第!!卷 第"期 运 筹 与 管 理 #$%&!!，’$&"
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收稿日期：())(9)"9(!
作者简介：杨桂元，（!:;<9）男，安徽萧县人，基础部副主任，教授，硕士生导师，研究方向：管理科学、数量经济学。
影子价格及其灵敏度分析
杨桂元
（安徽财贸学院 基础部，安徽 蚌埠(==)>!）
摘 要：影子价格真实地反映了资源在经济结构中最优决策下对总收益的影响和贡献大小，是实
现资源合理配置的重要依据。本文首先介绍影子价格的经济意义和计算方法，然后从影响影子价
格变化的因素入手对影子价格进行灵敏度分析，最后探讨影子价格在经济管理中的应用。
关键词：影子价格；线性规划；最优基；资源配置；灵敏度分析
中图分类号：*((!?! 文章标识码：. 文章编号：!))<9=((!（())(）)"9))!(9)@
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JEMJ$ONH7M7EI$FEQ%7M7I$BM87IE%%$8ENC$F&/H7LEL7MCFNM$JB87INH778$F$RC8E%ICPFCOC8EF87EFJ
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IHEJ$KLMC87Q7PCFFCFPKCNHNH7OE8N$MIKHC8HCFO%B7F87INH7NMEFIO$MRENC$F$ONH7IHEJ$KLMC87，
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EFE%DICI
! 线性规划问题及其对偶问题
设经济管理中提出如下问题：某企业用6 种资源!!，!(，⋯，!6 生产"种产品2!，2(，
⋯，2"，资源的投入限量分别为4!，4(，⋯，46；产品的单位价格分别为.!，.(，⋯，."；每单位产
品27对资源!%的消耗量为-%7（%，7U!，(，⋯，"）。应如何安排生产可使总收益最大？
根据提出的问题，可以建立线性规划数学模型：
万方数据
（!"）#$%!&!
"
#$’
%#&#
()*)
!
"
#$’
’(#&#")(（(&’，+，⋯，*）
&##,（#&’，+，⋯，"
$
%
& ）
其中，&#为生产产品+#（#&’，+，⋯，"）的数量（决策变量）。（!"）的对偶线性规划问题
为：
（-!"）#./,&!
*
($’
)(-(
()*)
!
*
($’
’(#-(#%#（#&’，+，⋯，"）
-(#,（(&’，+，⋯，*
$
%
& ）
对线性规划问题（!"）引进松弛变量&"0’，&"0+，⋯，&"0*，化成标准形
（!"’）#$%!&./
()*)
0/&)
/#｛ ,
其中
0&
’’’ ’’+ ⋯ ’’" ’ , ⋯ ,
’+’ ’++ ⋯ ’+" , ’ ⋯ ,
⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯
’*’ ’*+ ⋯ ’*" , , ⋯
%
&
’
(’
，)&（)’，)+，⋯，)*）1
/&（&’，&+，⋯，&"，&"0’，&"0+，⋯，&"0*）1，.&（%’，%+，⋯，%"，,，,，⋯，,）。若2（0）&
*，则0的任意一个*1* 非奇异子矩阵+都是（!"’）的一个基，将变量的顺序及其对应的
系数重新排列，可用分块矩阵记为
/&
/+
/
%
&
’
(3
，0&（+，3），.&（.+，.3）
对于线性规划问题（!"’）的最优基+，满足+2’)#,，.2.++2’0",。所对应的单纯形
表可以表示成：
1（+）&
.++2’) .2.++2’0
+2’) +2’
%
&
’
(0
问题（!"’）的最优解为/+&+2’)，/3&,，#$%!&.++2’)，由此舍去松驰变量即可得
出原线性规划问题（!"）的最优解。由对偶定理［’］，（!"）的对偶问题（-!"）的最优解为4&
（-’，-+，⋯，-*）&.++2’，#./,&#$%!&.++2’)，其中-(（(&’，+，⋯，*）就是第(种资源
的影子价格。
+ 影子价格的概念与计算方法
在对偶线性规划问题（-!"）中，对偶变量-(（(&’，+，⋯，*）的经济意义可描述为第(种
3’第4期 杨桂元：影子价格及其灵敏度分析
万方数据
资源的影子价格（!"#$%&’()*+），它表示在这一经济结构中的第!种资源在最优决策下的边际
价值。
若"是线性规划问题（,-.）的最优基，（/,-）的最优解#0（$.，$1，⋯，$%）0&""2.，’
0(0&""2.)，则
!’
