满足V aR 限制的保险基金最优投资组合
摘 要: V aR 是一种在市场正常波动情形下对证券组合的可能损失进行统计测度的风险测量方法。论文首先
将V aR 概念引入保险基金投资领域, 进而利用随机最优化技术, 研究了如何确定一个满足 V aR 限制以及期望收益
最大化的保险基金的最优投资组合。
关键词: 投资组合; 风险因子; 期望收益; 二次规划
中图分类号: F830. 9 文献标识码: A 文章编号: 1009- 9107 (2003) 04- 0030- 05
引 言
保险基金根据其自身行业特点通常可以分为两
大类: 股东基金和保单持有人基金 (保护基金)。保险
公司通常根据“安全增长”的原则及目前流行的“资
产负债配”的原则对基金进行自由投资, 一般的投资
种类包括债券、股票、银行存款、贷款 (包括对保护的
贷款和抵押贷款)以及房地产等。近 20 年来, 诸如期
权、期货、按揭证券、抵押债券和抵押和约等金融衍
生工具也得到了广泛的应用。
一般来说, 拥有大量盈余资本的保险公司, 可采
用多种投资工具进行较自由的投资; 而盈余资本有
限的公司则不得不在投资时小心谨慎, 以免市场发
生始料不及的不幸事件, 使保险公司陷入偿付能力
不足的境地。因而, 随着近年来保险市场投资风险的
不断加剧, 对风险测量、最优资产配置、最优投资组
合等工具的要求也越来越高, 各种新理论相继涌出。
V aR 是从 90 年代初期开始发展起来的一种金
融市场风险管理方法, 其核心思想是计算由于金融
资产价格的波动造成金融资产所面临的市场风险大
小。V aR 的准确概念: 它是在市场正常波动情形下
对证券组合可能损失的一种统计测度。如今,V aR
已经成为金融业通用的一种工具, 并且成为行业规
则的一部分。
基于V aR 的风险管理方法的研究已经数不胜
数。对于一个面临多种不同的金融市场风险的投资
组合来说, V aR 是一种重要而有效的风险测量手
段。本文将投资组合最优化与V aR 概念相联系, 利
用随机最优化技术, 主要研究以下两个问题: (1) 假
定有效的V aR 边界已经确定, 在给定的各种证券集
合中, 如何找到一个投资组合, 使之既能够取得最大
收益, 同时又满足V aR 限制。 (2) 假定市场条件变
化, 如何得到一个新的投资组合再平衡策略, 使它仍
然在有效的V aR 边界之内, 且同时提供最大收益。
一、概 述
假设一个保险基金的有限资产集合 i= 1, 2, 3,
⋯, n , 可以是任意一种金融资产, 例如股票、债券、期
权等。投资组合由这些资产所生成的头寸为 x =
收稿日期: 2002210223
作者简介: 秦 旭 (1976- ) , 女, 江苏扬州人, 天津大学管理学院博士研究生, 主要从事保险基金投资领域的研究。
(x 1, x 2, x 3, ⋯x n)。风险因子 v = (v 1, v 2, v 3, ⋯vm ) 表
示金融市场上可能存在的任何一种风险或不确定性
因素, 如利率、股价等。p (x , v )表示在给定风险因子
情况下投资组合 x 的价值。通常 p (x , v )是非常复杂
的非线性函数, 且是 x 与 v 两参数的非连续函数。通
常关于投资组合头寸 p (x , v )是可以分离的。
p (x , v ) = ∑
n
i= 1
p i (x i, v ) (1)
有时 p (x , v )是 x 的线性函数
p (x , v ) = ∑
n
i= 1
x ip i (v ) (2)
有时 p (x , v )又同时是 x 与 v 两参数的线性函数, 如
当投资组合包含股票头寸, 股价成为风险因子时
p (x , v ) = ∑
n
i= 1
x iv i (3)
定义 v 0 为 t= 0 时刻风险因子 v 的价值, 其中时间间
隔可以选择日或者周。假设当 t= 1 时风险因子 v 的
价值变化情况可以由概率分布的密度函数 f (v ) 来
描述。通常, t= 1 时刻投资组合价值的行为可以由
概率分布函数密度 Υ(x , y )来描述, 即
p {p (x , v )≥p }=∫
∞
p
Υ(x , y ) dy
其中, Υ(x , y )可以由投资组合价值函数 p (x , v )和风
险因子分布 f (v )表示如下:Υ(x , y ) = ∫
p (X ,V ) = Y
f (v ) dv (4)
但是, 确定 Υ(x , y ) 非常困难, 尤其当投资组合
包含成百个头寸并且价值函数 p (x , v )是非线性时。
下面来定义投资组合 x 的V aR。[1 ]假设 Pϖ (x )
为 t= 1 时投资组合 x 的预期价值:
Pϖ (x ) = EV p (x , v ) =∫p (x , v ) f (v ) dv (5)
