条件极值问题的基本定理
作为隐函数定理的重要应用, 以下证明条件极值问题的基本定理, 并给出其几何解
释. 这里, 条件极值问题的一般提法如下:
在区域 Ω ⊆ Rn 内, 求多元函数 f(x) 在等式组约束 φ(x) = 0 下的极大值或极小
值, 其中 φ(x) =
(
φ1(x), φ2(x), · · · , φm(x)
)T
(m < n).
定理 . 设 m,n ∈ N, m < n, Ω ⊆ Rn 是区域, 函数 f(x), φk(x) ∈ C1(Ω), k =
1, 2, · · · ,m, φ(x) =
(
φ1(x), φ2(x), · · · , φm(x)
)T , 则对 f(x) 在约束条件 φ(x) = 0
下的任意极值点 x0 = (x
0
1, x
0
2, · · · , x0n) ∈ Ω, 若 rankDφ(x0) = m, 则存在常数
λ = (λ1, λ2, · · · , λm)T ∈ Rm, 使
∇f(x0) + λ
TDφ(x0) = 0,
φ(x0) = 0.
()
证明 : ()第二式显然. 由已知, 不妨设
∂ (φ1, φ2, · · · , φm)
∂ (x1, x2, · · · , xm)
∣∣∣∣
x0
6= 0.
记 x̃ = (x1, x2, · · · , xm), x = (xm+1, xm+2, · · · , xn) 且
x0 =
(
x0m+1, x
0
m+2, · · · , x
0
n
)
.
由定理, 在某邻域 U(x0) 内, φ(x) = 0 唯一地决定了隐函数组
x̃ = g(x) ∈ C1
(
U(x0)
)
,
使
(
x01, x
0
2, · · · , x0m
)
= g(x0), 且 φ
(
g(x),x
)
≡ 0, 相应地, x0 转化成了 n −m 元函数
u(x) ≜ f
(
g(x),x
)
的通常极值点 x0.
于是, 在极值点 x0 处, 由 Fermat 定理 (定理), 有
∇x̃f(x0) ·Dxig
(
x0
)
+
∂f(x0)
∂xi
= 0,
Dx̃φ(x0) ·Dxig
(
x0
)
+Dxiφ(x0) = 0,
()
其中 i = m+ 1,m+ 2, · · · , n, 等价地, 方程组
∇x̃f(x0) ∂f(x0)∂xi
Dx̃φ(x0) Dxiφ(x0)
y = 0 ()
有非零解
(
Dxig
(
x0
)
, 1
)T . 因此, ()的系数阵为行线性相关, 但已知 Dx̃φ(x0) 可
逆, 从而存在非零的 λ(i)(i = m+ 1,m+ 2, · · · , n), 使(
∇x̃f(x0),
∂f(x0)
∂xi
)
= λT(i)
(
Dx̃φ(x0), Dxiφ(x0)
)
. ()
特别地, 有 ∇x̃f(x0) = λT(i)Dx̃φ(x0). 而 detDx̃φ(x0) 6= 0 表明此方程组有唯一解,
即()中的 λ(i) 均相等, 记为 −λ. 代入()得(
∇x̃f(x0),
∂f(x0)
∂xi
)
= −λT
(
Dx̃φ(x0), Dxiφ(x0)
)
. ()
于是, 对 i = 1, 2, · · · ,m 和 i = m+ 1,m+ 2, · · · , n, 总有
∂f(x0)
∂xi
+ λTDxiφ(x0) = 0,
合并为矩阵形式, 得 ∇f(x0) + λTDφ(x0) = 0.
注 . 以定理为基础, Lagrange 乘数法将条件极值问题转化为求函数
F (x, λ) ≜ f(x) + λT ·φ(x) 的通常极值问题的驻点, 即解方程组
∂F (x,λ)
∂xi
= 0(i = 1, 2, · · · , n),
∂F (x,λ)
∂λk
= 0(k = 1, 2, · · · ,m).
()
由定理可知,当 rankDφ(x0) = l < m时, φ(x) = 0中有 m− l个条件是多余
的, 它们能被其它 l 个条件函数表示, 从而起不到约束条件的作用. 此外, 由()可
得如下条件极值问题的几何解释.
定理 . 在定理条件下, u = f(x) 在条件 φ(x) = 0 下的任意极值
点 x0 处, 函数 u = f(x) 的梯度 ∇f(x0) 位于条件函数 φ(x) 的梯度向量组{
∇φ1(x0),∇φ2(x0), · · · ,∇φm(x0)
}
张成的 m 维超平面上.
