管道运输与订购优化模型(CAI).doc

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1 钢管订购和运输优化模型 要铺设一条 的输送天然气的主管道, 如图一所示(见反 面)。经筛选后可以生产这种主管道钢管的钢厂有 。图中粗线表示铁路， 单细线表示公路，双细线表示要铺设的管道(假设沿管道或者原来有公路，或者建 有施工公路)，圆圈表示火车站，每段铁路、公路和管道旁的阿拉伯数字表示里程(单 位 km)。 为方便计，1km 主管道钢管称为 1 单位钢管。 一个钢厂如果承担制造这种钢管，至少需要生产 500 个单位。钢厂 在指定 期限内能生产该钢管的最大数量为 个单位，钢管出厂销价 1 单位钢管为 万元， 如下表： 1 2 3 4 5 6 7 800 800 1000 2000 2000 2000 3000 160 155 155 160 155 150 160 1 单位钢管的铁路运价如下表： 里程(km) ≤300 301～350 351～400 401～450 451～500 运价(万元) 20 23 26 29 32 里程(km) 501～600 601～700 701～800 801～900 901～1000 运价(万元) 37 44 50 55 60 1000km 以上每增加 1 至 100km 运价增加 5 万元。 公路运输费用为 1 单位钢管每公里 万元（不足整公里部分按整公里计算）。 钢管可由铁路、公路运往铺设地点（不只是运到点 ，而是管道 全线）。 1521 AAA   721 ,, SSS  iS is ip i is ip 1521 ,,, AAA  2 问题： （1）请制定一个主管道钢管的订购和运输计划，使总费用最小（给出总费用)。 思考题： （2）请就（1）的模型分析：哪个钢厂钢管的销价的变化对购运计划和总费用 影响最大，哪个钢厂钢管的产量的上限的变化对购运计划和总费用的影响最大，并 给出相应的数字结果。 （3）如果要铺设的管道不是一条线，而是一个树形图，铁路、公路和管道构 成网络，请就这种更一般的情形给出一种解决办法，并对图二按（1）的要求给出 模型和结果。 A1 3 2 5 80 10 10 31 20 12 42 70 10 88 10 70 62 70 30 20 20 30 450 104 301 750 606 194 205 201 680 480 300 220 210 420 500 600 306 0 195 202 720 690 520 170 690 462 160 320 160 110 290 1150 1100 1200 A2 A3 A4 A5 A6 A11 A7 11 A1 1 A8 A1 1 A9 11 A1 1 A10 A11 A12 A13 A14 A15 S1 S2 S3 S4 S5 S6 S7 图一 3 一．基本假设： 1．沿铺设的主管道以有公路或者有施工公路。 2．在主管道上，每公里卸 1 单位的钢管。 3．公路运输费用为 1 单位钢管每公里 万元（不足整公里部分按整公里计算） 4．在计算总费用时，只考虑运输费和购买钢管的费用，而不考虑其他费用。 5．在计算钢厂的产量对购运计划影响时，只考虑钢厂的产量足够满足需要的情况， 即钢厂的产量不受限制。 6．假设钢管在铁路运输路程超过 1000km 时，铁路每增加 1 至 100km，1 单位钢管 A1 3 2 5 80 10 10 31 20 12 42 70 10 88 10 70 62 70 30 20 20 30 450 104 301 750 606 194 205 201 680 480 300 220 210 420 500 600 306 0 195 202 720 690 520 170 690 462 160 320 160 11 0 290 1150 1100 1200 A19 130 190 260 100 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A1 1 A9 A10 A11 A12 A13 A14 A15 S1 S2 S3 S4 S5 S6 S7 A16 A17 A18 A20 (A21) 图二 4 的运价增加 5 万元。 二．符号说明： ：第 个钢厂； ：第 个钢厂的最大产量； ：输送管道（主管道）上的第 个点； ：第 个钢厂 1 单位钢管的销价； ：钢厂 向点 运输的钢管量； ：在点 与点 之间的公路上，运输点 向点 方向铺设的钢管量； ( ) ：1 单位钢管从钢厂 运到结点 的最少总费用，即公路运费﹑铁路运费和 钢管销价之和； ：与点 相连的公路和铁路的相交点； ：相邻点 与 之间的距离； 三．模型的建立与求解 问题一：讨论如何调整主管道钢管的订购和运输方案使总费用最小 由题意可知，钢管从钢厂 到运输结点 的费用 包括钢管的销价﹑钢管的 铁路运输费用和钢管的公路运输费用。在费用 最小时，对钢管的订购和运输进 行分配，可得出本问题的最佳方案。 1、 求钢管从钢厂 运到运输点 的最小费用 1）将图一转换为一系列以单位钢管的运输费用为权的赋权图。 iS i 7,,2,1 i is i 7,,2,1 i jA j 15,,2,1 j ip i 7,,2,1 i ijx iS jA 7,,2,1 i 15,,2,1 j jt jA 1jA jA 1jA 14,,3,2,1 j 01 t ija iS jA 7,,2,1 i 15,,2,1 j jb jA 15,,3,2 j 1. jjA jA 1jA 14,,2,1 j iS jA ija ija iS jA 5 由于钢管从钢厂 运到运输点 要通过铁路和公路运输，而铁路运输费用是 分段函数，与全程运输总距离有关。又由于钢厂 直接与铁路相连，所以可先求 出钢厂 到铁路与公路相交点 的最短路径。如图三 图三 铁路网络图 依据钢管的铁路运价表，算出钢厂 到铁路与公路相交点 的最小铁路运输 费用，并把费用作为边权赋给从钢厂 到 的边。再将与 相连的公路、运输点 及其与之相连的要铺设管道的线路（也是公路）添加到图上，根据单位钢管在 公路上的运价规定，得出每一段公路的运费，并把此费用作为边权赋给相应的边。 