§4 条 件 概 率
一 条 件 概 率
二 乘 法 公 式
三 全概率公式和贝叶斯公式
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一、条 件 概 率
条件概率是概率论中一个重要而实用的概念。
它所考虑的是事件 B 已经发生的条件下事件 A
发生的概率。
设A、B是某随机试验中的两个事件，且
则称事件A在“事件B已发生”这一附加条件下的
概率为在事件B已发生的条件下事件A的条件概率，
简称为A在B之下的条件概率，记为
1）条件概率的定义：
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例 1 两台车床加工同一种零件共100个，结果如下
合格品数 次品数 总计
第一台车床加工数 30 5 35
第二台车床加工数 50 15 65
总 计 80 20 100
第一章 概率论的基本概念
设A={ 从100个零件中任取一个是合格品}
B={从100个零件中任取一个是第一台车床加工的 }
解：
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注：由例1可以看出，事件A在“事件B已发生” 这附
加条件的概率与不附加这个条件的概率是不同的．
第一章 概率论的基本概念
但有
称为在事件B已发生的条件下事件A的条件概率，
简称为A在B之下的条件概率。
设A、B是某随机试验中的两个事件，且
则
因此，有下面的定义：
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非负性
规范性
可列可加性
2）条件概率的性质：
某厂生产的灯泡能用1000小时的概率
为, 能用1500小时的概率为 , 求已用
1000小时的灯泡能用到1500小时的概率
设 A 表示灯泡能用到1000小时
所求概率为
例2
B 表示灯泡能用到1500小时
解
例3 某人外出旅游两天, 需知道两天的天
气情况, 据预报, 第一天下雨的概率为 ,
第二天下雨的概率为, 两天都下雨的概
率为. 求 第一天下雨时, 第二天不下雨
的概率
设A与B 分别表示第一天与第二天下雨
解
条件概率与无条件概率
之间的大小无确定关系
上例中
一般地
例4 从混有5张假钞的20张百元钞票中任意抽 出2张 , 将其中1张放到验钞机上检验发现是假钞 , 求2 张都是假钞的概率
解: 令 A 表示抽到2 张都是假钞
B表示2 张中至少有1张假钞
则所求概率是
所以
二、乘法公式
由条件概率的定义
我们得
这就是两个事件的乘法公式．
第一章 概率论的基本概念
两个事件的乘法公式：
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推广
例1 袋中有一个白球与一个黑球，现每次从中取
出一球，若取出白球，则除把白球放回外再加进
一个白球，直至取出黑球为止．求取了n 次都未
取出黑球的概率．
解：
则
由乘法公式，我们有
第一章 概率论的基本概念
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第一章 概率论的基本概念
§3条件概率
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例 1 设某光学仪器厂制造的透镜，第一次落下时
打破的概率为 1/2 ，若第一次落下未打破，第二
次落下打破的概率为 7/10 ,若前两次落下未打破，
第三次落下打破的概率为 9/10 。求透镜落下三次
而未打破的概率。
解：以 Ai ( i=1,2,3 ) 表示事件“透镜第 i 次落下打
破”，以 B 表示事件“透镜落下三次而未打破”，
有：
第一章 概率论的基本概念
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一场精彩的足球赛将要举行, 5个
球迷好不容易才搞到一张入场券.大家都想去,只好用抽签的方法来解决.
入场
券
5张同样的卡片,只有一张上写有“入场券”,其余的什么也没写. 将它们放在一起,洗匀,让5个人依次抽取.
后抽比先抽的确实吃亏吗？
“先抽的人当然要比后抽的人抽到的机会大. ”
思考
到底谁说的对呢？让我们用概率论的知识来计算一下,每个人抽到“入场券”的概率到底有多大?
“大家不必争先恐后，你们一个一个
按次序来，谁抽到‘入场券’的机会都
一样大.”
“先抽的人当然要比后抽的人抽到的机会大。”
我们用Ai表示“第i个人抽到入场券”
i＝1,2,3,4,5.
显然，P(A1)=1/5，P( )＝4/5
第1个人抽到入场券的概率是1/5.
