第8讲 斯托克斯公式、环流量与旋度
第11章 曲线积分与曲面积分
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高等数学（下册）（慕课版）
本 讲 内 容
01 斯托克斯公式
02 空间曲线积分与路径无关的条件
03 环流量与旋度
01 斯托克斯公式
3
� 定理 设L为分段光滑的有向闭曲线,Σ
是由L 张成的光滑有向曲面L 的正向与Σ 的侧符合右
手法则,
则
01 斯托克斯公式
4
或
的切向量的方向余弦.
01 斯托克斯公式
5
� 注
(2) 斯托克斯公式建立了空间曲面上的曲面积分与其边
界曲线的曲线积分之间的关系.
01 斯托克斯公式
6
(3) 斯托克斯公式也可写作:
01 斯托克斯公式
7
� 例1
解
例
计算曲线积分
�:�= 1 −�−�,�≥ 0,�≥ 0,�+�≤ 1
Dxy
Σ
n
1
1
1
01 斯托克斯公式
8
O
z
x
y
�
= 2
01 斯托克斯公式
9
� 例2
解
计算曲线积分
0 ≤�≤ 1,0 ≤�≤ 1,0 ≤�≤ 1 的表面所得的截痕,
取为平面 �+�+�=
3
2
的单位法向量 即
若从x轴的正向看去取逆时针方向.
01 斯托克斯公式
10
按斯托克斯公式,有
�
01 斯托克斯公式
11
� = − 6 ⋅
3
4 = −
9
2.
01 斯托克斯公式
12
� 例3
解
�2 +�2 +�2 = 9,�= 0, 同步习题，基
础1(1)
由斯托克斯公式
01 斯托克斯公式
13
� 例4
解
利用斯托克斯公式计算曲线积分
同步习题，
基础1(3)
01 斯托克斯公式
14
本 讲 内 容
01 斯托克斯公式
02 空间曲线积分与路径无关的条件
03 环流量与旋度
02 空间曲线积分与路径无关的条件
16
� 定理
02 空间曲线积分与路径无关的条件
17
� 定理
M0（x0，y0，z0）
M（x，y，z）
M1（x，y0，z0） M2（x，y，z0）
O
y
x
z
02 空间曲线积分与路径无关的条件
18
此时
19
� 例5
解
例
M0（x0，y0，z0）
M（x，y，z）
M1（x1，y1，z1） M2（x2，y2，z2）
O
y
x
z
02 空间曲线积分与路径无关的条件
�=�+�,�=�+�,�=�+�,
由于
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02 空间曲线积分与路径无关的条件
�(�,�,�)
=��+��+��
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01 斯托克斯公式
02 空间曲线积分与路径无关的条件
03 环流量与旋度
03 环流量与旋度
22
环流量 设有向量场
03 环流量与旋度
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03 环流量与旋度
24
25
� 例6
解
03 环流量与旋度
同步习题
，基础4
(1) �= (�− 2�)�+ (�− 3�)�+ (�− 4�)�.
(1) ��� � = 4�+ 5�+ 3�
(2) ���� =�+�
26
� 例7
解
03 环流量与旋度
同步习题，提高1
��
= − 8�2�+ (�3�+ 12�)�− 2�2�2�
= 4�(��− 4)�+ 3�2��
27
� 例8
解
03 环流量与旋度
例
方向与刚体的转动方向符合右手法则,
M
v
r
O
l
则刚体上的没一点处都具有线速度v,求该线速度的旋
度rotv.
28
03 环流量与旋度
= (�2�−�3�)�+ (�3�−�1�)�+ (�1�−�2�)�
����= (�1 +�1)�+ (�2 +�2)�+ (�3 +�3)�= 2�
29
� 例9
解
03 环流量与旋度
同步习题，提高2
30
03 环流量与旋度
环流量
= 2�
学海无涯，祝你成功！
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