!)0
!(
!)0&""
（$.，$1，⋯，$%），所以变量$.，$1，⋯，$% 的经济意义
是：在其他条件不变（最优基也不变）的情况下，单位资源变化所引起目标函数最优值的改变；
或由!’
!)!
0!(!)!
0$!（!0.，1，⋯，%），表示在其他条件不变的情况下，单位第!种资源的变化所
引起总收益的改变。这说明$!代表第!种资源在最优决策下的边际价值。
由于影子价格是资源在最优决策下边际价值的反映，所以没有最优决策就没有影子价格。
同一资源在不同的经济结构和不同的最优决策（对应的线性规划问题可能有不止一个最优解）
之下影子价格可能不同，因此影子价格是受经济结构本身客观条件制约的。由问题（,-）与问
题（/,-）的最优解之间的关系3)4(03#5’0&""2.)0#)，这说明资源的影子价格定量地
反映了资源在最优决策之下应为总收益提供的价值。
$!作为第!种资源的影子价格不同于市场价格，它代表在资源合理配置的条件下，对第!
种资源的合理估价，这种估价是针对具体的经济系统和最优决策而言的，因而又称为最优计划
价格，影子价格随着经济系统及最优决策的不同而改变，所以没有最优决策就没有影子价格。
在市场经济条件下，当某种资源的市场价格低于影响价格时，企业应当买进这种资源用于扩大
生产而增加利润；当某种资源的市场价格高于其影子价格时，企业决策者应该把这种资源转让
出去一部分，实现资源在全社会的合理配置。
资源的影子价格是对资源进行合理配置的重要依据。根据线性规划的对偶原理，影子价
格的确定与最优基"密切相关，单纯形方法和对偶理论是确定最优决策和资源影子价格的有
效方法。如果"是（,-.）的最优基，则资源的影子价格就是对偶问题（/,-）的最优解#0
&""2.。因此，我们可以利用线性规划问题（,-.）的最优基"所对应的单纯形表*（"）来求
出各种资源的影子价格，*（"）中第!种资源（第!个约束条件）对应的松驰变量+,6!（!0.，
1，⋯，%）的检验数的相反数就是第!种资源的影子价格。在求解线性规划的软件（如789、
,:;/<等）中，在求出最优解的同时自动输出各种资源的影子价格，以供我们进行进一步的分
析。
由对偶理论的松紧定理［.］，若第!种资源的影子价格$!"=，则第!种资源必是在最优决
策下消耗尽了的，第!个约束条件为等式，即#
,
-..
/!-+-0)!，这时若增加第!种资源的投入!)!
（但需保持原最优基不改变），必然会使总收益增加!00$!!)!；若第1种资源在最优决策之下
未耗尽，第1个约束条件为不等式，即#
,
-..
/1-+-$)1，仅仅增加这种资源的投入必然不会使总
收益增加，这说明第1种资源的影子价格$10=。
值得指出的是，若某种资源的影子价格等于零，并不能肯定该种资源有闲置。可能有以下
两种情况：（.）该种资源在最优决策之下未被耗尽；（1）该种资源在最优决策之下虽已耗尽，但
单独增加该种资源的投入不能满足扩大生产规模的条件，因此不能使总收益增加。
例! 某经济系统面临利用四种资源生产两种产品的决策问题，各种资源的限量、各种产
品的单位产值以及各种产品对资源的消耗系数如表.，试确定总收益最大的产品产量。
>. 运 筹 与 管 理 1==1年第..卷
万方数据
设计划生产产品甲、乙分别为!!，!"单位，则可以建立线性规划模型为：
表!
#$%&’!
产品甲 产品乙 资源限量
资源! " " !"
资源" ! " (
资源) * + !,
资源* + * !"
单价 " )
（-."）/$0"1"!!2)!"
3454
"!!2"!"!!"
!!2"!"!(
*!! !!,
*!"!!"
!!，!""
#
$
% +
引入松弛变量!)，!*，!6，!,（分别表示为各种闲置的资源数量），则可将（-."）化为标准
形为：
（-.)）/$0"1"!!2)!"
3454
"!!2"!"2!) 1!"
!!2"!" 2!* 1(
*!! 2!6 1!,
*!" 2!,1!"