也就是说，
则 表示“第i个人未抽到入场券”
因为若第2个人抽到
了入场券，第1个人
肯定没抽到.
也就是要想第2个人抽到入场券，必须第1个人未抽到，
由于
由乘法公式
P(A2)= (4/5)(1/4)= 1/5
计算得：
这就是有关抽签顺序问题的正确解答.
同理，第3个人要抽到“入场券”，必须第1、第2个人都没有抽到. 因此
＝(4/5)(3/4)(1/3)=1/5
继续做下去就会发现, 每个人抽到“入场券” 的概率都是1/5.
抽签不必争先恐后.
也就是说，
例1 为了防止意外,矿井内同时装有A 与B两
两种报警设备, 已知设备 A 单独使用时有效
的概率为, 设备 B 单独使用时有效的概
率为, 在设备 A 失效的条件下, 设备B 有
效的概率为 , 求发生意外时至少有一个
报警设备有效的概率.
设事件 A, B 分别表示设备A, B 单独使用时有效
已知
求
解
方法一
由
即
故
方法二
三、全概率公式和贝叶斯公式
1）全 概 率 公 式：
全概率公式的使用：
我们把事件B 看作某一过程的结果，
根据历史资料，每一原因发生的概率已知，
而且每一原因对结果的影响程度已知，
则我们可用全概率公式计算结果发生的概率．
第一章 概率论的基本概念
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例1
解
例2
解
这一类问题是“已知结果求原因”. 在实际中更为常见，它所求的是条件概率，是已知某结果发生条件下，探求各原因发生可能性大小.
引例
接下来我们介绍为解决这类问题而引出的
贝叶斯公式
2）贝 叶 斯 公 式：
Bayes公式
该公式于1763年由贝叶斯 给出.
它是在观察到事件B已发生的条件下，
寻找导致 B 发生的每个原因的概率.
英国数学家,1763年，贝叶斯发表《论机会学说问题的求解》中，提出了一种归纳推理的理论，其中的“贝叶斯定理（或贝叶斯公式）”给出了在已知结果E后，对所有原因C计算其条件概率（后验概率） 的公式.如今在概率、数理统计学中以贝叶斯姓氏命名的有贝叶斯公式、贝叶斯风险、贝叶斯决策函数、贝叶斯决策规则、贝叶斯估计量、贝叶斯方法、贝叶斯统计等等.
贝叶斯是一位自学成才的数学家.曾助理宗教事务，后来长期担任坦布里奇韦尔斯地方教堂的牧师.
例1
分析
贝叶斯公式在实际中有很多应用.
它可以帮助人们确定某结果
发生的最可能原因.
已知
往求
例2 某一地区患有癌症的人占，患者对一种试验反应是阳性的概率为，正常人对这种试验反应是阳性的概率为，现抽查了一个人，试验反应是阳性，问此人是癌症患者的概率有多大?
则 表示“抽查的人不患癌症”.
分析:
设 C={抽查的人患有癌症}，
A={试验结果是阳性}，
求 P(C|A).
现在来分析一下结果的意义.
由贝叶斯公式，可得
代入数据计算得 P(C｜A)=
2. 检出阳性是否一定患有癌症?
1. 这种试验对于诊断一个人是否患有癌症有无意义？
如果不做试验,抽查一人,他是患者的概率
若试验后得阳性反应则根据试验得来的信息，此人是患者的概率为
从增加到,将近增加约21倍.
1. 这种试验对于诊断一个人是否患有癌症有意义.
P(C｜A)=
P(C)=
试验结果为阳性 , 此人确患癌症的概率为
P(C｜A)=
2. 即使你检出阳性，尚可不必过早下结论你有癌症，这种可能性只有% (平均来说，1000个人中大约只有107人确患癌症)，此时医生常要通过再试验来确认.
例3
说明：全概率公式，贝叶斯公式非常重要，在运用时关键是找到样本空间的划分。
全概率公式
贝叶斯公式
小结
由因求果
执果求因
称
为后验概率,它是得到了信息事件A发生
再对导致 A 发生的原因发生的可能性大小重新加以修正
称 P( Bi ) 为先验概率，它是由以往的经验得到的，
它是事件 A 的原因
