱼？
解析：方程法，设鱼塘里有 x 条鱼，
100/5=x/200，x=4000
答案：鱼塘里大约有 4000 条鱼。
4、工程问题
(1)关键概念：
工作量、工作效率、工作效率的单位
(2)关键关系式：
工作量=工作效率 x 工作时间
总工作量=各分工作量之和
例题：一项工作，甲单独做 10 天完成，乙单
独做 15 天完成，问两人合作 3 天完成
工作的几分之几？
解析：设工作量为 1，甲的工作效率为 1/10，
乙的工作效率为 1/15，两人一天完成
工作量为 1/10+1/15=1/6，3 天完
成工作量为 1/6x3
答案：1/2
练习：铺设一条自来水管道，甲队单独铺设
8 天可以完成，乙队每天可铺设 50 米。
如果甲乙两队同时铺设，4 天可以完成
全长的 2/3，这条管道全长是多少米？
解析：设乙需要 X 天完成这项工程，
由题意可得 ，解得 X=24
又乙队每天可铺设 50 米，
所以 50x24=1200 米
答案：这条管道全长是 1200 米
5、行程问题
(1)相遇问题
甲从 A 地到 B 地，乙从 B 地到 A 地，两人在途中相遇，实质上是甲和乙一起
走了 A、B 之间这段路程，如果两人同时出发，那么
A、B 之间的路程=甲走的路程+乙走的路程
=（甲的速度+乙的速度）x 相遇时间
=速度和 x 相遇时间
相遇问题的核心是“速度和”问题。
例题：两列对开的列车相遇，第一列车的车速为 10 米／秒，第二列车的车速为
米／秒，第二列车上的旅客发现第一列车在旁边开过时共用了 6 秒，则第
一列车的长 度为多少米?
解析：两列火车的速度和为 10+= 米／秒，两列火车这样的速度共同行
驶了 6 秒，行驶的距离是第一列火车的长度，即 =135 米
答案：第一列车的长度为 135 米。
(2)追及问题
两人同时行走，甲走得快，乙走得慢，当乙在前，甲过一段时间能追上乙，
这就产生了“追及问题”。实质上，要计算甲在某一段时间内比乙多走的路程。
追及路程=甲走的路程-乙走的路程
=（甲的速度-乙的速度）x 追及时间
=速度差 x 追及时间
追及问题的核心是“速度差”问题。
例题：甲乙两船同时从两个码头出发，方向相同，乙船在前面，每小时行 24 千
米，甲船在后，每小时行 28 千米，4 小时后甲船追上乙船，求两个码头相距多
少千米？
解析：甲对乙的追及速度差=28-24=4 千米/时，追及时间为 4 小时，则追及的距
离为 4x4=16 千米，即两码头之间的距离
答案：两个码头相距 16 千米。
(3)流水问题
船顺水航行时，一方面按自己本身的速度即船速在水面上行进，同时整个
水面又按水的流动速度在前进，因此船顺水航行的实际速度（简称顺水速度）就
等于船速与水速的和，即：
顺水速度=船速+水速
同理：逆水速度=船速-水速
可推知：船速=（顺水速度+逆水速度）/2；
水速=（顺水速度-逆水速度）/2
例题：小王从甲地到乙地，以为有风，去时用了 2 小时，回来用了 3 小时。已知
甲乙两地的距离是 60 公里，求风速是多少？
解析：设风速为 X，小王的速度为 Y，
根据题意得 X+Y=30，Y-X=20。
则 X=5，Y=25
答案：风速是 5 公里/时。
6、方阵问题
核心公式：
(1)方阵总人数=最外层每边人数的平方
（方阵问题的核心）
(2)方阵最外层每边人数=方阵最外层总人数/4+1
(3)方阵外层比内层一行、一列的总人数多 2
(4)一行、一列的总人数=每边人数 x2-1
例题：小红把平时节省下来的全部五分硬币先围成一个正三角形，正好用完，后
来又改围成一个正方形，也正好用完。如果正方形的每条边比三角形的每条边少
用 5 枚硬币 ，则小红所有五分硬币的总价值是多少元？
解析：设围成一个正方形时，每边有硬币 X 枚，
此时硬币总数为 4(X-1)，当变成三角形时，
