第五章 抽样估计(抽样推断）
本章内容
第一节、 抽样推断的一般问题
第二节、 抽样误差
第三节、 总体指标的推断（抽样估计的方法）
第四节、 抽样方案设计（抽样组织方式）
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第一节、抽样抽样推断的一般问题
一、抽样调查的意义
二、抽样调查作用
三、有关抽样中的几个基本概念
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一、抽样调查的意义
1、定义: 抽样调查是按照随机的原则从总体中抽取一部分单位作为样本，并根据样本数量特征对总体数量特征做出具有一定可靠性的估计与推断。
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2、抽样调查的特点
（1）、用一部分单位的指标值去推断总体的指标值
（2）、抽取部分单位要遵循随机原则
（3）、抽样推断在方法上运用不确定的概率估计法
（4）、抽样误差不可避免，但可以计算，并且可以控制
抽样估计在方法上运用的是不确定的概率估计法，而不是确定的数学分析法。
抽样估计虽然也是利用样本数据来推断总体数据，但是 因为样本数据和总体数据之间并不存在严格对应的自变量和因变量的关系，因此不可能运用数学函数关系建立一定的数学模型，用样本数据做自变量，来推算因变量----总体数据。
抽样估计在实际中是先抽取一个样本，计算其相应的指标值，然后要解决的问题是用样本指标来代替相应的总体指标,，其可靠程度（即概率）有多大，这就是概率估计。
我国的抽样调查应用主要有：
（⒈）国家和地方统计部门：
1%人口抽样调查、城市和农村住户调查、农产量抽样调查等（实际中有三支调查队：城市社会经济调查总队、农村社会经济调查总队、企业调查总队）
（⒉）其他政府部门、社会团体和学术团体：
公众科学素养调查（全国科协）
语言与文字使用情况调查（教育部与国家语委）
（⒊）专业调查咨询机构：
央视调查咨询中心、北京华通现代信息咨询有限公司、北京零点市场调查与分析公司等。
二、抽样调查的作用
1、有破坏性、不可能进行全面调查的事物
⒉全面调查实际办不到的事物
⒊节省费用、提高时效性
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三、有关抽样中的几个基本概念
（一）、全及总体（总体）和抽样总体（样本）
（二）、全及指标（参数）和抽样指标（统计量）
（三）、重复抽样和不重复抽样
（四）、样本容量和样本个数
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（一）、全及总体和抽样总体
第一、全及总体（简称总体）
⒈概念：研究对象的全体，用 N 表示其总体单位总数
⒉总体的分类
总体可分为
变量总体：各单位按数量标志分组而成的。
属性总体：各单位按品质标志分组，且只有两种表现的。
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属性总体举例
产品按是否合格分：
分类 数量（件）
合格 990
不合格 10
合计 1000
第二、抽样总体（简称样本）
⒈概念：将从总体中抽取的部分单位称为样本
样本有大样本和小样本之分，一般超过30为大样本，小于30为小样本
样本的容量用 n 表示
2、样本分类：变量样本和属性样本
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(二)全及指标(参数)和抽样指标(统计量)
第一、总体指标：根据总体各单位标志值或标志属性计算的、反映总体特征的指标。
1、对于变量总体,主要有
（1）总体平均数
注意：平均数和方差均有简单式和加权式之分
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（2）总体方差或标准差
2、对于属性总体，主要指标有：
属性总体的平均数和属性总体的方差或标准差。
（1）属性总体中，设N1个单位具有某种属性，N0个单位不具有某种属性，则属性总体的平均数为：
P 称为属性总体的成数
（2）属性总体的方差或标准差
方差：
标准差：
分类 变量值(x) 数量(件) ( f )
合格 1 990= N1
不合格 0 10= N0
合计 -- 1000 = N
平均数 = ∑xf / ∑f
= (1×990+0×10) / 1000
= 99% = N1 / N 同理可计算标准差
第二、抽样指标：据根样本各单位标志值或标志属性计算的、反映样本特性的指标。
1、对于变量样本（平均数和方差均有简单和加权之分）
样本平均数