以 为例得图四 iS jA iS iS jb iS jb iS jb jb iA 1S 6 图四 钢管从钢厂 运到各运输点 的铁路运输与公路运输费用权值图 2）计算单位钢管从 到 的最少运输费用 根据图四，借助图论软件包中求最短路的方法求出单位钢管从 到 的最少 运输费用依次为：，，，，38，，，，，92， 96，106，，128，142（单位：万元）。加上单位钢管的销售价 ，得出从钢 厂 购买单位钢管运输到点 的最小费用 依次为：，， ， ，198，，，，，252，256，266，，288，302（单 位：万元）。 同理，可用同样的方法求出钢厂 ﹑ ﹑ ﹑ ﹑ ﹑ 到点 的最小 费用，从而得出钢厂到点的最小总费用（单位：万元）为： 表一 到点 最小费用 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 a11 a12 a13 a14 a15 s1 198 163 252 256 266 288 302 s2 266 241 297 301 311 333 347 s3 276 251 237 241 251 273 287 s4 316 291 222 211 221 243 257 s5 301 276 212 188 206 228 242 s6 306 281 212 201 195 161 178 s7 326 301 237 226 216 186 162 1S jA 1S jA 1S jA ip 1S jA ja1 2S 3S 4S 5S 6S 7S jA iS jA 7 2、建立模型 运输总费用可分为两部分： 运输总费用=钢厂到各点的运输费用+铺设费用。 运输费用：若运输点 向钢厂 订购 单位钢管，则钢管从钢厂 运到运 输点 所需的费用为 。由于钢管运到 必须经过 ，所以可不考虑 ，那 么所有钢管从各钢厂运到各运输点上的总费用为： 。 铺设费用：当钢管从钢厂 运到点 后，钢管就要向运输点 的两边 段和 段运输（铺设）管道。设 向 段铺设的管道长度为 ，则 向 段的运输费用为 （万元）；由于相邻运输 点 与 之间的距离为 ，那么 向 段铺设的管道长为 ， 所对应的铺设费用为 （万元）。所以，主管道上的铺设费 用为： 总费用为： 又因为一个钢厂如果承担制造钢管任务，至少需要生产 500 个单位，钢厂 在指定期限内最大生产量为 个单位，故 或 因此 本问题可建立如下的非线性规划模型： jA iS ijx iS jA ijij xa 1A 2A 1A    15 2 7 1j i ijij ax iS jA jA 1jj AA jj AA 1 jA 1jj AA jy jA 1jj AA   20 1 )21(   jj j tt y jA 1jA 1. jjA 1jA 1jj AA jjj tA 1.    20 1 . jjjjjj tAtA                     14 1 . 20 1 20 1 j jjjjjjjj tAtAtt                        7 1 15 2 14 1 . 20 1 20 1 i j j jjjjjjjj ijij tAtAtt axf iS is i j ij sx    15 2 500 0 15 2  j ijx 0 15,,2,7,,10 0500 ,152,3,j .. 20 )1)(( 20 )1( (min 1. 15 2 15 2 7 1 15 2 7 1 14 1 .                              jjj ij j ij j iij i jij j i ijij j jjjjjjjj At jix xsx nx ts ax tAtAtt f   或 8 3、模型求解： 由于 MATLAB 不能直接处理约束条件： 或 ，我们 可先将此条件改为 ，得到如下模型： 用 MATLAB 求解，分析结果后发现购运方案中钢厂 的生产量不足 500 单 位，下面我们采用不让钢厂 生产和要求钢厂 的产量不小于 500 个单位两种方 法计算： 1）不让钢厂 生产 计算结果： 1278632（万元）（此时每个钢厂的产量都满足条件）。 2）要求钢厂 的产量不小于 500 个单位 计算结果： 1279664 （万元） （此时每个钢厂的产量都满足条件）。 比较这两种情况，得最优解为， =1278632（万元） 具体的购运计划如表二： 表二 问题一的订购和调运方案 订购量 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10 A11 A12 A13 A14 A15 S1 800 0 201 133 200 266 0 0 0 0 0 0 0 0 0 S2 800 179 11 14 295 0 0 300 0 0 0 0 0 0 0 S3 1000 139 11 186 0 0 0 664 0 0 0 0 0 0 0 S4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 S5 1015 0 358 242 0 0 0 0 0 0 415 0 0 0 0 S6 1556 0 0 0 0 0 0 0 0 0 351 86 333 621 165 S7 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 i j ij sx    15 2 500 0 15 2  j ijx i j ij sx   15 2 7S 7S 7S 7S 1f 7S 2f 121 ),min(min ffff  0 15,,2,7,,10 ,152,3,j .. 20 )1)(( 20 )1( (min 1. 15 2 7 1 15 2 7 1 14 1 .                              jjj ij j iij i jij j i ijij j jjjjjjjj At jix sx nx ts ax tAtAtt f  