选择置信水平 c< 1 (如 0. 95 或 0. 99) , 则解以下方
程得到 p 3
∫
∞
p 3 Υ(x , y ) dy = c (6)
投资组合 x 在 t= 1, 置信水平为 c 时刻的价值
超过或者等于 p 3 = p 3 (x )。因此,V aR 即为 pθ (x )与
p 3 (x )的差:
V aR (x ) = Pϖ (x ) - p 3 (x ) (7)
因此, V aR 是投资组合 x 在概率 c 下所能比预期价
值相差的最大量。通常在定义V aR 时, 投资组合的
现值由预期价值所代替:
V aR (x ) = p (x , v 0) - p 3 (x ) (8)
三、满足限制的保险基金的
最优投资组合
假设保险基金的投资组合的头寸是相对头寸,
x i 表示投资于资产 i 的部分, 则有
∑
n
i= 1
x i= 1, x i≥0
假设边界V 由V aR 给定, 因此将存在一个完
整的集合满足此边界。那么, 应该选择集合中的哪一
个投资组合呢? 如果我们将V aR 原则作为风险管理
的核心, 则显然应该选择由最高期望收益并且同时
满足V aR 限制的投资组合。借助表达式 (4)～ (7) ,
可以将最优投资组合的选择问题定量公式化。
(一) 问题 1
寻找最大化期望收益的投资组合, 使其满足
∫p (x , v ) f (v ) dv (9)
满足条件限制
∫p (x , v ) f (v ) dv - p 3 (x) ≤V (10)
∑
m
i= 1
x i= 1, x i≥0 (11)
其中 p 3 (x )是方程 (12)的解
∫∞P 3 [ ∫
P (X ,V ) = Y
f (v ) dv ]dy = c (12)
求解得到 p 3 。
但是, 由于 (10)～ (11)的复杂结构, 问题 1 很难
求解。下面将会看到, 即使在最简单的情形下, 这个
集合也可能是非凸集, 甚至是非联合的。因此, 对于
问题 1, 只得考虑使用有最小可能的和给定期望收
益的投资组合。问题 1 也有它自身的优点, 因为它可
以实现在众多的有相同期望收益的投资组合中, 找
到一个风险最小的投资组合。
(二)问题 2
寻找最小化V aR 的投资组合 x , 满足
∫p (x , v ) f (v ) dv - p 3 (x ) (13)
满足期望收益条件限制
∫p (x , v ) f (v ) dv ≥W (14)
13 第 4 期 秦 旭等: 满足V aR 限制的保险基金最优投资组合
∑
m
i= 1
x i= 1, x i≥0 (15)
其中 p 3 (x )是方程 (12)的解, 求解得到 p 3
问题 2 较问题 1 容易求解。因为多数情况下问
题 2 的可行集合是凸集, 尤其当投资组合的价值函
数 p (x , v )是 x 的凹函数时。当 p (x , v )是 x 的线性
函数时如 (2)所示, 问题 2 的可行集合的结构变得尤
其简便。此时, 可行集合 (14)、(15)由线性限制定义,
且问题 2 采取以下简化形式:
m in
X
∑
n
i= 1
d ix i- p 3 (x ) (16)
∑
n
i= 1
d ix i≥W , ∑
m
i= 1
x i= 1, x i≥0, (17)
其中, d i=∫p i (v ) f (v ) dv (18)
问题 2 的求解也存在一定困难。因为 p 3 (x )通
常是由方程 (12)的解定义的多元极值函数; 此外, 因
为简化形式 (16)～ (18) 的最小化本身是对可达的
V aR 的估计, 因此它是一个经过估算的结果。
问题 1 可以通过求解问题 2 得到。定义V 3 (W )
是由方程 (14) 得到的问题 2 的最优值, 它等于由问
题 2 得到的投资组合的V aR。V 3 (W ) 是W 的非减
函数, 因为如果W 1> W 2, 则W = W 1 时, 问题 2 的可
行集合被包含在W = W 2 时的可行集合中。现在为
了求解问题 1, 只要求解方程V 3 (W ) = V 就足够
了, 其中V 由方程 (10) 得出, 利用适当的线性搜索
方法可以得到方程有惟一解。
再来分析问题 2。
首先计算给定 x 的投资组合的V aR 的敏感性,
即推导出V aR 关于 x 的梯度表达式。由梯度值可以
看出: 投资组合头寸会对V aR 产生相当大的影响;
同时梯度也有助于建立对问题 2 的求解模型。以下
推导V aR 的梯度公式。
(三)推论
假设满足以下两个条件:
1. 投资组合的价值函数 p (x , v )关于 (x , v )是可
微的, 且梯度 p X (x , v ) 和 pV (x , v ) 满足拉普拉斯方
程。[2 ]
2. ‖P X (x , v )‖≤K ‖P V (x , v )‖那么
d