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样本方差
样本标准差
2、对于属性样本，则有属性样本的平均数和属性样本的方差
（1） 属性样本的平均数
（2）属性样本的方差和标准差
方差：
标准差：
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这称为样本成数
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注意：在有些书上，样本标准差用s表示
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在计算器上，有σ和s按钮，σ代表总体标准差，
S代表样本标准差。
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（三）、重复抽样和不重复抽样
1、重复抽样:从N个单位中每次抽取1个，抽取后将其号码记下，再放回，一直抽取n个单位组成一个样本。（每个单位被抽中的概率均为1/ N）
2、不重复抽样：从N个单位中每次抽取1个，抽取后不放回，一直抽取n个单位组成一个样本。
（每个单位被抽中的概率依次为1/ N，1/（N-1），1/（N-2）…1/（N-n）
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如有4个数据：A、B、C、D。先从中抽取样本容量为2的样本
重复抽样：AA、AB、AC、AD
BA、BB、BC、BD
CA、CB、CC、CD
DA、DB、DC、DD （样本个数位42个）
不重复抽样： AB、AC、AD
BA、BC、BD
CA、CB、CD
DA、DB、DC （样本个数位4×3个
（四）、样本个数和样本容量
1、样本个数：又称样本可能数目，是指从一个总体中可能抽取的样本个数。
从一个总体中可以抽取到 k 个可搭配的样本
2、样本容量：一个样本所包含的单位数，用 n 表示
第二节 抽样误差
一、抽样误差的概念
二、抽样平均误差的涵义
三、抽样平均误差的具体计算方法
四、影响抽样平均误差的因素
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一、抽样误差的概念
1、抽样误差：一般是指样本指标与被估计的总体指标之间的绝对离差。
表示为 ： 、
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2、抽样误差的种类
A、登记性误差和代表性误差之分。
B、代表性误差又分为系统误差和随机误差，
抽样误差就是随机误差。
C、抽样误差又分为实际误差和抽样平均误差两种。
实际误差：是指每一个样本平均数（ ）和总体平均数（ ）之间的离差，可有 k 个。
抽样平均误差：是所有实际离差的平均数。
或所有样本平均数（样本指标的）的标准差。
二、抽样平均误差的涵义
抽样平均误差是一系列抽样平均数(即样本指标)的标准差。
该公式为理论公式
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数理统计证明，样本平均数的平均数：
就等于总体平均数：
则上述公式可变为：
举例说明用理论公式的计算方法：
某总体有三个数据组成：2、3、4，现从总体中按重复抽样抽出两个单位组成样本，结果如下，试用理论公式求出抽样平均误差。
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求抽样平均误差就是求所有可能样本平均数(样本指标)的标准差。
1、先求出各个样本和各个样本的平均数，如表格数据。
2、再用计算器求 2、、3、、3、、3、、4 的标准差,得
即为抽样平均误差。
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三、抽样平均误差的具体计算方法
抽样平均误差分：
抽样平均数的抽样平均误差
抽样成数的抽样平均误差，
每一种又分为重复抽样和不重复抽样的抽样平均误差
㈠抽样平均数的抽样平均误差
前面已经举例说明了直接按照可能抽样平均数求标准差的方法计算，但该方法太繁。
可以证明：
⒈在重复抽样下，抽样平均误差为：
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σ为总体标准差，n为样本单位数，在总体标准差未知，
且样本单位数较大时，可以用样本标准差代替。
例：从40、50、70、80中抽取3个组成样本，在重复抽样下，求抽样平均误差。
⒈求总体标准差，直接用计算器统计功能键可以求出：
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⒉求抽样平均误差
