第25卷 第 3期
2007年 9月
广西师范大学学报：自然科学版
Journal of Guangxi Normal University：Natural Science Edition
Vo1．25 No．3
Sep．2007
股票价格服从跳扩散过程的双币种期权定价
马奕虹，邓国和
(广西师范大学 数学科学学院，广西 桂林 541004)
摘 要：在股价服从 Merton跳扩散模型下考虑了4种双币种标准欧式看涨期权的定价。利用鞅方法和Gir—
sanov定理，给出了国内外利率为常数时的定价显示式，并通过实例计算与Black—Scholes模型的相应结果进
行了比较。
关键词：双币种期权；跳扩散模型；鞅方法
中图分类号：O211．6；F803．9 文献标识码：A 文章编号：1001—6600(2007)03—0052—04
Black—Scholes期权定价模型『l 及其后来的许多研究 ．3]，多基于股价为几何布朗运动。但在现实市场
中突发事件是不可避免的，它们会对金融产生巨大影响，从而导致股价、汇率等出现大幅度地跳跃。1976
年Merton[4 首次引入跳扩散模型，即在几何布朗运动之上加入复合Poisson过程来刻画市场突发事件的
波动，并给出了欧式期权定价的显示解。实证研究也表明跳扩散模型更切合实际，但目前该模型研究成果
不多。双币种期权是一种不仅依赖外国资产价格的波动，而且还受到汇率及国内外利率的多种影响的金融
衍生工具，在国际贸易与投资等领域有广泛应用。1992年Reiner[5Z首次介绍并给出了Black—Scholes模型
下4种双币种欧式看涨期权的定价。文献[6]讨论了双币种的几类奇异欧式期权(障碍、亚式、极值)的定
价。但跳扩散模型下的双币种期权定价未见有系统性研究L7]。因此，本文在外国股价为Merton跳扩散模型
以及国内外常利率的情形下，给出4种双币种欧式看涨期权的价格，通过实例比较了本文与Black—Scholes
模型的相应结果 。
1 金融市场模型
假定金融市场 无摩擦、无套利且包括两种可 自由连续交易的资产：一种是无风险资产B，按复利计
算，本国利率为常数 >0；另一种是风险资产S(如股票)。设投资区间为[0，了’]，71>0为常数。又设 中
的所有不确定因素包括两个标准布朗运动 ，、 s，一个强度参数为常数 的齐次Poisson过程M 及一非
负独立同分布随机变量列(V，}，i一1，2，⋯，且都定义于完备概率空间 ，． ， ，Q}内，其中 是满足通
常条件的 一代数流。由于市场存在跳跃源，市场一般不完全。因此，可以选择一种风险中性鞅测度来调整
风险资产的价格，使之在该测度下的折现为鞅，不妨设Q就是风险中性的等价鞅测度。记 ，表示t时外国
股价， 表示t时汇率且假定它们在Q下调整过程分别满足：
’
一 ( 一 rf)df+ dW F， (1)F FdW 一 一 ( 一 )df十 F， (1)
其中常数 >0，aFrO分别为国外无风险利率和外汇的波动率；以及(从本国投资者角度)
r{ —N
—
t
=(rf—q—IDsF s 一从)dt+asdWs+d( [ 一1])， (2) ’
i： 1
其中常数g≥0， >0为外国股票红利率和波动率，Cov(dW ，dW )一lD ，df。(V }， =1，2⋯表示股价跳跃
比例。令Y=InV，设Y'--．N(,u ， ；)，iEk：=EEV-17一e 一1。现假定～ 独立且都与 、 独立，
· ， 由 和～ 共同生成。于是以本国货币计有S =SF，由式(1)、(2)及It6公式可得
收稿日期：2007—01—29
基金项 目：国家自然科学基金资助项 目(40675023)；广西师范大学博士科研基金资助项 目
作者简介：马奕虹(1 980--)，女，广西桂林人，广西师范大学硕士研究生；邓国和(1969一)，男，湖南桂阳人，广西师范大学副
教授，博士。
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第3期 马奕虹等：股票价格服从跳扩散过程的双币种期权定价
一 ( 一q—Me)dt+ *dW *+d(∑Iv 一1])，
V i— l
其中 *dWs*一asdWs+ FdWF且 ；*一 ；+ ；+2psF F。又 ，满足
N，|·
S 一S,exp{(r，一q—Ps F一从一譬)r+ AWs+∑y，}， 、＼ ／
i N
t
+ l J
其中r=7’一￡，△ 一 一 。类似式(4)可以写出 、．S， 的表达式。