!!，!"，!)，!*，!6，!,"
#
$
% +
用单纯形方法求解，线性规划问题（-.)）的最优基为#1（$"，$6，$!，$,），最优其所对应
的单纯形表为（表"）。
表"
#$%&’"
%（#） && !! !" !) !* !6 !,
" !* + + 7+’6 7! + +
!" " + ! 7+’6 ! + +
!6 + + + 7* * ! +
!! * ! + ! 7! + +
!, * + + " 7* + !
由表"可以看出，线性规划问题（-.)）的最优解为：!!1*，!"1"，!)1!*1!61+，!,1*，
/$0"1!*。即分别生产产品甲、乙*单位和"单位，总收益最大，/$0"1!*。由!)1!*1
6!第,期 杨桂元：影子价格及其灵敏度分析
万方数据
!!"#，!$"%可知，资源&、’、(已全部耗尽，资源%还有%单位闲置。再由单纯形表可以看
出，影子价格""#$$)&"（#%!，&，#，#），四种资源的影子价格分别为#*!，&，#，#。虽然资源(
已被耗尽，但其影子价格等于零，这说明单独增加资源(的投入，不能形成扩大生产规模的条
件，故其影子价格等于零。
( 影子价格的灵敏度分析
由于影子价格受最优基的影响，一旦最优基改变，就有可能使影子价格发生变化。基$
为线性规划问题（+,&）最优基的条件是：$)&&!#，#)#$$)&’"#，凡是能够影响这两个条
件变化的因素，它们的变化都有可能使影子价格改变。下面根据线性规划的灵敏度分析来研
究一些因素的变化对影子价格的影响。
!"# 资源限量产生波动对影子价格的影响
当资源限量&"（&&，&’，⋯，&(）)产生波动时，不会影响条件#)#$$)&’"#的成立，但
可能使基$的可行性发生变化。当&产生波动时，若仍能使$)&&!#成立。则最优方案不
需改变，各种资源的影子价格也不发生变化；当&产生波动，使$)&&!#不再成立，这时基$
就不是最优基，可根据对偶单纯形方法寻求新的最优基，确定在新的经济结构中各种资源的影
子价格。第*种资源的影子价格"*是该种资源限量&*的单调不增的非负阶梯函数。对于例&
中的线性规划问题（+,’），通过对第二种资源限量&’进行灵敏度分析，可得第二种资源的影
子价格"’与&’之间的关系
［’］：
"’"
’ #"&’#%
(
’ %"&’#-
& -"&’#.
# &’!
$
%
& .
这个表达式表明资源的影子价格反映了该种资源在经济结构中的稀缺程度，在其他条件
不变的情况下，某种资源的供量越小，则越稀缺，其影子价格越大；某种资源的供量越大，则不
稀缺甚至有闲置，其影子价格越小直至为#。
第*种资源的影子价格"*是第+种资源限量&+（*’+）的单调不减的非负阶梯函数。在例
&中，同样可以分析在其他条件不变的条件下，第一种资源限量&&的变化与第二种资源的影
子价格"’之间的关系为：
"’"
(
’ &&!&’
&
’ &#"&&#&’
# #"&&#
$
%
& &#
这个表达式说明第一种资源的供应量越大，则第二种资源相对越稀缺，其影子价格越大；
第一种资源的供量越小，则第二种资源相对富余甚至闲置，其影子价格变小直至为#。所以，
资源的影子价格也反映了该种资源的相对稀缺程度。
!"$ 效益系数,+的波动对影子价格的影响
$& 运 筹 与 管 理 ’##’年第&&卷
万方数据
当效益系数!"产生波动时，不会影响最优基#的可行性，但会影响到条件$!$##!"%
!#，显然影子价格&$$##!"与这个条件密切相关，所以可能引起影子价格的变化。
若波动的是非基变量’"的系数!"，由最优性条件可以看出，!"的波动只会引起该非基变
量检验数!"的变化，要使最优方案和影子价格不变，必须满足!"$!"!$##!"("!#，即!"!