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⒈在不重复抽样下，抽样平均误差为：
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σ为总体标准差，n为样本单位数，
N为总体单位数。
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例：从40、50、70、80中抽取3个组成样本，在不重复抽样下，求抽样平均误差。
⒈求总体标准差，直接用计算器统计功能键可以求出：
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⒉求抽样平均误差：
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= =
（二）抽样成数的抽样平均误差
重复抽样：
不重复抽样：
见185页例子
求样本平均数（灯泡的平均耐用时数）和样本成数（灯泡的合格率）的抽样平均误差。
注：耐用时数在950小时以下为不合格。
⒈求灯泡平均使用时间、标准差和灯泡合格率（样本）
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⒉求灯泡平均使用时间（抽样平均数）抽样平均误差：
在重复抽样下，抽样平均误差：
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在不重复抽样下，抽样平均误差：
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=小时
⒊求灯泡合格率的（抽样成数的）抽样平均误差：
在重复抽样下抽样平均误差
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在不重复抽样下抽样平均误差:
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=%
四、影响抽样平均误差的因素
⒈总体标志的变动程度
总体标志变异程度大，抽样平均误差大
⒉抽样单位数的多少
抽样单位数多，抽样平均误差小
⒊抽样的方法：
一般来说，重复抽样的误差要大于不重复抽样的
4抽样组织的方式
有简单随机抽样、类型抽样、整群抽样、机械抽样等。每
一抽样组织方式下的误差大小也不一样
第三节 总体指标的推断（抽样估计的方法）
一、抽样极限误差
二、概率保证程度
三、抽样推断
四、估计量的选择标准
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一、抽样极限误差
说明：抽样极限误差是从另一个角度考虑抽样误差问题。
用样本的指标来估计总体的指标，要达到完全准确毫无误差，这几乎是不可能的。所以在估计总体指标的同时，就必须同时考虑估计误差的大小。
我们不希望误差太大，误差越大、样本的价值就越小；但也不是误差越小越好，因为一定限度之后再减少误差，势必增加很多的费用。
所以，在进行抽样估计时，应该根据研究目的的要求，确定可允许的误差范围，在这个范围内的数字都是有效的 ，通常把这种可允许的误差范围称为极限误差。
㈠极限误差的概念：抽样极限误差是指总体指标和抽样指标之间误差的可能范围（样本指标与总体指标之间离差的绝对值）。
⒈抽样平均数的抽样极限误差
⒉抽样成数的抽样极限误差
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㈡总体范围的估计
若有了抽样极限误差，则总体平均数和总体成数的可能范围可估计为：
⒈抽样平均数的范围
⒉抽样成数的抽样极限误差
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例：要估计一批产品的合格率，从1000件产品中抽取200件，其中有10件不合格品，如果确定抽样极限误差的范围为2%，试估计产品合格率的范围。
样本成数 p=190/200=95%
总体成数下限=95%-2%=93%
总体成数上限=95+2%=97%
即该产品合格率在93%~97%之间。
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二、抽样估计的置信度（或概率保证程度）
确定了抽样极限误差的范围后，从主观上说，我们希望样本指标的估计值都能落在允许的误差范围内，但这并非都能实现。
原因：
由于样本指标随样本的变动而变动，它本身是个随机变量，因而样本指标和总体指标的误差仍然是个随机变量。并不能保证误差不超过一定范围的这件事是必然的，而只能给予一定程度的概率保证。
定义：