dxV aR (x ) =∫p X (x , v ) f (v ) dv + 1∫
P (X ,V ) = P 3 f (v ) dv
∫
P (X ,V )≥P 3 P TV (x , v ) f V (v )‖P V (x , v )‖2 P X (x , v ) dv =
EV 1+ C (x ) P
T
V (x , v ) f V (v )
‖P TV (x , v )‖2f (v )
x (x , v ) P X (x , v ) (19)
其中:
x (x , v ) = 1, p
(x , v ) ≥ p 3 (x )
0, p (x , v ) < p 3 (x )
C (x ) = 1
∫
P (X ,V ) = P 3 (X ) f (v ) dv
由此可见, 梯度计算增加了V aR 计算的难度,
因为需要经过三次定量计算:
第一, p 3 (x ) 只是V aR 的价值本身, 为此, 它根
本不可能提前确定;
第二, 积分
∫
P (X ,V )≥P 3 (X ) P TV (x , v ) f (v )‖P TV (x , v )‖2P X (x , v ) dv
类似于 (6)式中的V aR 积分;
第三, 系数C (x )可以表示为:
C (x ) = 1Υ〔x , p 3 (x )〕
其中, Υ〔x , p 3 (x )〕是在 y = p 3 (x ) 时投资组合价值
分布的密度。
第二步是要构建一种算法, 可以在收益受到限
制的情况下计算最小V aR , 例如求解问题 2。首先假
设一种简单情况: 投资组合价值函数 p (x , v ) 是头寸
的线性函数, 则问题简化为 (16)～ (17)。如果可得到
V aR 梯度的精确值, 就可以得到梯度形式的迭代算
法。由初始投资组合 x 0 开始进行迭代, 直至得到问
题 2 的解:
x
S + 1
= 0 X x S - ΘS ddX V aR (x S ) (20)
其中, ΘS 是根据梯度理论定义的步长; 0 X (·) 为由
限制条件 (17)得到的关于问题 2 的可行集合的罚因
子。对于任意点 z∈R n , 0 X (z )均可以简化为受两个
线性限制的二次规划问题:
m in
x
(z - x ) T (z - x )
∑
n
i= 1
d ix i≥W , ∑
m
i= 1
x i= 1, x i≥0
这样问题得以求解。
23 西北农林科技大学学报 (社会科学版) 第 3 卷
但是, 在现实情况中, 这种算法很难实现。因为
它需要多维准确计算 dd xV aR (x )。因此, 我们的方法
必须基于V aR 敏感性的估计, 但有时这些估计非常
不准确。为此引入随机梯度方法, 即:
x
S + 1
= 0 X (x s- ΘsΦS ) (21)
其中 ΦS 是由 (19) 得到的V aR (x ) 梯度的任意估计,
即 Φs 应该满足以下条件:
E (ΦS ûx 0, ⋯, x S ) = dd xV aR (x S ) + aS (22)
其中 aS 有偏, 通常步长 p s 应该满足以下条件:
p s≥0, ∑
∞
S = 0
ΘS = ∞
为了将迭代算法 (21)转变成为有效的计算工具来计
算最小V aR 的投资组合, 必须估算 dd xV aR (x
S )的估
计值 ΦS。这种方法就是基于梯度公式的投资组合。
三、利用历史数据求解满足限制的
最优投资组合
上节中, 我们主要研究了利用参数方法求解
V aR。为了得到满足V aR 限制的最优投资组合, 必
须首先利用风险因子 v 的历史数据, 得到其概率分
布, 然后利用分布的密度函数 f (v )。以下将直接利
用历史数据来计算最优的V aR 投资组合。[3 ]
假设投资组合的价值函数是头寸的线性函数。
风险因子的历史数据有N 种可能, 即 v 1, ⋯, vN ,
v
k
= (v k1, ⋯, v km ) , 每种可能都有相等的权重 1öN 。引
入以下规定:
u
k
= 〔p 1 (v k ) , ⋯, p n (v k )〕
u
θ
i =
1
N ∑
N
k= 1
p i (v k ) , uθ= (uθ1, ⋯, uθn) , 则投资组合
的期望收益为:
pθ (x ) = u - T x = ∑n
i= 1
u
θ
i, x i (23)
对于给定 v k 的投资组合, 在 t= 1 时刻的收益
为 u k
T
x , 此时期望收益与此收益的差即V aR。因此,
对于给定 v k 的投资组合, 如果V aR 没有超过某一
个值V , 则可如下表达:
W k T x ≤V , W k = uθ- u k (24)
(一) 问题 3 (满足限制的最优收益投资组合)
寻找最大化期望收益的投资组合 x
u
T
x (25)
满足V aR 条件限制
W k T x ≤V , k = 1, ⋯,N (26)
