第五章、灵敏度分析
一、 什么是灵敏度分析
我们前面讨论的线性规划问题，其目标
函数系数，约束系数和约束常数都是确定的
常数，但实际问题中，由于各种因素的影响，
这些常数是有变化的。例如产品的需求量、
产品的售价、原材料和能源的价格以及资源
的供应量等的变动，从而引起 和
的值的变化，工艺条件的改变， 的值就发
生变化。
于是，我们面临这样的问题：当线性规划
问题的某些常数发生变化时，对已求出的最
有解有什么影响？显然，当线性规划问题的
一个或几个常数发生变化以后，原来已求得
的结果一般会发生变化。当然，可以用单纯
形法从头计算，以便得到新的解。这样做很
麻烦，而且也没有必要，因在单纯形表迭代
中，每次都和基变量的系数矩阵B有关，因
此，可以把发生变化的个别系数，经过一定
的计算直接填入最终表中，并进行检查和分
析----灵敏度分析。
所谓灵敏度分析:
就是在建立数学模型和求得最优解之后，
研究线性规划的一些系数变化时，对最优解
产生或最优基有什么影响？或者这些系数在
什么范围内变化时，最优解或最有基不变。
有了灵敏度分析就不必要为了应付这些变化
而不停的建立新的模型和求解。
用灵敏度分析以下几种情况
一、目标函数的系数发生了变化，对最优解
会产生什么影响
二、约束条件右边的值发生了变化，对最优
解会产生什么影响
三、增加了新变量，对最优解会产生什么影
响
四、用QM软件如何分析
二、目标函数中价值系数 的变化分析
技术方法：用单纯形法分析
用图解法分析
可以分别就对应的基变量和非基变量来讨论。
若是非基变量的系数
是基变量的系数
对于两个变量的线性规划问题的灵敏度
分析，我们还可以用图解法进行
例题2 某工厂在计划期内要安排生产Ⅰ、
Ⅱ两种产品，已知生产单位产品所需要的设
备台时和A、B两种原材料的消耗以及资源的
限制情况，如表1-1所示：
问工厂应分别生产多少个Ⅰ产品和
Ⅱ产品才能使工厂获利最大？
为了解决这个实际问题，我们把它归
结为数学问题来研究。
我们就得到了描述该问题的一组数学
表达式：
用图解法或单纯形法求得最优解为：
我们知道生产一个单位的我们知道生产一个单位的ⅠⅠ产品可以获利产品可以获利5050元，元，
生产一个单位的生产一个单位的ⅡⅡ产品可以获利产品可以获利100100元，在目前的元，在目前的
生产条件下已求得生产生产条件下已求得生产ⅠⅠ产品产品5050单位，生产单位，生产ⅡⅡ产产
品品250250单位可以获得最大利润。单位可以获得最大利润。假设两种产品中的假设两种产品中的
某一产品的单位利润增加或减少时，我们意识到某一产品的单位利润增加或减少时，我们意识到
为了获取最大利润就有可能应该增加或减少这一为了获取最大利润就有可能应该增加或减少这一
产品的产量，也就是改变最优解。但是实际上这产品的产量，也就是改变最优解。但是实际上这
一产品利润在一定范围内变化时整个线性规划的一产品利润在一定范围内变化时整个线性规划的
最优解其实是不会变化的，即仍然生产最优解其实是不会变化的，即仍然生产5050单位的单位的
ⅠⅠ产品和产品和250250单位的单位的ⅡⅡ产品而获利最大。当然其中产品而获利最大。当然其中
某一产品利润变化超出一定范围的话，最优解就某一产品利润变化超出一定范围的话，最优解就
会受到影响了。我们的任务就是用简单的图解法会受到影响了。我们的任务就是用简单的图解法
揭示这一变化的范围，定出其上限和下限。揭示这一变化的范围，定出其上限和下限。
从图1-1中可以看出只要目标函数的斜率在
直线E（设备约束条件）的斜率与直线F（原
料B的约束条件）的斜率之间变化时，顶点B
仍然是最优解。
如果目标函数直线逆时针旋转，当目标函数
的斜率等于直线F的斜率时，则可知直线AB
上的任一点都是其最优解。如果继续逆时针
旋转，则可知A点为其最优解。
如果目标函数直线顺时针方向旋转，当目标
函数的斜率等于直线E的斜率时，则可知直
线BC上的任一点都是其最优解。如果继续顺
时针旋转，当目标函数的斜率在直线E的斜
率和直线G的斜率之间，则顶点C为最优解。
当目标函数的斜率等于直线G的斜率时，则
直线CD上的任一点都是其最优解，如果在继
续顺时针旋转，可知顶点D为其最优解。
问题：
当目标函数系数中的一个改变时，要
保持最优解不变，如何求出其范围
三、常数项（资源数量）
变化的分析
四、添加新变量的分析
仍然依例1来分析添加新变量的情
况
现在又试制成一种新产品E，生
产1吨分别消耗原料甲、乙为2
和1/2吨，问他每吨的利润是多
少时才能投产？
在上例中引进新变量 变为：
对于上式B仍是可行基，且有
要使B是上式的最优基，只需。
经济上如何解释
五、
1、如何使用QM软件进行灵敏度分析。
2、经济意义是什么
六、实际举例
用QM软件求解和分析
谢谢