抽样估计的置信度是表明样本指标和总体指标之间的误差不超过一定范围的概率保证程度。用公式表示为：
P（ ︳ - ︱≤△x） = F（t）
表示：抽样误差不超过这一范围的概率。
由此可见，抽样极限误差和估计的置信度密不可分：
极限误差范围越小，估计的置信度（概率）也越小
极限误差范围越大，估计的置信度（概率）也越大
数理统计证明，概率和极限误差有一一对应的关系：
F(t) = % 时，△=1 ×
F(t) = 95％% 时，△=
F(t) = % 时，△=2
F(t) = % 时，△=3
这里1、、2、3 等称为概率度，用 t 表示
所以极限误差可以表示为
△ = t
t 的大小是由概率F（t）的大小决定
数理统计中将F（t）和 t 的对应关系编成《正态分布概率表》，已知其中某一项，通过查表可求得另一项（485页附录四）
概率和极限误差一一对应关系的几个例子
P（ ︳ - ︱ ≤△x ） = %
P（ ︳ - ︱ ≤△x ） = 95%
P（ ︳ - ︱ ≤△x ） = %
P（ ︳ - ︱ ≤△x ） = %
三、抽样推断（抽样估计的方法或参数估计）
抽样估计就是用实际调查的样本指标估计相应的总体指标。由于总体指标可称为参数，所以又称为参数估计，参数估计分的区间估计和点估计两种方法
（一）点估计：不考虑估计的误差，直接用样本指标代替总体指标。
（二）区间估计：根据给定的概率保证程度F（t）（或给定的估计误差范围△x ），对总体的指标进行估计。
具体步骤如下：
如给定概率保证程度F(t)，抽样推断的一般步骤：
⒈计算抽样平均误差
⒉给定概率保证程度，查表得概率度t
⒊计算抽样极限误差
⒋估计总体指标区间
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如给定估计的误差范△x，抽样推断的一般步骤：
1、根据给定的极限误差，可求出估计总体指标的区间范围（但区间范围无概率保证程度）
2、计算抽样平均误差
3、求出该区间范围下的概率度 t = △x÷
然后查表求出概率保证程度 F(t)
（有概率保证的区间才有效）
某灯泡厂某月生产5000000个灯泡，在进行质量检查中，随机抽取500个进行检验，这500个灯泡的耐用时间见下表：
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试求：⑴该厂全部灯泡平均耐用时间的取值范围
（概率保证程度）
⑵检查500个灯泡中不合格产品占%，试在
概率保证下，估计全部产品中不合格率的取值
范围。
求解如下：
⑴ ①计算抽样平均误差
②由概率保证程度，查表得概率度t=3
③计算抽样极限误差
④估计总体指标区间
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⑵p=%
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概率保证程度为时，t=1
习题：1、一批成品按不重复抽样的方法抽选200件，其中废品为8件，又知道样本容量是成品总量的1/20，当概率为95%时，估计废品率的范围
2、某高效由5000名学生，随机抽取250名调查每周看电视的时间，分组资料如下：
每周看电视时间（小时） 学生人数
2以下 22 试按不重复抽样的
2~4 56 方法，在%
4~6 92 的概率下,估计全部
6~8 60 学生每周平均看电
8以上 20 视时间的可能范围
合计 250
四、估计量的选择标准
1、估计量的含义：
是用来估计总体参数的统计量的名称。
对总体参数进行估计时，估计量不止一个，之所以选择了样本平均数来估计总体平均数，是因为它是一个优良的估计量。
2、实际中衡量优良估计量的标准：
有三个：无偏性、一致性、有效性
无偏性
无偏性要求：样本平均数的平均数等与总体平均数。
在随机抽样中，有时会抽到偏小的单位、有时会抽到偏大的单位，在无偏估计的情况下，这种误差没有系统性方向，随着样本的增加，这有大有小的误差会相互抵消。因此无偏估计量是没有系统性无差。
有偏估计量则不同，它的误差不会随着样本的增大而消失，而是具有一定的方向，会产生系统性误差
有效性
一个无偏估计量并不意味着这一估计量一定非常接近待估计的参数，它还必须是与总体参数的离散程度比较小。
离散程度通常用标准差来衡量，数理统计证明，和其他的估计量相比，样本平均数更靠近总体平均数，平均说来其离差（标准差）更小。
一致性
又称相合性，是指随着样本容量的增大，估计值会越来越接近于总体参数值。
如果一个估计量是一个一致估计量，那么样本越大估计的结果就越精确，估计的可靠性就越高；如果不是一致估量，增大样本不会提高其精确度和可靠性
第四节 抽样组织设计（抽样的组织方式）
一、抽样组织设计的基本原则
二、简单随机抽样