∑
m
i= 1
x i= 1, x i≥0 (27)
其中N 同时还满足N (c) = m in
k
{k ûk≥N C }
如果条件 (26) 对所有 k = 1, ⋯, N 都满足, 则问
题 3 转化为非常简便的线性规划问题。[4 ]但是, 因为
(26)、(27)定义的可行集合为非凸集, 甚至是不相交
的使得问题难于求解。
定义A 为满足 (26) 的所有不等集合的全体, 且
A ∈A 。这样, 问题 3 转化为:
m ax
X
u
T
x (28)
x ∈∪
A ∈A
A , ∑
m
i= 1
x i= 1, x i≥0 (29a)
因此存在一个集合A 3 ∈A 使得 (28)～ (29a ) 的解
与以下问题的解相一致:
m ax
X
u
T
x (30)
x ∈A 3 , ∑m
i= 1
x i= 1, x i≥0 (31a)
问题 (30)～ (31a)是非常简单的线性规划问题, 已经
有很多商务软件可以处理这一求解过程。因此, 只要
已知集合A 3 , 问题 3 的求解将毫无问题。但是当集
合A 3 未知, 则需要通过求解线性规划问题 (30) -
(31a)中A 的其他集合代替A 3 , 从而得到问题 3 的
近似解。由此得到一般的算法程序如下:
1. 初始化。取 b0= 0, 这是满足V aR 限制的最
优投资组合收益的初始边界。
2. 开始将边界 b0 置换为 bS , 它是对应于投资组
合 x S 的问题 3 的最优近似解。同时, 搜索集合A kx
∈A 。 (k< s 由第一步产生)。
2a. 由条件 (26) 选择N (c) , 定义集合A S ∈A 。
检验这些集合是否已经被选, 是则检验其他集合。这
一步无论几维的问题都可以做得到。如果这一步不
能实现则意味着所有由得到的集合都已经被测试,
并且投资组合 x S 是问题 3 的最优解。
2b. 用集合A S 代替集合A 3 求解问题 (30) -
(31a) , 生成新的投资组合 xθS , 收益为 bλS。取
x
S + 1
=
X{ S , bλS > bS
x
S
, bλS ≤bS bS + 1= bλS , bλS > bSbS , bλS ≤bS
2c. 检验终止标准是否满足, 若不满足则继续
33 第 4 期 秦 旭等: 满足V aR 限制的保险基金最优投资组合
步骤 2a , 重复全过程 s+ 1。
小 结
根据保险基金投资自身的特点, 本文构建了一
种新的框架来定义保险基金的最优投资组合。它类
似于M a rkow itz 的均值——方差理论, 只是我们用
V aR 代替了方差。在此基础上, 介绍了两种算法, 使
得在实际情况中可以通过该模型准确求解保险基金
的最优投资组合。
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Optimal Portfol ios of In surance Fund W ith Con stra in ts on Value a t R isk
Q IN Xu, HAN W en2x iu
(Colleg e of M anag em en t, T ianj in U n iversity , T ianj in, 300072, Ch ina)
Abstract: V alue at R isk is an impo rtan t m ethod of risk m anagem en t, w h ich can m easu re po ssib le ex2
po su re of a given po rtfo lio of secu rit ies in financia l m arkets. In th is paper, w e first in t roduced the no t ion
of V aR in to the investm en t of in su rance fund, then adap ted a stochast ic op t im izat ion m ethod and studied
how to find a po rtfo lio among given set of secu rit ies w h ich w ou ld p rovide the m ax im al yield and at the
sam e t im e sat isfy the con stra in ts on value at risk.
Key words: po rtfo lio; risk facto r; expected retu rn; quadra t ic p rogramm ing
43 西北农林科技大学学报 (社会科学版) 第 3 卷
