第29卷 第1期
2001年 2月
河南师范太学荦报(由膊科学版)
D ，H删 Na~nal Urdvers (Na
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tural S
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cie~e)
． 29 ．1
m ．2001
文●角号 ：1000—2367(2001)01—0027--04
股票价格过程期望收益率的估计
张建海，武锡环
(河南师范大学数学与信息科学学院一河南 新乡，453002)
摘 要：奉文讨论了股票价格过程期望收益辜的估计问题
关键词：股票价格过程}飘移系数‘估计
中图分类号：O 211、64、0 224．7 文献标识码：A
著名的Black--Scholes公式发表以来，期权等衍生证券的定价理论取得了一系列重大突破，与此相关
的市场完全性、无套利性、等价鞅测度、投资组合等也有了长足的进展，然而由于金融市场的复杂性，股票
价格过程的统计推断问题研究得尚不充分，譬如股票期望收益率的估计问题就一直没有得到很好的解决。
考虑以下模型
dS,= dt+ S，dX， (1)
其中 为常数，{ ，)为具有独立增量的零均值连续Gauss过程，且对任意的T>0，存在C >O，使当 ，
f∈[-0，丁]时有
EI五 一 ，I‘ C I —fI。
现引进方程
dY,一 Y dX (2)
Yo= S0
不难验证(1)与(2)的解分别为
S，： 。
和
Y r
可见(1)与(2)的解之间存在着一一对应关系，因而具有相同的轨道空间，该空间的元素记作 ．
定理 1 设 为方程(2．2)的解，则对一切具有二阶连续导数的有界函数，(以下记作，∈cj)，
，( )一f(Yo)一吉』( ) f ( )d
为连续局部鞅。
证明 在 =s 一{ 中，X 为连续鞅，(-- )为有限变差过程，由Ito公式可得
，( )=f(y。)+I， (Soe‘一~d)dX
收精日期：20。0一O7—13．
第 1作者筒舟：张建海(1964~)．男，河南辉县人，河南师范大学讲师
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河南蚌范走学学报(白燕科学版) 2001阜
+ ～} (s。 _一~4)d(--号 )+{_』， (．s。d一{．：)d
一 f(yo)+ (弘)d + ( ) ( )d
因此
，( )一f(yo)一专f( ) 厂(儿)d《一p(弘)d儿
}
= I，( )儿d墨
由于 x 为非负连续下鞅，因而为(LD)类过程，于是 可开拓为 P一 (( ，f]×F)(F∈ )上的
Doteans涓度([1])。
对 s<t，F∈ ，有
(( ，f]×F)=E[ (鄹 一研)]
=E[ (置 一墨) ]+2E[-IgX,(墨 一置)]
因为五 为独立增量过程，FE ，所以有
E[j，置(置 一墨)]=E(jF置)E(置 一X，)=0
． 于是有
：(0，f]×F]=E[ (j —X。) ]= ( 一 )P(F)一F ×P(0，f]×F)
其中Re为 砰生成的 Stieltjes测度。可见 。和 ×P在P上一致，因为
(，( ) ) c( ) c(S。) -
J P。 d( ×P)一J(Ee~x-)d <。。
所以，(汕) ELf(I-0， ]×0，P， 。)，故I (yDy．dX,为连续局部鞅。
定理 2 设 为(2)的解对应的概率测度，则存在 《P。，且
dP．
= exp{ 一专 井}
证明 因为 为(2)的解的分布，所以对 ，∈c；，
，( )一f(w。)一号』(” )。，( )d
为连续 P 局部鞅。由此可推出 一 。及
}
一 钟5一 l ：d
{
为连续Po局部鞅。令 =撕一 o，则 一 + 。，由半鞅的分部积分公式得
～ ～
= 硼 +2I ．dw．+[Ⅻ]r
于是可知
2 ． +由 一 d
为 局部鞅，即有限变差部分为0的半鞅。故有
～
1一I d
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第 1期 张建海等：股票价格过程期望牧量率的估计
令M— 』 d二 ，则 为连续 局部鞅，且
[ ]J— 去d[三] 一 一
记
一exp{M 一 [ ] }
因为对任意的 t>o有
E {㈣ <。。
所以 z为P。鞅([1])，且Ev。z —1．对任意的t>o，AEFt令
(』4)一』Z,dPo
则存在唯一的概率测度 ([1])，使得对任意的t>o有
P I，一Q
因而
参 z
由以上讨论可见，参数 的对数似然函数为
)= 孥一 1 2井
因为
工 ( )一f dS,一 ．
工”( )一一 醇 < 0
1醇 + log
』4一{“：0 “ 7T，警无意义}
> 0d t，
。
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． f筹若訾>。 壮鬣 。 【璺 否则
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3O 河南师范大学学报(自蒜科学版) 2001生
则 醒右连续 。从
及
可得
一 』
＆一SoeX,+~一{
一 。s妻+{ 一 +置一 麦a +x
在对 醒所做的一些假定下，可讨论 的连续样本加权最小二乘估计及其离散样本逼近
。
参 考 文 献
1 黄志远．随机分析学基础[M]．武汉：武汉大学出版社，1989
2 肖庆宪，郑祖康．股票价格过程方差函数的统计推断口]．应用概卑统计，2000．(16)2：182~190
The Estimation of the Expected Rate of Return of a Stock Price Proce~
ZHANG Jian·haj。WU Xi．huan
(Coll~ge of MathemⅡtics and f0rn~tion Sci~ve
， Hcmm Nor¨l且I University．Xinx~ ng，453002)
Abstract：This paper disCUSPS the estimation of the expected rate of return of stock price pr0cess
．
Key words!stock price processf drift paTameter‘estunati0n
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