三、类型抽样
四、机械抽样误差
五、整群抽样
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一、抽样组织设计的基本原则
1、在抽样设计中首先要保证随机原则的实现
随机原则的含义：
要保证随机的原则应考虑许多问题，如：
（1）要有合适的抽样框
在抽样中用来代表总体并从中抽选样本的框架称为抽样框。
一个合适的抽样框必须考虑它是不是能覆盖总体的所有单位。
1936年美国总统大选《文学摘要》调查结果：
候选人 调查结果 实际选举结果
罗斯福 （民主党人） 43% 62%
兰登 （共和党人） 57% 38%
（2）取样的实施问题
2、考虑样本容量
3、考虑抽样的组织形式
4、考虑调查费用
二、简单随机抽样
1、定义：
简单随机抽样又称纯随机抽样，是按照随机的原则直接从N个总体单位中抽取n个单位作为样本。
简单随机抽样最符合随机原则。
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2、关于简单随机抽样的说明
（1）简单随机抽样的方法：在进行随机抽样之前，先对总体的各单位编上号码，然后用抽签的方式或根据《随机数字表》来抽选必要的调查单位。
（2）简单随机抽样适用于均匀总体
即具有某种特征的单位均匀的分布于总体的各个部分中。
（3）有重复抽样和不重复抽样两种方法
四位数的随机数字表(一部分)
0347 4373 8636 3661 4698 6371
9774 2467 6242 8114 5720 4253
1676 6227 6656 5026 7107 3290
1256 8599 2696 9668 2731 0503
5559 5636 6438 5482 4622 3162
1622 7794 3896 3949 5482 4622
8442 1753 3157 2455 0688 7704
6301 6378 5916 9555 0782 4272
3、简单随机抽样的抽样平均误差的计算、区间的估计、和必要的抽样单位数目的计算：
介绍必要的单位数目的计算（见203页）
4、简单随机抽样的优缺点
三、类型抽样
1、定义：类型抽样又称分类抽样，是先对总体各单位按一定标志加以分类，然后再从各类中按随机原则抽取样本，由各类内的样本组成一个总样本。
如：将总体N分成N1、N2、…Nm组
从N1中抽取n1 个单位、N2中抽取n2 个单位、…Nm中抽取nm 个单位，将n1、 n2、… nm相加，即组成一个样本。
这里，总体单位数 为：N = N1+N2+…Nm
样本单位数为：n = n1+n2+…nm
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类型抽样具体分为两种:
等比例类型抽样
不等比例类型抽样
2、关于类型抽样的说明
（1）、类型抽样中分组标志，一定是与研究目的有关的标志。
（2）、类型抽样的特点：是将分组法和随机的原则相结合
（3）、类型抽样的优点：
第一、它提高了样本的代表性
第二、降低了影响抽样平均误差的总方差
（4）类型抽样可以是重复抽样，也可以是不重复抽样
在总体分组的情况下，总方差由两部分构成：组间方差和组内方差，在类型抽样的情况下，组间方差可以不考虑。
类型抽样下的抽样平均误差和区间估计方法
习题:3、某长有甲乙两个车间,都生产保温瓶胆,乙车间的产量是甲车间的两倍，为了调查该厂保温瓶胆的保温时间，按两车间产量比例共抽查60 支瓶胆，调查资料如下：
车间 平均保温时间 保温时间额标准差
甲 25小时 小时
乙 28小时 小时
以95%的概率，估计全厂所有瓶胆的平均保温时间的可能范围。
四、机械抽样
1、定义：机械抽样又称等距抽样、或系统抽样，它是先按某一标志对总体各单位进行排队，然后依一定的顺序和间隔来抽取样本单位的一种抽样组织方法。
2、等距抽样分类：
（1）按样本单位抽选的方法不同，分为随机起点等距抽样、半距起点等距抽样、对称等距抽样
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（2）由于排队所依据的标志不同，等距抽样可分为按无关标志排队和按有关标志排队两种。
按无关标志排队类似于简单随机抽样，所以区间估计的方法和简单随机抽样的方法相同
按有关标志排队类似于类型抽样，其区间估计的方法和类型抽样的方法相同
等距抽样均为不重复抽样
五、整群抽样
1、定义：整群抽样是将总体划分为若干群（R群），然后按随机的原则从总体R群中抽取 r 群，对被抽中的 r 群中的所有单位均进行调查
2、整群抽样可以是重复抽样也可以是不重复抽样，
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