现给出4种双币种欧式看涨期权在到期 日T的收益：
① 类型 I： f5 ( ．，X，，71)一Fomax{ST，一X，，0)，
其中F。表示固定汇率为常数，．S ，表示到期日T的外国股价，x／表示以外币计价的执行价格。
② 类型 Ⅱ： f (．SnF¨ X ， )一max{F ，ST，一X ，0)一max{．S 一X ，0)，
其中F， 为到期日汇率，x 为本国货币计价的执行价格，．S 为到期日以本国货币计价的外国股价。
③ 类型 Ⅲ： f (．SnF”Xn丁)一FT max{ST．一X，，0)。
④ 类型 Ⅳ： f ( nF K，7 )一ST．max{FT 一K，0}，
其中K表示汇率执行价格。
2 主要结论
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
㈣一 薹 e IS e c Ⅳ( 一Xje-,n(pyq- ⋯N(d )]，
其中 哇 二!二 耋2： 竺
√ ；r+
一 一 √ ， *一 E[ -I— +吉 2。
证明 N?K-gN常数，故该期权类似于Merton模型下标准欧式看涨期权的定价，仅需将Merton公式
中的e‘ ”改为e(r．1 ”，并乘上F。即得结论。
定理2 设汇率和外国股价分别满足式(1)、(2)，则类型 Ⅱ定义的欧式看涨期权￡时刻的价值为：
( ，X~t,T)一 e 『[ )一xde--rdmrN(d )]
一
m
妻
= O
e ，Xd~rdm 丁)，
其中f ’为Black～Scholes模型下类型 Ⅱ定义的双币种欧式看涨期权定价公式，
哇 二! ： 竺
‘ √ ；*r+ma；
—_— +专 2}
2 一 1 一 √ ；*r+ ；， rd 一 + —L—__ — ak。
证明 f 一E[e一 (5 一 ) { ]一e- { 一 )，
其中 Is ]一．s，*e(~a-q)rEt[exp(一(等2 △ 一 妻。y ]，
定义测度变换 ： dR
— exp(一(每+从)r十 s*△ s*+
，壹 y )。
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54 广西师范大学学报 ：自然科学版 第25卷
·n ，+ —g一 +等)r+枷雌+
：萋 y ，
其中Ⅳ 是强度为 一,~El-er-]一 e i1#，2的Poisson过程，y 一ln ～Ⅳ([ + ；]， ；)。
，e％-~-pk[1 ≥ l ]--、t~e(rd--q)r
一
e
P 墼 ≤蝗 ]
L √ *r+ √ ；-r+ ； ．J
- -、t e(rd q)r
。
e_r N(31)， (9)
又有 。一EE cs ≥ ]一P。[1n ≥ln ]一
m = O
(kr)m
e一 N (dz)， (1。)
( Ff，脚，71)一薹 e_r )一Xfe-rfmr砌z))
‘
一 妻 e-a~rC f'F，，K，‰， ，一dz；t,7’)， m! ” 一一⋯一
ln St+ rf--q一 +譬)r+ ( + ；)
w 1 一 '
√ ；r+ ；
。 一 √ ，， 一 +
1 2
一
。
证明 因为 。一E[F cs ~Fte(rd-rf)rE[ 一譬叶 ， ，．≥ ]，定义测度 dR—e一譬r+aF~WF由G
f 一 +OrFt ．
sanov定理知1 ；： ∥在R测度下仍为布朗运动'仿定理2可证得。 也类似可证。
f ( ，F，，K；t，7’)一Sf[F，e一 N(d )一Ke ，一 一 一 Ⅳ( )]=f ( ，F，，K；￡，7’)，
二 ：
， 。
3 数值计算
下面通过实例比较Merton模型及Black—Scholes模型下双币种期权的相应结果，并分析跳跃因素 对
期权价格的影响。设参数值取F，一F。一K一8，S，一 ，一10，X 一80，rd—r，一0．1，g一0．05，r=T--t=0．5
年， 一 一0．2， 一0，O'y----0．3，Ps，一0．1。计算结果如图1所示。
图 1(a)表明类型 I的双币种期权价格是外国股价 S的增函数，且 Merton模型的期权价格要高于
Black—Scholes模型的相应价格。此外，跳跃参数 对期权价格的影响比较显著， 越大，同一股价水平的期
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第3期 马奕虹等 ：股票价格服从跳扩散过程的双币种期权定价 55
20
l0
O
6 8 l0 l2 14
(a】类型I期权价格
30
20
l0
O
40 60 80 l00 l20
