中等职业教育 2010年 第 20期
教
学
心
得
本节课是平面解析几何“圆”单元的直线与圆位
置关系的第一课时，主要学习直线与圆的相交、相切
和相离的三种位置关系，以及如何判断这三种位置
关系并作简单的应用。直线和圆的位置关系的应用
比较广泛，是在学生学习了直线方程、圆方程的基础
上进行的，也为后面学习直线与圆锥曲线的位置关
系提供了判别的方法。
由于职高学生的数学基础较弱，理解能力不强，
灵活运用能力不够，更棘手的是学生学习数学的积
极性不高，因此，在降低要求的前提下，为激发学生
学习的热情，尝试着运用了教育心理学中的“支架式
教学模式”，即：为发展学习者对问题的进一步理解
的需要，事先要把复杂的学习任务加以分解，以便于
把学习者的理解逐步引向深入而提供的一种概念框
架。本文通过“搭脚手架”、“进入情境”、“独立探索”、
“协作学习”、“效果评价”等几个环节来具体谈谈对
本节课的设计。
一、 “搭脚手架”
“搭脚手架”，即：围绕主题，按“最近发展区”的
要求建立概念框架。为引起学生的好奇，在上课伊始
就激发起他们的学习热情，引用了学生们非常熟悉
的唐代诗人王维在《使至塞上》的名句“大漠孤烟直，
长河落日圆”，并欣赏图片，为学生进入情境作必要
的铺垫。具体应用如下：
师：同学们，大家还记得唐代诗人王维的《使至
塞上》这首诗吗？里面有一句名句：大漠孤烟直……
（拉长声音，等待学生回答）
生：长河落日圆。
师：很好！大家能不能简单地描绘一下“长河落
日圆”的画面呢？
生：太阳在河面上缓缓落下。（带比划）
师：欣赏一图片。
……
师：这幅画便是“长河落日圆”的写照，给我们展
现了黄河映衬着落日的残红之美。
二、 进入情境
让学生在图片上抽象出常见的几何图形：圆、直
线。从而将学生引入一定的问题情境，引出“直线与
圆”的三种位置关系。
师：在数学中，我们可以把远处横卧的长河视为
一条……（放慢语速，等待学生齐答）
生：直线。
师：临近河面逐渐下沉的一轮落日可以被看做
是一个……（放慢语速，等待学生齐答）
生：圆。
师：那么，当落日逐渐下落的时候，这个“圆”与
“直线”的交点的个数会出现几种不同的情形呢？（结
合图像回答）
生：有 3种。
师：分别是怎样的 3种？能画出草图吗？
教师指导学生作图，并找到较好的一张图作示范：
“支架式教学模式”在数学教学中的应用
浙江省宁波市鄞州区职业教育中心学校 葛宁宁
［摘要］尝试利用教育心理学中的“支架式教学”模式设计了本案例，旨在通过搭建“阶
梯”，把复杂的学习任务加以分解，让学生沿着阶梯逐步攀升，最后能顺利摘到“果子”。
［关键词］支架式教学 直线 圆
———以直线与圆位置关系的教学为例
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师：这三幅图中，交点个数分别是多少呢？
生：图 1无公共点，图 2有一个公共点，图 3有
两个公共点。
师：由直线与圆的公共点的个数，得出以下直线
和圆的三种位置关系：
（1）相离：直线与圆没有公共点，这时我们称直
线与圆相离。
（2）相切：直线与圆有重合的一个公共点，这时
我们称直线与圆相切。
（3）相交：直线与圆恰好有两个不同的公共点，
这时我们称直线与圆相交。
教师点题：直线与圆位置关系。并板书以上内容。
三、 独立探索
利用刚学的“直线与圆”的三种位置关系的概
念，让学生用直线的方程和圆的方程，独立探索直线
与圆位置关系的判断方法。在探索过程中，教师适时
提示、启发，帮助学生沿概念框架逐步攀升。
师：我们能从图像上直观地判断直线与圆的三
种位置关系，但是，有时作图是不够精确的，那么，如
何才能在不精确作图的情况下，利用直线的方程和
圆方程，准确地判断出直线与圆的三种位置关系呢？
（学生独立思考，教师启发）刚才我们得出的“相离、
相切、相交”的位置关系，是通过直线和圆的……（放
慢语速，等待学生齐答）
生：交点个数得出。
师：对！但是，怎样才能知道交点的个数呢？
生：老师，是不是可以求出直线和圆的交点，能
求出几组值，就有几个交点呢？
师：很好！有同学想到，是否可以通过求直线与
圆的交点，但是，怎么求呢？回忆一下：如果是两条直
线请你求交点，我们怎么做？
生：联立两直线方程，解方程组求交点。
师：非常正确！那么，现在求直线与圆的交点呢？
生：可以联立直线方程和圆方程求解。
师：非常好！那么，直线的一般方程及圆的标准
方程分别怎样？
生：直线的一般方程是 Ax+By+C=0，圆的标准方
程是（x-a）2+（x-b）2= r 2。
师：联立两个方程，请大家自己试着求交点。
学生独立做，教师巡视指导，很快学生就开始放
弃了：老师，x，y太难求了。
师：大家消去方程组中的 y后，整理得到关于 x
的一个什么方程呢？
生：x的一元二次方程。
师：其实，我们要知道的是交点的个数，至于精
确的交点坐标，我们需要关心吗？
生：不用。所以，我们只要判别 x的一元二次方
程的根的情况就好了。
师：很好！但是，根的判别式△与直线和圆的交
点个数存在着怎样的关系呢？
生：当△＞0时，方程有两个根，说明直线与圆有
两个交点，是相交；当△= 0时，方程只有一个根，说
明直线与圆只有一个交点，是相切；当△＜0 时，方
程无实数解，说明直线与圆无交点，是相离。