$##!"($&("。其经济意义为：只要第"种产品的单位产值!"不超过由现行影子价格所确定
的单位产品所消耗资源的价值（也就是用影子价格所核算的成本），则第"种产品就不利于投
产，原最优方案和影子价格就不发生变化；若!"!&("不再成立，则第"种产品必须投产才能
达到有限资源的合理配置，就必须改变原最优方案，影子价格就要发生变化，这要结合灵敏度
分析进行最优基的调整来讨论影子价格的变化。
若波动的!"是基变量’"的效益系数，则所有非基变量的检验数都有可能改变，这样可以
确定!"的范围，使其满足$!$##!"%!#，这时最优方案不需调整，影子价格也不发生变化。
一旦!"的波动超出使$!$##!"%!#成立的范围，最优方案就要调整，影子价格也要发生变
化。这说明当!"在允许范围内波动时，原最优方案不安排生产的产品不因!"的波动而使由资
源的影子价格所确定的单位产品应创造的价值低于其单位产值，因而不调整生产方案。但由
于随着!"的波动，单位产值也随之而波动，资源必须进行重新配置，各种资源的影子价格也随
之而变化，新的影子价格要结合灵敏度分析进行计算。如例"中产品乙的价格!%的波动与第
二种资源的影子价格)%之间的关系为：
)%$
# #!!%"%
!%!% %!!%"&
% !%#
$
%
& &
该表达式可以解释为：由于产品乙的生产要消耗第二种资源，随着!%的增大，第二种资源
的影子价格也不断增大，但生产产品乙不仅消耗这一种资源，还消耗其他资源，当!%#&时，在
其他条件不变的情况下，第二种资源的影子价格不超过%。因此，要增大总产值，不仅要增加
这一种资源的投入，还要增加其他资源的投入。
!"! 消耗系数*+"产生波动对影子价格的影响
在生产过程中，由于通过技术革新、加强生产管理等方面的原因，会使消耗系数*+"产生波
动（上升或下降）。若*+"是基矩阵#的某个元素，则*+"的波动会引起整个最优基的变化，虽然
这种情况比较复杂，但对具体问题分析较方便，兹不赘述。若*+"是非基矩阵,的某个元素，则
它不会影响到条件#!"-##，而只能引起第"个非基变量检验数!"$!"!$##!"("的改变。
若*+"的变化仍使!"$!"!$##!"("$!"!&("!#成立，原最优方案不变，各种资源的影子价
格也不会改变，这说明当第"种产品的消耗系数波动时，只要用现行影子价格所确定的单位产
品成本&("大于该种产品的单位产值!"，则原最优方案不变，即仍不利于投产第"种产品；反
之，若单位第"种产品对第+种资源的消耗系数降低使得&(""!"，这时应投产第"种产品，资
源将要重新配置，影子价格就会改变。
!"# 新产品投产对影子价格的影响
在原有资源的限量之下，开发新产品反映为在（’(%）中增加新变量。新产品的单位产值
为!.，新产品对资源的消耗系数向量为(.。当增加新变量’.（新产品的产量）后，基#的可行
性不会受到影响，原来非基变量的检验数也不会受到影响，只要看新增变量’.的检验数是否
)"第*期 杨桂元：影子价格及其灵敏度分析
万方数据
满足!!!"!"#$$"#%!!"!"&%!!$，即"!!&%!。这说明：#$$"#%!!&%!是新产品单位产
出所消耗的资源按现行影子价格所计算的成本，若它大于单位产值"!，则新产品的投产就会亏
损，因此新产品不宜投产，原最优方案及各种资源的影子价格不改变；若"!"#$$"#%!，则新产
品的投产会增加利润，资源要重新配置，资源的影子价格也要发生变化。
在例#中，现开发一种新产品，对四种资源的消耗系数向量为%!!（%，#，%，%，）’，这时按
现行影子价格计算的成本为#$$"#%!!%，当单位产值"!!%时，不利于新产品投产；当%#"!
!%(&时，有利于新产品的投产，最优方案要改变，可用对偶单纯形方法求得四种资源的影子价
格分别为"!"#，&"%"!，$，$(&"!"#；当"!"%(&时，最优方案仍需调整，影子价格又有新的变
化。
!"# 增加新的约束条件对影子价格的影响
对于由若干种资源进行生产的经济系统，有时受到产品需求量、环境保护、供电量、供水量
等条件的限制，需要增加新的约束条件。一般来说，增加了新的约束条件，基矩阵$的阶数就
会增加，即可能影响$"#)$$，也可能影响到#"#$$"#*!$的成立。在对原最优方案进行
调整的过程中，总产值一般要下降，最优基要改变，就会引起影子价格的变化。在例#中，在原
来的条件下，四种资源的影子价格分别为$(&，#，$，$；但若增加新的约束条件%+#’+%!(，则
可以计算出这四种资源的影子价格分别为$，$，$，$)&；如果增加新的束条件为%+#’*+%!
