方差分析（二）：
双向方差分析
Two-way Analysis of Variance
第九章
上一章内容
单向方差分析：处理因素效应+随机效应
本章内容
双向方差分析：处理因素效应+随机效应
+区组效应
（或另一处理因素效应、交互作用等）
随机区组设计的方差分析
析因设计的方差分析
裂区设计的方差分析
第一节 随机区组设计
资料的方差分析
随机区组设计
randomized block design
又称为配伍组设计，是配对设计的扩展。具体做法是：先按影响试验结果的非处理因素（如性别、体重、年龄、职业、病情、病程、动物窝别等）将受试对象配成区组(block)，再分别将各区组内的受试对象随机分配到各处理或对照组。
例9-1 按随机区组设计方案，以窝别作为区组标志，给断奶后小鼠喂以三种不同营养素A、B、C，问营养素对小鼠所增体重有无差别。
表 8个区组小鼠按随机区组设计的分配结果
区组
编号
随机数
分组
(1) 总变异： 所有观察值之间的变异
(2) 处理间变异：处理因素＋随机误差
(3) 区组间变异：区组因素＋随机误差
(4) 误差变异： 随机误差
变异分解
H0： ，即三种不同营养素的小鼠所增体重的总体均数相等
H1：三种不同营养素的小鼠所增体重的总体均数不全相等
表9-2 例9-1资料的方差分析表
(a-1)(n-1)
查界值表，得
(2，14)=，
今F＝<(2, 14)，故P>。
结论：按 水准，不拒绝H0，尚不能认为三种不同营养素对小鼠所增体重的总体均数不等。
当a=2时，随机区组设计资料的方差分析与配对设计资料的t 检验等价，有 。
前面内容 回顾
第二节 两因素析因设计资料的方差分析
1.完全随机设计的ANOVA
2.随机区组设计的ANOVA
所关心的问题：
一个处理因素不同处理水平间的均数有无差异？
以上第2个设计中，设立单位组（区组）的目的是控制混杂因素。使混杂因素在各处理水平间达到均衡，提高检验效率。
析因设计（factorial design）ANOVA
所关心的问题
两个或以上处理因素 的各处理水平间的均数有无差异？即主效应有无统计学意义？
两个或以上处理因素之间有无交互作用？
析因设计的4个实例
实例1：甲乙两药治疗高胆固醇血症的疗效（胆固醇降低值mg％），问①甲乙两药是否有降低胆固醇的作用（主效应）？②两种药间有无交互作用
完全随机的两因素2×2析因设计
实例2：白血病患儿的淋巴细胞转化率（％），问 ①不同缓解程度、不同化疗时期淋转率是否相同？②两者间有无交互作用？
完全随机的两因素2×2析因设计
实例3：小鼠种别A、体重B和性别C对皮内移植SRS瘤细胞生长特征影响的结果（肿瘤体积cm3）问①A、B、C各自的主效应如何？②三者间有无交互作用？
完全随机的三因素2×2×2析因设计
实例4：研究小鼠在不同注射剂量和不同注射频次下药剂ACTH对尿总酸度的影响。问①A、B各自的主效应如何？②二者间有无交互作用？
随机区组的两因素3×2析因设计
析因设计的特点
2个或以上（处理）因素（factor）(分类变量)
（本节只考虑两个因素）
每个因素有2个或以上水平（level）
每一组合涉及全部因素，每一因素只有一个水平参与
几个因素的组合中至少有 2个或以上的观察值
观测值为定量数据（需满足随机、独立、正态、等方差的ANOVA条件）
一、两因素析因设计的ANOVA
两个处理因素：A、B
A、B因素各有a、b个水平，共有a×b种组合
每一组合下有n个受试对象
全部实验受试对象总数为a×b×n
i (i=1,2…,α)表示因素A的水平号，
j (j=1,2,…,b)表示因素B的水平号，
k (k=1,2,…,n)表示在每一组合下的受试对象号
符号
例9-2 两因素：疾病种类（A）与护士年龄（B）
a=4（心脏病、肿瘤、脑血管意外、结核病）
b=3（20～、30～、40～）;
n=5；Yijk为访视时间
问：
(1) 护士年龄的主效应？
(2) 疾病病种的主效应？
(3) 护士年龄与疾病病种间是否存在交互作用？
(1) 总变异：
(2) 处理因素A的变异：
(3) 处理因素B的变异：
(4) A与B交互作用的变异：
(5) 误差变异：
变异分解
两因素析因分析的方差分析步骤
三、交互作用
三、交互作用图
如果两条直线相互平行, 表示两因素无交互作用
第三节 两因素析因设计方差分析中的多重比较
当双向方差分析拒绝无效假设时，需要进一步确定哪些水平间的效应差异存在统计学意义。
当交互作用无统计学意义时，可直接对处理因素各水平的平均值进行比较。
当交互作用有统计学意义时，必须用两因素各水平组合下的平均值进行比较。
下面仍以例9-2资料为例介绍采用Tukey 法进行多重比较的方法
第四节 裂区设计(split-plot design)资料的方差分析
裂区设计资料的特点
一级单位（大区间，主区）——家庭、学校
二级单位（小区内，即裂区）——家庭成员、学生
两因素裂区设计资料的方差分析方法
先按随机区组析因设计的方法分析因素A（家庭拥挤程度）、区组（家庭）的主效应及其交互作用。（只考虑一级单位（大区，主区）
然后，考虑二级单位（家庭成员，因素B）的主效应、A、B间交互作用。
(1) 总变异：
(2) 大区间变异：（忽略B因素后的总变异）
(3) 大区内变异：
变异分解
(1) 总变异：
(2) 大区间变异：（忽略B因素后的总变异）
(3)大区内变异：总变异－大区间变异
