北京邮电大学
概
率
论
与
数
理
统
计
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第一章 概率论的基本概念
在一定条件下必然发生的现象
向空中抛一物体必然落向地面；
水加热到100℃必然沸腾；
异性电荷相吸引；
放射性元素发生蜕变；
在试验或观察前无法预知出现什么结果
抛一枚硬币,结果可能正面(或反面)朝上；
向同一目标射击,各次弹着点都不相同；
某地区的日平均气温；
掷一颗骰子，可能出现的点数；
………
………
研究和揭示随机现象的统计规律性的数学学科
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概率论最早是从赌博(博弈)游戏开始的.
博弈游戏产生于人类已有数千年历史了.考古工作者在公元前3500年的一座埃及古墓中发现古埃及人在一种 “猎犬与豺狼”的板盘游戏中,用投掷距骨的结果决定猎犬与豺狼移动的步数.
骰子是在距骨之后发现的,伊拉克北部曾发现一颗陶制的骰子,据推断距今已有3000年历史.它对面的点数是2和3,4和5,1和6.现在人们使用的对面点数之和为7的骰子大约出现在公元前1400年左右.纸牌的出现更晚一些.这些器具不仅用于赌博,还用于占卜和算命.
公元960年意大利主教韦伯尔德(Wibold)把人的品德归纳为56种,算命者掷3颗骰子,主教就告诉他的品德是什么.这说明当时人们已经会计算排列组合问题了.
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有关赌博的最早一个数学问题出现在1494年意大利修士、数学家巴乔罗(Luca Pacciolo)的著作《算术,几何,比例和比值要义》中.
应该按赌博中止时甲乙已赢的局数分配赌本.比如:
就按2:1分配.
热衷于占星术和掷骰子的代数学家卡丹()和塔塔利亚()指出巴乔罗的分法是错误的,认为巴的分法没有考虑甲乙双方取得最终胜利还需要赢的局数.但是他们两人也没有给出正确的解法.
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17世纪中叶,法国贵族德 · 梅理 (De Méré)向法国著名数学家、物理学家帕斯卡()再次提出同一问题.
这一貌似简单的问题难住了天才数学家帕斯卡,他思索了很久仍没有解决.于是,他开始了与费马()关于这一问题的通信讨论.帕斯卡在1654年7月29日给费马的信中给出了这一问题的解.这一问题讨论中,产生了“概率”和“数学期望”等基本概念.帕斯卡的这封信被公认为是概率论的第一篇文献,是数学史上的一个里程碑.
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在随后的200多年里,概率论不仅在理论上获得了一定发展,而且在人口统计、保险业、误差理论、天文学等自然科学中得到了应用.在这一时期,对概率论在理论和应用方面作出重要贡献的数学家有雅格布·伯努利(Jakob Bernoullii),丹尼尔·伯努利(Daniel Bernoullii), 棣莫弗(De Moivre), 拉普拉斯(), 欧拉(),贝叶斯(),蒲丰(),高斯(),泊松(),布尼亚可夫斯基(),切比雪夫(Chebyshev),马尔可夫(),李雅普诺夫()等.
尽管18,19世纪,概率论在理论和应用方面得到了很多成果,但与其它数学分支比较,概率论的发展是缓慢的.甚至直到20世纪以前概率论还未进入主流数学.其基本原因是概率论缺乏严密的逻辑基础.
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“概率”是什么意思 如何定义 如何理解
在半径为 的圆 内“任意”作一弦,
作半径为 的同心圆
设弦 的中点 “任意”落于圆 内
试求此弦长度 大于圆内接等边三角形边长 的概率
若 落于圆 内,则
,于是
设弦 的一端 固定于圆周上,另一端任意.
考虑等边 如 落于角 对应的
弧 上,则
,于是
的弧长
圆周长
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我们知道,平面几何学及微积分等数学概念与理论都是建立在各自的几个基本公理上的.公理化体系是数学的坚实基础.概率论之所以还不成为“数学”,其基本原因是概率论缺乏严密的逻辑基础.
1900年,在巴黎国际数学家大会上,著名数学家希尔伯特()作了题为《数学问题》的重要报告,提出了20世纪数学学科的主攻方向,在第六个问题“物理公理的数学处理”中就特别提到了概率的公理化问题.
1902年,勒贝格()的论文《积分、长度和面积》建立了测度论的基础,经过玻雷尔() 、拉东()、弗雷歇(échet)、斯泰因豪斯()等人的努力, 到1930年勒贝格的理论发展到了严格表述概率论公理化所必须的程度.1933年柯尔莫哥洛夫()的著作《概率论基础》正式出版,给出了概率论公理化的完整结构.从此,概率论才正式成为真正的数学分支.
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凯恩斯主张把任何命题都看作事件,例如“明天将下雨”,“土星上有生命”等等都是事件,人们对这些事件的可信程度就是概率,而与随机试验无关,通常称为主观概率.
米泽斯定义事件的概率为该事件出现的频率的极限,而作为公理就必须把这一极限的存在作为第一条公理,通常称为客观概率.
目前,绝大多数教科书都是采用柯尔莫哥洛夫的概率公理化体系.
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第一章 概率论的基本概念
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科学实验
掷一颗骰子，观察出现的点数
对某厂生产的电子产品进行寿命测试
观察某地区的日平均气温和日平均降水量
或者对某一事物的某一特征进行观察
抛一枚硬币，观察正面 、反面 出现的情况
将一枚硬币连抛三次，观察正面 出现的次数
从一批产品中抽取 件，观察次品出现的数量
这些试验有什么特点
试验前无法预知结果
试验可以在相同的条件下重复进行
试验的结果可能不止一个，但试验前知道所有可能的全部结果
在每次试验前无法确定会出现那个结果
具有上述特征的试验称为
随机试验
,简称
试验
END