硬币总数为 3(X+5-1)，由此可得 4(X-1)=
3(X+5-1)，解得 X=16，硬币总数为 60 枚
答案：小红所有五分硬币的总价值是 3 元。
7、和、差倍问题
已知不同大小两个数的和（或差）与
它们的倍数关系，求这两个数的值。
（和+差）/2=较大数；
（和-差）/2=较小数；
较大数-差=较小数。
例题：甲、乙、丙、丁 4 个数的和为 549，如果甲加上 2，乙减去 2，丙乘以 2，
丁除以 2 以后，4 个数相等，求这 4 个数各是多少？
解析：设相等的数为 x，
则甲=x-2，乙=x+2，丙=2x，丁=x/2，
由题意可得 x-2+x+2+2x+x/2=549，x=122
答案：甲、乙、丙、丁这 4 个数分别是
120、124、244、61。
8、年龄问题
一般方法：
几年后年龄=大小年龄差/倍数差-小年龄
几年前年龄=小年龄-大小年龄差/倍数差
年龄问题的核心是大小年龄差是各不变的量，
而年龄的倍数却年年不同。
例题：甲对乙说：当我的岁数是你现在岁数时，你才 4 岁。乙对甲说：当我的岁
数到你现在岁数时，你将有 67 岁。甲乙现在各有：
岁，26 岁 岁，25 岁
岁，24 岁 岁，23 岁
解析：设甲的年龄为 X，乙的年龄为 Y，
由题意可得 Y-(X-Y)=4，X+(X-Y)=67
解得 X=46，Y=25
此题应直接用代入法
答案：B
9、利润问题
核心公式
(1)利润=销售价（卖出价）-成本
(3)销售价=成本 x（1+利润率）
例题：某个体商贩在一次买卖中，同时卖出两件上衣，每件都以 135 元出售，若
按成本计算，其中一件盈利 25％，另一件亏本 25％，
则他在这次买卖中
A．不赔不赚 B．赚 9 元 C．赔 18 元 D．赚 18 元
解析：根据利润问题的核心公式， 第一件上衣成本 第二件上衣的
成本 （亏损即利润率为负），由此可得总成本为 288 元，而总销售额
为 270 元，所以赔了 18 元
答案：C
10、面积问题
(1)基本公式
三角形的面积
长方形面积 S=axb
正方形面积 S=a2
梯形面积
圆的面积
(2)基本性质
等底等高的两个三角形面积相同
等底的两个三角形面积之比等于高之比
等高的两个三角形面积之比等于底之比
(3)核心问题
解决面积问题的核心是“割、补”思
维，通过引入新的辅助线将图形分割或
者补全，得到规则的图形，从而快速求
得面积，即“辅助线法”。
例题：求下面空白部分的面积是正方形面积的几分之几？
解析：将阴影部分面积“切割平移添补”，从而变成正方形的 1/2
答案：空白部分的面积是正方形面积的 1/2
11、周长问题
(1)基本公式
长方形的周长 C=2(a+b)
正方形的周长 C=4a
圆的周长 C=2 r= d
(2)核心问题
掌握转化的思考方法，把某个图形转变成标准的长方形、正方形、圆形或其
他规则图形，以便计算它们的周长。
例题：如图所示，以大圆的一条直径上的七个点为圆心，画出七个紧密相连的小
圆。请问，大圆的周长与大圆内部七个小圆的周长之和相比较，结果是：
A．大圆的周长大于小圆的周长之和
B．小圆的周长之和大于大圆的周长
C．一样长
D．无法判断
解析：设小圆的直径从上到下依次为
d1、d2、d3、d4、d5、d6、d7
则小圆的周长分别为 c1= d1，c2= d2，…，c7= d7
c1+c2+…+c7= (d1+d2+…+d7)= D（大圆直径）
=C（大圆周长）
答案：C
12、体积问题
基本公式
长方形的体积 V=abc
正方形的体积 V=a3
圆柱的体积 V=sh= r2h，s 为圆柱底面积
圆锥的体积
s 为圆锥底面积
例题：一个边长为 8 的正立方体，由若干个边长为 1 的正立方体组成，现在要将
大立方体表面涂漆，请问一共有多少个小立方体被涂上了颜色?