#%，那么这四种资源的影子价格又分别为$，#)%&，$，$等等。
+ 影子价格在经济管理中的应用
影子价格真实地反映了资源在经济结构中最优决策下对总收益（目标函数）的影响和贡献
率大小，资源的影子价格越高，表明该种资源对总收益的贡献越大。当影子价格大于零，表明
该种资源在最优决策之下已充分耗尽，并成为增加总收益的紧缺资源，为短线资源；对于在最
优决策下尚有闲置的资源，其影子价格等于零，则成了长线资源。影子价格在经济管理中有以
下几个方面的应用：
$"% 影子价格从资源利用的最优角度指出了企业挖潜革新、扬长避短的方向
由于影子价格大于零的短线资源已成为企业进一步扩大生产增加总收益的瓶颈，所以，企
业管理者一方面可在影子价格大于该种资源的市场价格时适量增加这种资源的投入，即可增
加企业的总利润；另一方面在生产工艺上革新、加强管理，降低该种资源的消耗，也必将使企业
增收节支，提高经济效益。对于在最优决策下尚有闲置的长线资源，其剩余资源就是进一步发
展生产的潜在优势，它给企业管理者提供了以增加长线资源为主要资源的新产品投产的可能
性，或将剩余资源出售给其他生产企业，为合理配置资源提供了依据。
当某种资源的影子价格高于市场价格时，企业的决策者适当增加这种资源的投入扩大生
产规模，可以增加利润；但随着资源投入量的增加，资源的影子价格会逐渐变小，当资源的影子
价格等于其市场价格时，不再增加该种资源的投入。当某种资源的市场价格高于影子价格时，
企业的决策者应把这种资源转让出去适当的一部分，而不是全部转让出去；但随着该种资源投
入的减少，其影子价格逐渐增加，当资源的影子价格等于市场价格时，不再出售该种资源。以
上决策过程要结合线性规划的灵敏度分析进行，这就是寻求资源最佳配置的平衡点：资源的市
场价格等于其影子价格。
,# 运 筹 与 管 理 %$$%年第##卷
万方数据
!"# 影子价格可以用来估计资源的现有市场价格对买卖双方的可接受程度
对于某种资源，买者希望以尽可能低的价格购入，卖者希望以尽可能高的价格出售。买方
购买该种资源作为自己的生产投入，只有当资源的市场价格小于其影子价格时的进一步投入
才能获得利润，否则将无利可图；卖方生产这种资源（对卖方来说是产品）出售，要求产品的价
格必须大于自己的生产成本，否则就会亏本。因此，资源的合理价格必在其成本与影子价格之
间，但随着管理水平的不同，最优决策也不相同，影子价格也会不断变化，资源的市场价格也随
之波动。
!"$ 影子价格可作为企业调整生产方案的依据
若企业生产第!种产品，产品对" 种资源的消耗系数向量#!!（$"!，$#!，⋯，$"!）%，产品
单位价格为&!，则’(($"#!!)#!!!
"
*+"
$*!,*表示在最优决策之下，生产单位第!种产品（按
照影子价格测算）的成本。当&!")#!时，表明第!种产品的单价低于该产品的成本，此时生
产第!种产品是亏本，故不宜生产该种产品；当&!#)#!时，说明第!种产品的单价高于成本，
生产第!种产品是有利可图的，故应该投产该产品。由于产品的市场价格是经常波动的，影子
价格也随经济系统与管理水平的变化而变化，产品的成本也不断变化，企业决策者可根据这个
原则来调整自己的生产方案，使企业始终处在“最优”的状态。实现资源在全社会的合理配置。
!"! 影子价格可用于同类企业经济效益的评估
对于同类企业，具有类似或相同的经济结构，资源的影子价格反映了企业管理水平和技术
水平。对于同一种资源，影子价格高的企业经济效益就好，同样的投入产生的效益高于其他企
业。管理水平和技术水平高的企业，显示出低消耗、高效益，同一种资源的影子价格高于其他
企业，在增加资源投入时就掌握了主动，这就体现了影子价格在优化资源配置中的作用。
参考文献
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［)］程理民，张亚光%运筹学（+）［&］%北京：科学技术文献出版社，"’((%
［,］钱颂迪%运筹学［&］%北京：清华大学出版社，"’’-年第#版%
’"第.期 杨桂元：影子价格及其灵敏度分析
万方数据
