§ 离散型随机变量及其概率分布
定义 若随机变量 X 的可能取值是有限多个或
无穷可列多个，则称 X 为离散型随机变量
描述离散型随机变量的概率特性常用它的概率
分布或分布律，即
概率分布的性质
离散型随机变量的概念
非负性
规范性
*
F( x) 是分段阶梯函数，在 X 的可能取值
xk 处发生间断，间断点为第一类跳跃间断点，
在间断点处有跃度 pk
离散型随机变量的分布函数
*
•
1
•
2
•
•
k
•
k+1
•
o
•
1
•
o
•
o
•
o
F(X)
*
(1) 0 – 1 分布
X = xk 1 0
Pk p 1 - p
0 < p < 1
注 其分布律可写成
常见的离散型随机变量的分布
凡是随机试验只有两个可能的结果，常用0 – 1分布描述，如产品是否格、人口性别统计、系统是否正常、电力消耗是否超负荷等等.
应用场合
*
(2) 二项分布
背景：n 重Bernoulli 试验中，每次试验感兴趣
的事件A 在 n 次试验中发生的次数 —— X 是
一离散型随机变量
若P ( A ) = p , 则
称 X 服从参数为n, p 的二项分布，记作
0 – 1 分布是 n = 1 的二项分布
*
二项分布的取值情况
设
.039 .156 .273 .273 .179 .068 .017 .0024 .0000
0 1 2 3 4 5 6 7 8
•
由图表可见 , 当 时，
分布取得最大值
此时的 称为最可能成功次数
x
P
•
0
•
1
•
2
•
3
•
4
•
5
•
6
•
7
•
8
*
*
设
.01 .06 .14 .21 .22 .18 .11 .06 .02 .01 .002 < .001
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 ~ 20
•
•
x
P
•
•
•
•
•
1
•
3
•
5
•
7
•
9
•
•
•
•
0
•
2
•
4
•
6
•
8
•
10
•
20
由图表可见 , 当 时，
分布取得最大值
•
*
*
二项分布中最可能出现次数
则称 为最可能出现的次数
*
当( n + 1)p = 整数时，在 k = [( n + 1)p ]与
[( n + 1)p ] – 1 处的概率取得最大值
对固定的 n、p, P ( X = k) 的取值呈不对称
分布；
固定 p, 随着 n 的增大，其取值的分布趋于
对称
当( n + 1)p 整数时，在 k = [( n + 1)p ]
处的概率取得最大值
*
例4 独立射击5000次，每次的命中率为,
求 (1) 最可能命中次数及相应的概率；
(2) 命中次数不少于2 次的概率.
(2) 令X 表示命中次数，则 X ~ B( 5000, )
解 (1) k = [( n + 1)p ] = [( 5000+ 1)] = 5
*
问题 如何计算 ？
本例启示 小概率事件虽不易发生，但重复次
数多了，就成大概率事件.
由此可见日常生活中“提高警惕, 防火防盗”的
重要性.由于时间无限, 自然界发生地震、海
啸、空难、泥石流等都是必然的，毫不奇怪.
同样，人生中发生车祸、患绝症、考试不及
格、炒股大亏损等都是十分正常的,大可不必
怨天尤人，更不要想不开而跳楼自杀.
*
Possion定理
则对固定的 k
设
Poisson定理说明：若X ~ B( n, p), 则当 n 较大，
p 较小，而 适中，则可以用近似公式
*
超几何分布: 从装有 a 个白球，b 个红球的袋中
不放回地任取 n 个球，其中恰有k 个白球的
概率为
当
时，
对每个 n 有
结论
超几何分布的极限分布是二项分布
二项分布的极限分布是 Poisson 分布
*
解 令X 表示命中次数，则 X ~ B( 5000, )
令
此结果也可直接查 附表2 Poisson 分布表
得到，它与用二项分布算得的结果 仅
相差千分之二点四.
利用Poisson定理再求例4 (2)
*
例5 某厂产品不合格率为，现将产品装箱，
若要以不小于90%的概率保证每箱中至少有100
个合格品，则每箱至少应装多少个产品？
解 设每箱至少应装100+ n 个，每箱的不合格
品个数为X ，则X ~ B ( 100 + n , )
应用Poisson定理
由题意
3
(100+n)=3+
取 = 3
*
查Poisson分布表 =3一栏
得 n +1 = 6 , n = 5
所以每箱至少应装105个产品,才能符合要求.
*
在实际计算中，当 n 20, p 时，可用上
述公式近似计算；而当n 100, np 10时, 精度
更好
0
1
2
3
4
按二项分布 按Possion
公式
k
n=10
p=
n=20
p=
n=40
p=
n=100
p=
=np=1
*
解 (1) 设 需要配备 N 个维修工人,设 X 为90 台
设备中发生故障的台数，则 X ~ B( 90, )
设有同类型设备90台，每台工作相互独立，
每台设备发生故障的概率都是 . 在通常
情况下，一台设备发生故障可由一个人独立
维修，每人同时也只能维修一台设备.
问至少要配备多少维修工人，才能保证当设
备发生故障时不能及时维修的概率小于?
(2) 问3个人共同负责90台还是3个人各自独立负
责30台设备发生故障不能及时维修的概率低？
例6
*
令
则
查附表2得 N = 4
*
三个人共同负责90台设备发生故障不能
及时维修的概率为
*
设30台设备中发生故障的台数为 Y
~ B ( 30,)
设每个人独立负责30台设备，第 i 个人负责的
30台设备发生故障不能及时维修为事件 Ai
则
三个人各独立负责30台设备发生故障不能及时
维修为事件
故 三个人共同负责90 台设备比各自负责好！
*
在Poisson 定理中，
由此产生了一种离散型随机变量的概率分布
— Poisson 分布
*
(3) Poisson 分布
或
或
若
其中
是常数，则称 X 服从参数为
的Poisson 分布，记作
在一定时间间隔内：
一匹布上的疵点个数；
大卖场的顾客数；
应用场合
电话总机接到的电话次数；
*
一个容器中的细菌数；
放射性物质发出的粒子数；
一本书中每页印刷错误的个数；
某一地区发生的交通事故的次数
都可以看作是源源不断出现的随机质点流,
若它们满足一定的条件，则称为Poisson流, 在
长为 t 的时间内出现的质点数 Xt ~ P ( t )
市级医院急诊病人数；
等等
*
例7 设一只昆虫所生虫卵数为随机变量 X ~ P(),
每个虫卵发育成幼虫的概率为 p. 设各个虫卵
是否能发育成幼虫是相互独立的. 求一只昆虫
所生的虫卵发育成的幼虫数 Y 的概率分布.
解
昆虫
X 个虫卵
Y 个幼虫
已知
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由全概率公式
故
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作 业
习题二 13，14，15，16，18
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