第 4卷第 4期
2001年 8月
管 理 科 学 学 报
JOURNAI OF MANAGEM ENT SCIENCES IN CHINA
V0】4 No，4
Aug．．2001
非线性混沌经济时序的预测方法及其应用研究
马军海 ．贾 湖 ，盛昭瀚。
(1．天津大学管理学院，天津 300072；2．南京大学管理科学与工程研究院，南京 210093)
摘要：主要研究由非线性混沌经济时序所确定的动力系统的预测方法及其应用·通过改进的最
优化方法来估计模型的参数，并在其相空问中对时序的未来值进行预测．培出有代表性的实例
对模 型和算法进行验证 ，结果发现选取最佳的模型阶数能增加预测的准确程度．且混沌时序不
可能进行长期的预刹．
关键词：非线性；混沌模型；参数识别；经济时序预测
中图分类号： O1 75 文献标识码：A 文章编号：1007—9807(2001)04 0049—06
0 引 言
时序建模及其预测技术在自然科学和社会科
学领域正日益起着重要的作用，国内外学者 ’ 对
线性时序进行了比较详尽的研究，其理论与方法
已基本趋于完善和成熟．然而现实问题中大量的
时序问题归结为非线性混沌时序，它们中有许多
无法也不可能用线性模型去逼近，因为这其中的
一 个重要原因是 ：即使是一个低阶的非线性模型
也不能用高阶的线性模型去描述它．所以开展用
非线性混沌模型去描述低维混沌时序的研究就变
得越来越重要．近十几年来 ，国内外学者用神经网
络理论 J，小波理 等对非线性时序开展了研
究，并取得了一定的成果．文[5—1 7：分别对混沌
时序的建模及预测开展 r初步的研究．由于混沌
吸引子的内在行为具有相当的不规则性及混沌吸
引子具有十分复杂的几何结构，且不同的混沌吸
引子具有的复杂结构也各不相同，所以一般来说，
不同的混沌实测数据应该建立不同的混沌模型．
本文主要研究由非线性混沌时序所确定的动力系
统的预测方法及其应用，通过改进的最优化方法
来估计模型的参数，并在其相空间中对时序的未
来值进行预测．通过给出有代表性的实例对本文
收稿日期：1999。3—29：修订日期：2001—04 14
基金项 目 国家自然科学基金资助项 目(69874004)
作者简舟：马军海(1 96 5)，男．山东莱阳人 博士，教授
的模型 和算法进行验证，表明选取最佳的模型
阶数能增加预测的准确程度，且混沌时序不可能
进行长期的预测，算例表明该方法是有效的．
1 模型的提出
令所得到的混沌时序为 z ， 。， ”， ，其
中 置 的采样 时 问为 ， -_ 1．2 3，⋯．Ⅳ． 一
+ 满足最佳时间采样间隔，根据文Eto]的结
论假设其最佳嵌入维数为 m，则可以在其相空间
中重建m维向量 v(n)，其满足式(1)
v( )一 ( ， +1， _2，⋯ ． ⋯ )
n一 1，2，⋯ ，Ⅳ 一 YT"Z 4-l (1)
基坐标框架由文E9：中式(47)确定． (”)确立以
后 ．即
v(1)． (2)．v(3)，⋯ ． (Ⅳ m + 1) (2)
确立以后 ，怎样用式 (2)来预测 v(N + 2)．
v(N一ⅢJr-3)．⋯一(其对应混沌时序中的 + ．
o72 一 。⋯)，是必须要解决的核心问题 假设R 上的
函数 F和参数
n= (日 ． 2， ，⋯ ．Ⅱ ) (3)
满足式(4)
( + 1)一 F(v(n)，Ⅱ) (4)
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如果已经得到了映射F(v，“)和已知 R 上的向量
．就可以得到
— v(1)一 F( ，Ⅱ)
r(1)— r(2)一 F(r(1)．42)= F(F( ，Ⅱ)，Ⅱ)一
，：(rm )
(2，一 (3)一 F( (2)，L2)一
，(F ( (1)，Ⅱ)．Ⅱ)一
F ( (1)， )一 F ( ，Ⅱ)
v(3)— (4)==F( (3)，a)一
F(F ( ．，n)．Ⅱ)_二
F ( (1)，口)=
F (v、“)
r( )= ( (n 1)，6／)u--
F( (n一 2)，n)⋯ 一
F 一 (r(1)．d J— F (v，Ⅱ) (j)
选择映射函数 ’(r．Ⅱ)如式(6)所示：
l
F(v，“)一 _> p(n一1)， ( ，v(n)．“) (6)
— i
这里 v(n)是 由式(1)所确定的 维时序 向量．
_， (r．r( )，“)是由式(7)所确定的 维窄『-日J上的
选代映射．
exp[～1 — ( )1 ／ ： ( )( v( ))4-∑ (1 —v( )1
k—
vfn) ][d．+∑ ( ～v(")。／ )
“是 维时序向量，m 为正整数， 为时序 函， z，
· · ． 的均方差
建立如下的预测映射
v("j+ )一∑x F(v(m)，Ⅱ
= L
置 (r( 一 1)，Ⅱ) (8)
一 1
这里 ， 的值可取成时序的最佳嵌入维数 ．式
(8)中的每一选代项为X ( ～1)，这就要求x
应满足式(9)
x 一 (9)
； L
为了保证预测的准确性要求
X ≥ X (】O)
通过式(11)米求参数Ⅱ一 (“-，“ ，嘞，⋯．“ )和参
数 X ： (X．，XI‘．--，X )
CfX ．d)一
∑[I P( +1) ∑ ( ( ～^ +1)．口) ]
由式(7)可以看出如果已知R 上的向量 r和已知
的相空间中的第 个向量v( )相等则， ( + ( )．
Ⅱ)= l{反之 ．若 r ( )非零+则 ( ， ( )，口)
的值下降的很快．
2 模型参数辨识方法
借鉴文 1 0]的成功经验在参数辨识过程中
采取如下方法：
(7)
将式(11)的El标函数写为
，(D)一 C(X，Ⅱ) (】2)