SxF
(b)类型 II期权价格
30
20
l0
O
6 8 l0 l2 l4
(c)类型III期权价格
l1．5
l0．5
9．5
&5
7．5
7．5 7．7 7．9 8．1 8．3 8．5
F
(d)类型Ⅳ期权价格
图1 4类期权价格
Fig．1 Option price of type I～ Ⅳ
权价格也越大； 越小，期权价格越接近Black—Scholes模型的结果。(虚线 ：不带跳；实线： 一5；点划线： 一
2；星号线： 一0．1。图1(b)～(d)解释同)。图1(b)表明类型 Ⅱ期权价格是以本币计价的外国股价 的增
函数；图1(c)表明类型Ⅲ期权价格随 的增而增。其他性质类似图1(a)。图1(d)表明类型Ⅳ期权价格是汇
率F的增函数。图中所有的线都重合，说明无论 取何值，Merton模型及Black—Seholes模型下该期权价格
总是相等，即股价带跳或不带跳不影响此种期权定价。
参 考 文 献：
E1]
E2D
E33
[4]
E5]
E6]
E7]
BLACK F。SCHOLES M．The pricing of options and corporate liabilitiesFJ3．Political Economy，1973，81：637-654．
刘坚，杨向群，颜李朝．随机利率和随机寿命下的欧式未定权益定价EJ]．广西师范大学学报 ：自然科学版，2005，23(4)：
49-52． ．
陈文磊，蹇明．随机市场下美式看涨期权的定价EJ]．郑州大学学报：理学版，2006，38(3)：115—119．
MERTON R C．Option pricing when underlying stock returns are disc0ntinu0us[J]．Journal of Economics，1976(3)：
125—144．
REINER E．Quanto mechanic，from black—scholes tO blacksch0les[J]．Risk Publication，1992，5(2)：59—63．
KW 0K Y K，W 0NG H Y．Currency—translated foreign equity options with path dependent features and their multi-
asset extensionsFJ~．Int J theoretical and appl Finance，2000，3(2)：257—278．
李红，邓国和，杨向群．跳跃扩散模型外汇重置期权定价[J]．福州大学学报 ，2006，34(1)：28—31．
Pricing Quanto Options in Jump-Diffusion Model
M A Yi—hong，DENG Guo-he
(College of Mathematical Science，Guangxi Normal University，Guilin 541004，China)
Abstract：The valuations for four types of quanto European call options were considered under the as—
sumption of foreign—stock price satisfying a jump—diffusion model in this paper．The analytic price formu—
las for the four options are firstly obtained in the case of both the domestic and foreign interest rates be—
ing constant by applying martingale method and Girsanov theorem．Finally，these results in the above
proposed model are compared with those in Black—Scholes model through numerical examples．
Key words：quanto options；jump—diffusion model；martingale method
(责任编辑 黄 勇)
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