管 理 I 程 学 报
Jou~ud Industrial Englneering／Engitteering Martagement 2001年 第 2期
股票价格服从跳一扩散过程的期权定价模型
陈 超 邹捷中 刘国买
摘 要 股票价格 的跳 跃是 由于重 太信息的到达 ，本文在股 票价格 的相 对跳跃 高度与信 息有关的假 定下 ，推
导 出期权 价格 必缅满足的偏徽分方程．并给 出欧或期权 定价叠 或。
关键词 期权定价 ；砘一 扩散过程 ；相对跳跃 高度
中圈分类号：P830 9 文献标识码 ：^ 文章编号：J0O4-6O62f2o01)0"2-0074—02
引言
要对风险进行有效的管理．就必须对金融工具进行正确
的估价，如何确定金融工具的公平价格是它们合理存在与发
展的关键．m址 、SchMes和 Me．on三位教授在期权定竹方面
取得了突破性进展．推导出标的资产不付红利的欧式期权定
价公式，即 B．s公式。但 B-s模型的假设条件是相当严格
的，许多学者对其进行了各种各样的推广，如 Meaon(1973)随
机利率模型，Cox和 Ross(1976)波动率弹性常数模型，Rubin—
srein(1994)马尔科夫模型等。
在B．S模型及其以上推广中，股票价格行为被很定为连
续随机过程，在现实中，一些重大的信息到达会使股票价格
发生不连续的变动．即跳跃。基于此考虑，Merton(1976)建立
了跳跃一扩散模型，Aase(1988)建立了 1To过程和随机点过程
的混合模型，Scoll(1997)建立了具有随机波动率和利率的跳
跃一扩散模等。在这些模型中都假定股票价格的相对跳跃高
度是独立同分布的．而与引起跳跃的重大信息的相对重要性
无关 ，这与实际情况有较大偏差。一般说相对跳跃高度取决
于重大信息的相对重要程度，本文假定股票价格的相对跳跃
高度与引起跳跃的信息程度有关．将重大信息按相对重要性
分成若干类，修正了Me~on的跳跃一扩散摸型，获得了欧式股
票期权定价公式
l 股票价格行为模型
当一些重太信息到达时，可能引起股票价格的跳肤 我
们按信息的相对熏要程度将信息分为 类。定义一列独立
的随机 变量 X．，X2，⋯， ，其中 Xi≥ 一1(i=1，2，一，^ )，其
无条件期望为 m 。
假设市场上存在两种可连续交易的证券，其中一种为无
风险证券．称为债券．其竹格过程 S (t)满足微分方程：
—
d So
： r ， S (0)： l (1)
0
其中 r为无风脸利率；另一种为有风险证券 称为股票，其价
格过 程为 s( )，设 S( )满足随机微分方程 ：
i
dS
： ( 一 壹 ‘P．) + + 由 (2)
一
= I
其中 是股票的期望收益率．为常数； 是无跳跃发生时股
票收益率的方差，为常数； 是标准 Brown运动；q是与：独
立的参数为 的Possion过程； 山)是重大信息到达时，股票
价格的相对跳跃高度； ( )是取值于 I1，2，⋯． }上的随机
变量．其分布设为 P(y=i)：P．； ∑m．P．表示由P,~sion跳
跃带来的平均增长率。
2 期权价格行为模型
设 (1)=F(s，1)表示执行价格 E，到期 日 T的欧式看
涨期权，其中 F关于 一阶可导，关于 S二阶可导连续，山
11"0引理，期权的收益 口I表示成下面的形式：
dW
= ( 一 壹 ¨ dz+ ．(3)
其中
： [ s 山 一 )s +
+ ∑P^ (，(s(1+ ㈨)， )
一 F(S，t))]／ ’ (4a)
： 丁
aSF, (4b)
Yr㈦ =[，(s(1+置㈦ )， )一，( ， j]／F (4c)
m = E ( ㈦ ／y( )： i) (4d)
其中￡ 是关于 在 ’ ( )：i下的条件期望算子，，的下
[收甍日期】2o8043~一29(修改稿)[作者单位】长沙铁道学院科研所，长抄 410075，
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究 报
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Vol 15． No 2 管 理 工 程 学 报 2001年第2期