这里
D一 ：x，“]=
[ L，x，．⋯，X ¨、． ，口』，⋯． ：。 (13)
其中上标T表示转置，Ⅳ为样本值．则该参数识别
问题变为问题
rainf(D) (1 4)
D
由于目标函数 ，(D)中包括 + 个待求参数，
而且，(D)是～个多峰函数，而非单峰函数，其全
局极值点可能有多个，如果直接用优化理论进行
参数识别，其可能由于初值选择的不好，最终导致
搜索不到全局最小值点，而使搜索值停留在全局
某个局部极值点附近，为克服上述歃陷，本文在初
略估计的各参数的存在区间[即下文的区间( ．
q )和区间(c5， )]先采用计算机随机大量投点
的方法+经多次搜索逐步逼近到 目标函数 ，(力)
的全局最少值点附近+再将所得到的各参数值作
为用优化理论搜索的初值．具体方法如 F：
选取初值
D = [x，．d ]一
Lx ，⋯．x“，“⋯Ⅱ ，“I_¨．⋯．“ ：I (1 5)
然后在计算机上产生二。，l：区间内的随机数．不
妨令y为：0，1]上服从均匀分布的一个随机数．取
X 一 pk+ (
．
q pH)7
a％一 cs+ (d s— csW
R 一 1+2．3+⋯ ，，』；S — 1．2．3，⋯ ．P
^一 1 2，⋯(为第 玖迭代)
(1 6)
(1 7)
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第 4期 马军海等：非线性混沌经济时序的预测方法及其应用研究
( ，q )为粗略估计的 xm的存在区问，( ·ds)
为粗略估计的‰ 的存在区问，由式(1 4】令 (参
数的第 k次迭代)为
，j 一Ex ， ]一 x川 ⋯一x 一
“【 ．“ ．d． ，⋯．“^ ] (]8)
f(D{)< f(D ) f1 9)
则保留D ．若不满足式(19)则重选D ．直到满足
式(1 9)为止．若 l，( )已比较小，则 D 中各参数
的估计已接近模型 的全局极小点附近．然后再将
其作为新的变尺度法参数估计的初值．
由式(14)、(1 5)可以看出：耗散函数／(D)是向量
D的连续可微 函数 ．其导数为
V 3f
腻
(D)
， ， ⋯ ．
af(D)
； ，
D)
．
⋯
， t (90)
( 2 c
记
可，(D j一 ，(Dj (21)
通过式(1 5)～式(21)已将目标函数的初值通过k
次迭代后．其迭代值 D 已在全局极小点附近，所
以问题(14)可用如下的变尺度法求解．将式(19)
得到的 D 中的各值作为用变尺度法进行参数估
计的初值重新进行搜索．这样便避免了直接用变
尺度法有可能搜索不到全局极小值的错误．从而
最终导致式(1 3)中m斗 个参数的计算值不准
确．变尺度法的求解过程如下：
Stepl 置 初 值 D ，k= 0，对 称 正 定 的
Hessian矩阵的初值矩阵 ，控制误差￡，(取日，
E)．转 Step2；
Step2 计算 可f(D 】。并求搜索方 向P 一
～ ／(D )‘转 Step3；
Step3 以D 为新的起始点．求 维搜索问
题rain( + 2P j—f(b + P )得 ，置 、=
D + ^ ，转 Step4：
Step4 若 I’D II≤￡．置 D： ⋯
迭代结束．则求出了最优解．否则转 Step5；
Step5 计算 vf(D㈠ )，令 y 一vf( +j
，¨(D ，
st= D¨ I D
实验数据的修正 日 阵为日 + 一日
5 H } j
5～~ly, 一i 一
Step6 若k— 。刚D jD ．转到StepI，若k
< n．则转 向Step3．
Step6中为保持共轭方向的优越性， 般迭代
次后就要重新开始．即令 H 一 E．D 一
3 计算结果
取两组数据对算法进行验证：
第 1组 对 Lorenz系统
【警： 一
： F3- 一
{
dz
= xy ～ 如
取 一 10．r一 1 3．926．b一 8／3同缩分岔的情况 ．
前 1 000点作为暂志点去掉，把后 5 000点作为第
l组 原始数 据点．其 ( ．z )相 图如 图 1a，其
( + ． +2)相图如图 1b．其 (‘． {?】相图如图
1c，其(z ， + )相图如图 1d．在此参数状态
下．Lorenz系统为标准同缩分岔的情况．两同缩轨
道为边界的两片叶子组成 ．这两片叶子只交于唯
一 的平衡点 ．因此任何其中一 片叶子的轨道都
不可能到达另一片叶子．因此由此轨道组成的集
台 ^不是吸引集 ．这在图 1d中表现的非常清楚，
其它复杂的情况如：
a)集合 含有两个吸引子的情况，
b)集台 ^含有倍周期分岔的情况．
cj集台 ^含有吸引盆的情况，
d】集合 4 含有预湍流区域等的情况因涉及
到更深的现代数学及优化理论知识，处理起来 比
较困难，将在以后的工作中陆续给予报道．
第2组 用所得到的混沌经济数据6 000电
作为实验数据，其时间历程图如图 2，其 (z ．
35 ，
一 )相图如图 3．经多次反复计算后比较发
现：对本文选取的非常有代表性的 2组数据，预
测模型(8)中取式(9)模型阶数 ，_为最佳嵌入维
数 ，或 m'L1．其预测结果较为准确．反之，若 ￡
再增加或减少．则误差C(X．“)都再直线增加．
1)对 Lorenz系统其Ⅲ -_3，取L一3，P一4．
Ⅲ 一2．样本点Ⅳ一4 096(点】．计算中得到C(X．
】 一 2．372 4 × 10 ．工 = 0 685 68． 一
0．185 762．X 一 0．1 28 558，口 一 4 3．679 78．d 一
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0．034 977，Ⅱ 一 6．927 302，Ⅱ =一 0．109 752．用
