第五章大数定律与中心极限定理.ppt

下载

下载

8积分

10积分

下载

10积分

VIP价：8积分

第五章 大数定理与中心极限定理 “概率是频率的稳定值”。前面已经提到，当随机试验的次数无限增大时，频率总在其概率附近摆动，逼近某一定值。大数定理就是从理论上说明这一结果。正态分布是概率论中的一个重要分布，它有着非常广泛的应用。中心极限定理阐明，原本不是正态分布的一般随机变量总和的分布，在一定条件下可以渐近服从正态分布。这两类定理是概率统计中的基本理论，在概率统计中具有重要地位。 §1 大数定理 定理（契比雪夫(Chebyshev)不等式）:设随机变量X具有数学期望E(X)=μ,方差D(X)=σ2 ,则对于任意正数ε,有 § 契比雪夫(Chebyshev)不等式 证明 (1)设X的概率密度为p(x),则有 (2)设离散型随机变量X的分布律为P{X=xk}=pk,则有 例:在供暖的季节,住房的平均温度为20度,标准差为2度,试估计住房温度与平均温度的偏差的绝对值小于4度的概率的下界. 解 解 § 大数定律 定义:设{Xk}是随机变量序列，数学期望E(Xk)(k=1,2,...)存在，若对于任意ε >0，有 则称随机变量序列{Xn}服从大数定律. 定理（契比雪夫(Chebyshev)大数定律）:设{Xk}是两两不相关的随机变量序列,具有数学期望E(Xk)和方差D(Xk)[k=1,2,...].若存在常数C,使得D(Xk) ≤C(k=1,2,…),则对于任意给定的ε>0,恒有 证明 推论(契比雪夫大数定律的特殊情况):设{Xk}是两两不相关的随机变量序列,具有相同的数学期望E(Xk)=μ和方差D(Xk)=σ2(k=1,2,…),则对于任意给定的ε>0,恒有 注: 解 所以,满足切比雪夫大数定理的条件,可使用大数定理. 伯努里大数定律: 设进行n次独立重复试验，每次试验中事件A发生的概率为p，记fn为n次试验中事件A发生的频率，则 证明:设 第i次试验事件A发生 第i次试验事件A不发生 则 由切比雪夫大数定律 §2 中心极限定理 在一定条件下,许多随机变量的极限分布是正态分布:“若一个随机变量X可以看着许多微小而独立的随机因素作用的总后果,每一种因素的影响都很小,都有不起压倒一切的主导作用,则X一般都可以认为近似地服从正态分布.” 例如对某物的长度进行测量,在测量时有许多随机因素影响测量的结果.如温度和湿度等因素对测量仪器的影响,使测量产生误差X1;测量者观察时视线所产生的误差X1;测量者心理和生理上的变化产生的测量误差X3;…显然这些误差是微小的、随机的,而且相互没有影响.测量的总误差是上述各个因素产生的误差之和,即∑Xi. 一般地,在研究许多随机因素产生的总影响时,很多可以归结为研究相互独立的随机变量之和的分布问题,而通常这种和的项数都很大.因此,需要构造一个项数越来越多的随机变量和的序列: 我们关心的是当n→∞时,随机变量和∑Xi的极限分布是什么?由于直接研究∑Xi的极限分布不方便,故先将其标准化为: 再来研究随机变量序列{Yn}的极限分布. 定义：设{Xk}为相互独立的随机变量序列,有有限的数学期望E(Xk)=μk和方差D(Xk)=σk2,令 若对于一切实数x,有 则称随机变量序列{Xk}服从中心极限定理. 定理(林德贝尔格-勒维(Lindeberg-Levy)定理):设{Xk}为相互独立的随机变量序列,服从同一分布,且具有数学期望E(Xk)=μ和方差D(Xk)=σ2 ,则随机变量 的分布函数Fn(x),对于任意x,满足 例: 将一颗骰子连掷100次，则点数之和不少于500的概率是多少？ 解 设 Xk为第k 次掷出的点数,k=1,2,…,100,则 X1,…,X100独立同分布. 由中心极限定理 定理(De Moivre-Laplace中心极限定理):设随机变量Yn服从二项分布Yn ~B(n,p), (o<p<1),则对于任意x,恒有 证明 设X1,X2,…,Xn是n个相互独立的服从(0-1)分布(P{Xi=0}=1-p,P{Xi=1}=p)的随机变量,则 Yn= X1+X2+…+Xn 由于E(Xi)=p,D(Xi)=p(1-p) (i=1,2,…,n),由此得 解法1 设X为10000个新生儿中男孩个数 则X服从B(n,p)，其中n=10000，p= 由德莫弗-拉普拉斯中心极限定理，所求概率为 设X为10000个新生儿中男孩个数 则女孩不少于男孩的概率为 解法2 例:一加法器同时收到20个噪声电压Vk(k=1,2,…,20),它们相互独立且都在区间[0,10]上服从均匀分布,噪声电压总和V=V1+V2+…+V20,求P{V>105}的近似值. 解:易知E(Vk)=5,D(Vk)=100/12,由独立同分布的中心极限定理知 近似服从标准正态分布N(0,1),于是 例: 在一家保险公司里有10000个人参加寿命保险，每人每年付12元保险费。在一年内一个人死亡的概率为%，死亡时其家属可向保险公司领得1000元，问： (1)保险公司亏本的概率有多大？ (2)其他条件不变，为使保险公司一年的利润不少于60000元，赔偿金至多可设为多少？ 解 设X表示一年内死亡的人数，则X~B(n, p), 其中 n= 10000，p=%， 设Y表示保险公司一年的利润， Y=1000012-1000X 于是由中心极限定理 (1)P{Y<0}=P{1000012-1000X<0} =1P{X120} 1  ()=0; P{Y>60000}=P{1000012-aX>60000} =P{X60000/a}; （2）设赔偿金为a元，则令 由中心极限定理,上式等价于