解析：要求多少小立方体被染了色，只要求有多少没有被染色即可。正方体的总
个数为正方体的体积即 512，而没有被染色的体积（小立方体个数）为 216，所
以为染色的小立方体个数为 512-216=296
答案：一共有 296 个小立方体被涂上了颜色。
13、数列问题
核心公式
(1)等差数列通项公式：
(2)等差数列求和公式：
(3)等差数列中项公式：
当 n 为奇数时，等差中项为 1 项即：
当 n 为偶数时，等差中项为 2 项即： 和 ，
而
(4)等比数列通项公式：an=a1qn-1=amqn-m
例题：如果某一年的 7 月份有 5 个星期四，
它们的日期之和为 80，那这个月的 3 日
是星期几？
解析：设这 5 天分别为 a1、a2、a3、a4、a5，
显然这是一个公差为 7 的等差数列，等差
中项 ，所以 a2=2，
即第一个星期四为 2 号
答案：这个月的 3 日是星期五。
14、最小公倍数与最大公约数
(1)最小公倍数：如果一个自然数 a 能被自然数 b 整除，则称 a 为 b 的倍数，b 为
a 的约数。几个自然数公有的倍数，叫做这几个自然数的公倍数。
上一页 [1] [2] [3] 下一页
公倍数中最小的一个大于零的公倍数，称为这几个数的最小公倍数。
(2) 最大公约数：如果一个自然数 a 能被自然数 b 整除，则称 a 为 b 的倍数，b
为 a 的约数。几个自然数公有的约数，叫做这几个自然数的公约数。公约数中最
达的一个公约数，称为这几个数的最大公约数。
例题：甲每 5 天进城一次，乙每 9 天进城一次，丙每 12 天进城一次，某天三人
在城里相遇，那么下次相遇至少要多少天？
解析：求 5、9、12 的最小公倍数，5x9x12=180
答案：下次相遇至少要 180 天。
15、容斥原理（难点，作图求解）
核心公式
(1)两个集合的容斥关系公式：
(2)三个集合的容斥关系公式：
例题：某大学某班学生总数为 32 人，在第一次考试中有 26 人及格，在第二次考
试中有 24 人及格，若两次考试中，都没有及格的有 4 人，那么两次考试都及格
的人数是多少？
解析：设 A=第一次考试中及格的人数(26)，
B=第二次考试中及格的人数(24)
A+B=26+24=50，
则
答案：两次考试都及格的人数是 22 人。
16、排列、组合问题
(1)乘法原理：一般地，如果完成一件事需要 n 个步骤，做第一步有 m1 种不同方
法，做第二步有 m2 种不同方法……做第 n 步有 mn 种不同方法，那么完成这件
事一共有 N=m1xm2x…xmn 种不同的方法。
(2)加法原理：一般地，如果完成一件事有 k 类方法，第一类方法中有 m1 种不同
做法，第二类方法中有 m2 种不同做法……第 k 类方法中有 mk 种不同做法，那
么完成这件事一共有 N=m1+m2+…+mk 种不同的方法。
(3)排列问题：从 n 个不同元素中任取出 m 个(m≤n)元素，按照一定的顺序排成一
列。
排列数公式 pnm=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)
(4)组合问题：从 n 个不同元素中任取出 m 个(m≤n)元素，组成一个不计组内各元
素顺序的组合。
组合数公式 Cnm=
例题：林辉在自助餐店就餐，他准备挑选三种肉类中的一种肉类，四种蔬菜中的
二种不同蔬菜，以及四种点心中的一种点心。若不考虑食物的挑选次序，则他可
以有多少不同选择方法?
解析：挑选三种肉类中的一种有 C31 种方法，挑选四种蔬菜中的两种不同蔬菜
有 C42 种方法，挑选四种点心中的一种有 C41 种方法。
根据乘法原理，不考虑食物的挑选顺次，
C31 C42 C41 =3x6x4=72
答案：他可以有 72 种不同选择方法。
补充练习
1、若干学生住若干房间，如果每间住 4 人，则有 20 人没地方住，如果每间住
8 人，则有一间只有 4 人住，问共有多少学生?
A．30 人 B．34 人 C．40 人 D．44 人
使用代入法
答案：D
2、三角形的内角和为 180°，问六边形的内角和是多少度?
A．720° B．600° C．480° D．360°
核心公式 180°(n-2)
答案：A
3、某班有 35 个学生，每个学生至少参加英语小组、语文小组、数学小组中的
一个课外活动小组。现已知参加英语小组的有 17 人，参加语文小组的有 30 人，
参加数学小组的有 13 人。如果有 5 个学生三个小组全参加了，问有多少个学生
只参加了一个小组?
A．15 人 B．16 人 C．17 人 D．18 人
画图求解
答案：A
4、一个快钟每小时间比标准时间快 1 分钟，一个慢钟每小时比标准时间慢 3
分钟。如将两个钟同时调到标准时间，结果在 24 小时内，快钟显示 10 点整时，
慢钟恰好显示 9 点，则此时的标准时间是：
A．9 点 15 分 B．9 点 30 分
C．9 点 35 分 D．9 点 45 分
解题关键：慢:快=3:1
答案：D
5、100 张多米诺骨牌整齐地排成一列，依顺序编号为 1、2、3……99、100。
第一次拿走所有奇数位置上的骨牌，第二次再从剩余骨牌中拿走所有奇数位置上
的骨牌，依此类推。请问最后剩下的一张骨牌的编号是多少?（ ）
A．32 B．64 C．88
D．96
由题意可知，最后剩下的骨牌编号为 2n，
100 以内的是 64
答案：B
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