学生独立小结判断直线与圆的位置关系的第一
种方法：代数法。
设圆方程（x-a）2+（x-b）2 = r 2，直线方程为 Ax+
By+C=0，联立方程：
，消去方程组中的 y，则可得一
个关于 x的方程：Mx2+Nx+P=0，求方程的判别式△：
△＞0圳直线与圆相交；△= 0圳直线与圆相
切；△＜0圳直线与圆相离
例 1：用代数方法判断直线2x-y+3=0与圆（x-5）2+
（y+2）2=36的位置关系。
可让学生自己做，然后公布答案。但学生普遍反
映计算太复杂。
四、 协作学习
以四人为一个小组，对“直线与圆位置关系”的
判定方法的简洁性、有效性进行协商、讨论。在共享
集体思维成果的基础上，得出“直线与圆位置关系”
的更简洁有效的判断方法，使得对当前所学内容有
比较全面、正确的理解，即最终完成对所学知识的意
义建构。
师：用代数方法计算比较复杂，那么，还有更简
单、更有效的判断方法吗？以前后两桌为一组，分组
讨论，结合图形来试着找找更简洁的判断方法。提
示：可在上课初所画的“直线”、“圆”三种位置关系的
图像中，测量圆心到直线的距离 d与半径 r的大小
来考虑。
学生讨论，教师指导，共同总结出“几何判断
法”：
设圆方程（x-a）2+（x-b）2 = r 2，直线方程为 Ax+
By+C=0，则圆心 D（a，b），圆心到直线 Ax+By+C=0的
距离为：d= Aa+Bb+C
A2+B2姨
。因此，当 d＜r时，直线 l与
圆相交；当 d = r时，直线 l与圆相切；当 d＞r时，直
线 l与圆相离。
（x-a）2+（y-b）2= r 2
Ax+By+C=0
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例 2：用几何的方法判断直线 2x-y+3=0 与圆
（x-5）2+（x+2）2= 36的位置关系。
此题与例 1相同，只是判断方法不同，学生普遍
反映，与第一次比，这次简单快速得多。同时，教师指
出：以后判别直线与圆的位置关系，一律都用“几何
法”，而“代数法”只作了解。
五、 效果评价
学习效果的评价包括学生个人的自我评价和学
习小组对个人的学习评价，评价内容包括：
（一）自主学习能力评价
让学生独立完成以下两个练习，对自己所学作
出评价。
练习：判断下列各题中直线与圆的位置关系：
（1）直线 2x-y+3=0，圆（x-5）2+（y+2）2= 36；
（2）直线 x-3y+2=0，圆 x2+y2+4x-10y-11=0；
请两位学生“板演”，其余同学独立完成，然后，
教师点评。
（二）寓教于乐，巩固所学内容，作出学习的效
果评价
将班级同学分成两大组，分别称为 A、B组，进
行游戏，规则如下：
一组同学编出判断直线与圆位置关系的题让另
一组的同学判断，若判断正确，则答题组得 10分；若
判断错误，则出题组得 10分。在 5分钟内，看哪组得
分最高。
（三）深入应用，对所学作出效果评价
利用所学，进行深入应用，从而作出对学习效果
的评价。
例 3：考虑圆 x2+y2 =16与直线 2x-y+c=0的位置
关系，当 c为何值时，直线与圆相交，相切，相离？
分析：利用“几何法”，建立关于 c 的不等式方
程，然后求 c的值。
（四）利用课堂小结对所学作出效果评价
课堂小结就是对整堂课所学的内容作一下回
顾、总结，其实，也是对学生学习效果的一方面的评价。
师：同学们，今天我们学习了哪些重要的内容？
生：判断圆与直线的位置关系的两种方法：几何
法、代数法。
直线 l：Ax+By+C=0，圆（x-a）2+（y-b）2= r 2，
圆心到直线的距离：d= Aa+Bb+C
A2+B2姨
，
方程组：
师：我们应着重掌握什么方法？
生：几何法。
六、 支架式教学的课后反思
本节课是让学生理解判断直线与圆的位置关系
的两种方法———代数法和几何法，着重掌握几何法，
能用几何法解决简单问题。
笔者先创设“长河落日圆”的教学情境，引出本
节课所要研究的主题———直线与圆位置关系，让学
生体验探索直线与圆位置关系的过程，并在教师不
断的启发、引导下，通过学生的思考及小组讨论的方
式，得到判断直线与圆位置关系的两种方法，同时指
出：选择一种简洁的几何法，来解决以后的相关问
题。最后，通过做游戏和解例题的方式，活跃了课堂
气氛，又不知不觉地检验了学生的学习效果。
整个过程中，笔者利用了教育心理学中构建“支
架式教学模式”，通过搭建“阶梯”，把复杂的学习任
务加以分解，让学生沿着阶梯逐步攀升，最后摘到
“果子”。在学习的过程中，培养了学生的观察、归纳
总结、小组合作及综合运用知识的能力。
［参考文献］
［1］张大均.教育心理学［M］.北京：人民教育出版社，
2006.
［2］丘维声.数学教学参考书第二册（基础版）［M］.北
京：高等教育出版社，2007.
［3］易南轩.数学美拾趣（第二版）［M］.北京：科学出版
社，2004.
［4］丘维声.数学第二册（基础版）［M］.北京：高等教育
出版社，2008.
（x-a）2+（y-b）2= r 2
Ax+By+C=0
位置关系 代数法 几何法
相离 △＜0 d＞r
相切 △=0 d=r
相交 △＞0 d＜r
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