这组参数进行预测得到相对误差不超过 35％ 的
预测值长 度 N = l03，其预测值 ( 一z一 一z)
囤 1a 第 1组数据的( ， -)相图
圈 lc 第 1组数据的({ ． )相囤
的相图如图4a所示，其样本值、预测值(z ， 一
毛+ )的混台相图如图4h所示．
图 1b 第 1组数据的 ．-， )相图
囤 1d 第 1组数据的 (3- ．． )相圈
围 2 第 2组经济数据的时间历程围
图 3 第 2组经济数据的( 。 +。)相图
2)对第 2组经济数据混沌情况其 m：4(根
据文[u]的结论)，取 L=5，P一6，m = 3样本
点N =4 000(点)，计算中得到：
C( ，口)一 6．193 576× l0
X L= O．414 437，X2— 0．257 96，X = 0．1 50 832，
X 一 0．1 06 023。X = 0 070 748
啦 = 37．064 23，d，一 0．040 201．n3— 6．293 25，
q 一 一 0．776 3， 5— 2．722 48，如 = 0．0Z5 936．
用这组参数进行 预测得到相对误差不超过 35％
的预测值长度 N 一 93，其预测值( ，z ，‘一 )
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第 4期 马军海等：非线性混沌经济时序的预测方法及其应用研究
的相图如图 5a所示，其样本值、预测值( ． ， 一 )混合相图如图5b所示
固4a 第 l鳃数据的硬吾I位( ， ，z )的相固
图 5a 第 2组数据的预测位【矗， t¨， ¨1的相围
4 结论
1)随着样本值 Ⅳ 的变化，预测模型中参数
x ， 也发生一定变化，但只要 Ⅳ 大于低维混沌
时序样本值所要求粗略的估计值(见文 [¨ ])，
c(x， )的变化就在所允许的良性范围内．
2)模型阶数 取最佳嵌入维数m，或 77"l+1，
其预测结果较为准确，反之，若 L再增加或减少则
误差C(X，a)都再直线增加，预测值便不再准确．
参 考 文 献
Eli
[2：
：33
[4j
圈曲 第 1组数据样本位，预曩l位的
( ． ．．． ⋯ )混台相图
图曲 第 2组数据样本位，预驯位的
(‘，z -】⋯2- )混台相图
3) 值和r2-~k值的选择目前在理论上无法给出
定论，但作者反复研究了多个低维混沌时序发现
该模型中P一般在 3到6范围内取值；m 一般在2
到4范围内取值，否则会导致预测精度下降、预测
长度减小以及再次加大参数辨识的难度等相关问
题的发生．
4)若用预测模型中的同一参数X ， 值则不
可能进行长期的时序预测，反之，当预测误差大于
实际问题所允许的范围时，样本值中加入新产生
的时序真值，则可以重复前一过程继续预测．
Chert c H Applied t[raeser[es armlyslsEM~Belling World Sciemific Publishing CoT．1989
Yang Shuzi—W㈨Y Applied timescries anaiysis in e gineefing[M] Beiii。g：w。rld Scienti／ic Publishin C。r，1 992
Zhang Qinghua·Wavelet networks[J]．1EE Tran~etions on Neural Networks．1 992，6(11)．889 898
Cao Liangyue r Hong Yiguang，Fang Haiping，He Guowei．Predicting chaotic timese ies ith a let networ ：J：
Phys．D，1 995，85(5)．225．238
[5] Martin C．Nonlinear prediction of ehaotic time series[J] Phys
． D，1 989，35(7)：335 356
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管 理 科 学 学 报 2,：101年 8月
[6]
Iv-
[8-
[9]
[i 0：
[n：
[1 2：
[i3]
一
i4]
— —
【1 5
一
[1 6：
r17]
Dav；e M E Re 。nstr㈣ti attract0rs froil]fdtered timeseries[J：．Pbys D，1997，101t 6)：l 95 2,2,6
AIexei I ．D[stD㈣ti s 0f re㈣ st ruction for chaotic attraetors~J]．Phys．D，1997·101(9 ：2157 225
Henrv D l，Regg ce B，James H K．Prediction and system identification in chaotic nonlinear systems：llHle series with
broadband spectra ] Phys．1 ett A．1989，188t 8)：401 407
盛昭瀚，马军海 管理科学：面对复杂性一混沌时序经济动h系统重构技术口]管理科学学报，I 998，l c1，：31 42
马军海．混沌时序动力系统非线性重构：D：．天律：天津大学力学系·1 997
Diamhra】I。Plastino A．Modelling time series usin8 information theory[J]．Phys．Lett A 1995，2l6(3)：278 282