标是偏微分算子， 是第i类信息引起股票价格的相对跳跃
高度
考虑一包吉债券、股票和期权的硅券组合，其比例分别
为 ．、 和 (7t"．+ 2+ 】=1)，记此证券组合的价值为
P．由(1)、(2)和(3)得组舍 的收益可表示为 ：
： ( 一 壹 + 出+ 由 (5)
其 中
} = + u+" t6a)
= 2 + 】 。 (6b)
，⋯ ： 2Xrl 、+ 3[，( (1+t㈦ ， )
一 Fts．#11{F L6c1
tn = (J ㈨ ／y( )= ) (6d)
选取 21- = ， = 使得 + =0，则(5)式可写
为：
； ( 一 ^壹 【7j
假设由跳产生的风险为非系统风险，由资本资产定价理论．
此时资产的期望收益率为无风险利率 r．即 t2：=r。
于是我们得到下面的方 程组 ：
： 一 ㈤
将(4)式及 + + =1代^上面的方程组，得
÷ S +(r一 ∑m；p．)s + —rF
+^ ∑ (F(S(1+X．)． )一F(S．f))=o (9)
脚为期权 F满足的偏微分方程。
由欧式期权的定义知 F(S． )满足边值条件：
F【0， )：o (10)
F(S，r) S—g，0I (【1)
3 期权定价公式
定理 股票价格过程为(2)式的欧式买^期权价值为
F(S ， ! ：-：：!塑 !)
n1I__‘ !
’￡1_、【 【s 17。( )
．点( + ) 苫 l 一F． 2，川(_2)
其中 T ，w(s，r；E， ．r)是 B-S期权定价公式，L 是
第-类信息引起股票价格的第 欢相对跳跃高度，对固定 i，
～
置 ， t⋯是独立同分布的， ～ 、是美于
．
( r
，
)⋯
，
(1+ 的期望算子【 m=0， =1—2 。。， )
容易验证(12)式是微分方程 (9)满足边值条件 (10)和
(11)的解
4 实证分析
我们取股票现行价格 S=300，渡动率 =0 16．无风险
利率 r=0 025．在假设相对跳跃高度服从对数正态分布的假
设下，分别对 =0、1、2，用公式(12)计算出欧式看涨期权的
价值。计算结果如下表：
裹 l
其中 Po、P 、P 分别表示 =0、I、2时欧式期权的价值
(Po即为无跳时的 吕s期权价值)，P是 Monle Crlo模拟结
果
表中的数据表明，随着 的增大．欧式期权的价值越来
越接近于数值模拟的结果 因此．本模型的计算结果优于
B-S期权定价模型的计算结果。
参 考 文 献
I Merton RC Option Pricing When Underlying Stock Returns A Di~on—
tinu~ [J]Joumat of Ec0肿Ⅱli ．1976．3：125 144
2 K~t2as I口d She~．e sE B— Moti~ 口d St~lmaic c c us J
N york：Springer．I988
3 Scott LO Frieing S k Option In a jump—Diffusion Mode L with Stochastic
Volatility And Interest Ra s：Aplflieations of Fouter la,'e~ion Methods
【J Journa／of MmbemBclc Finance．1997．4：4[3—426
4 Cox】C and R0 SA n Valuati~ Options fnr Im m L ~ochastic
Pmces吕 J J J0uⅡIa【of F⋯ Ee~omies，1985，3：145—166
5 a^se KK Contingent Clai~ Val~ tion Wb The Secm41v PnceJsaIs
combh bn a【1D Pr吨蝴 and A Rand~ Pthm n0 始fJ Ioranal of
Stochastic Proe~ Their App[ieatitms．1988．28：I85—220
．
责任一辑： 张 蓄
一 75
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