Kevln J，AlistMrM．Modehng chaoticmotions of a stringfrom experimental data_J] Phys I]，l996，9Z(8)：22I 236
G⋯ MG．Nabee【B A，Mark S．Recurrence mat rices and the preservation of dynam ca[properties
— J]．Phys gelt
A ，1997，237(1 2， 43 47
Chr㈨ti n G S，Tim S，Edward O，James A Y．Predicting chaotic[1)ost of the time from embeddings with self inler
~ctions[J]．Phys．Rev kett tl998，80(7)：l4lo 1 4l2
Castillo E，Gutlerrez J M Nonlinear time series modeling and prediction usin8 functionM networks[J一．1~：xtracting
information masked by chaos．Phys Lett A ，1 998，244f6)：7i一84
Kevin J，A[i stairM．Embedding as amodeling problemlj]．Phys．Dt l 998，l 20(10j：273 986
Kugiumtais D，1．ingjxrde 0 C，Chr[stopher．qen N．Regularized local linear prediction of chaotic citne series[』j
Phys I)．1998，ll2(2)：3td 6u
1 8] Henry D l，Reggie B，Jame~13 K Prediction in chaotic nonlinear system：methods for time series with broadband
Fourier spectra[J：．Phys．Rev A．1 990，41(4)：l 782 18,37
Prediction method and appl ication about chaotic economic timeseries
M A Jun—hal JIA H ．SH ENG Zhao—ban2
1．School of Management，Tianjin University，Tianjin 300072，China；
2．Graduate School of Management Sciences&Engineering，Nanjing University，Nanjing 2l0093，China
Abstract： W e consider the problem of prediction and system 1dentification for chaotic economic timeseries
that arise from the intrinsic nonlinear dynamics of the system ．We give a procedure for constructing para
meterized maps which evolve points in the phase space into the future．The predictor of future points in the
pha space is a combination of operation on past points by the map and its iterates．Thus the map is re
garded as a dynamical system and not JUSI a fit to the data．The invariants of the dynamical system is used
as constraints on the choice of mapping parameters．The parameter values ale chosen through the improved
optimization method．W e also discuss the motivation and methods we utilize for ehoosinE the form of 0uf
parametric maps．W e give detailed examples to testify the algorithm in this paper．W e find we are able to
select the optimal rank of the modelll that can increase the precision of predicti0n，and n0nlinear chaotic
models can not provide long period superior predictions．
Key words： non linear chaotic model；parameter identification：economic timeseries predicti0n
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