Copyright©Linhui, Department of Finance, Nanjing University
金融工程与风险管理
第6章 二叉树模型与美式期权
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概述
二叉树期权定价（Binomial option Pricing
Model）由Cox,Ross,Rubinstein等人提出
为期权定价模型为B-S模型提供一种比较简
单和直观的方法
二叉树模型已经成为建立复杂期权（美式
期权和奇异期权）定价模型的基本手段
对于所有不能给出解析式的期权，都可以
通过二叉树模型给出。
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A Simple Binomial Model
A stock price is currently $20
In three months it will be either $22 or $18
Stock Price = $22
Stock Price = $18
Stock price = $20
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Stock Price = $22
Option Price = $1
Stock Price = $18
Option Price = $0
Stock price = $20
Option Price=?
A 3-month call option on the stock has a
strike price of 21.
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Consider the Portfolio: long D shares
short 1 call option
Portfolio is riskless when 22D – 1 = 18D or
D =
22 D – 1
18D
Setting Up a Riskless Portfolio
D股股票－1份期权=无风险证券→1份期权= D股股
票-无风险证券
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单期二叉树期权定价模型
考虑一个买权在当前时刻t，下期t=T到期，中间
只有1期，τ=T-t
假设该买权的标的股票是1个服从二项分布的随机
变量。当前股票价格为st=S是已知的，到期股票价
格为sT，且满足
其中，u为上涨因子，d为下跌因子
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sT=su=uS
sT=sd=dS
st
q
1-q
问题：如何确定该期权在当前时刻t的价值ct？
设想：构造如下投资组合，以无风险利率r借入资金
B（相当于无风险债券空头），并且在股票市场上购
入N股股票（股票多头）。
目的：在买权到期日，上述投资组合的价值特征与买
权完全相同。
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在当前时刻t，已知股票的价格为s，构造上述组合的成本
为
在到期时刻T，若希望该组合的价值v与买权的价值完全
相同则必须满足
由上两式得到
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由此得到的组合 称为合成期权（synthetic option），
由无套利定价原则，在当前时刻t买权的价值为
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例子
假设有1个股票买权合约，到期日为1年，执行价格为112
美元，股票当前的价格为100美元，无风险利率为8％（连
续复利折算为单利）。在到期日股票的价格有两种可能：
180美元或者60美元，求期权的价值？
sT=su=us＝180
sT=sd=ds=60
st
q
1-qct？
cT=cu=max(0, Su-112)=68
cT=cd=max(0, Sd-112)=0
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11
Dicussion: Risk-neutral probability
1. p is Risk-neutral probability for all securities 。
stock’s expected relative return is
Option’s expected relative return is
So，p is a variable which make riskful stock and call
option’s expected return are both only riskless interest rate.
For the above reason, We call p “risk neutral probability”.
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Dicussion: Risk-neutral probability
2. 在风险中性世界中，主观概率q没有出现。
虽然个人对q的信念是不同的，但是在期权的定价过
程中并没有涉及到q，也就是人们对q认识的分歧并
不影响对期权的定价结果。
投资者最终都一致风险中性概率p，它只取决于r，u
，d这三个客观因子。
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Dicussion: Risk-neutral probability
风险中性世界，不必考虑风险，这等价于假设投资者是风
险中性的。
若在期初构造如下组合：以S的价格买入N股股票，同时
以c的价格卖出1个期权，则该组合的投资成本为NS－c必
然等于B。
若sT＝su
若sT＝Sd
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投资者虽然投资于有风险的股票和期权，但是由
二者构成的组合NS－c，即相当于投资1个无风险
的证券。
组合的贴现率只能是无风险利率
由于是无风险证券，对于理性投资者，不论其偏
好如何，其风险态度对于这样的组合是无关紧要。
只要考虑收益的大小即可，由此大大简化资产的
定价。
基于上述的理由，只要以上述方式构建投资组合
来对期权定价，就等价于假设投资者是风险中性
的，既然是风险中性的，则对这样的组合定价就
不必考虑风险问题。
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由于标的资产市场价格是1个连续（接近连续）的随机变
量，不可能只有2种情形，因此可以考虑将时间T-t分为多
段处理，首先介绍两阶段模型。
两阶段二叉树定价模型
两阶段模型（Two-step binomial tree)
若把从定价日t至到期日T的时间区间T-t，划分为2个
阶段，在每1个阶段，仍然假设标的资产价格只可能取2
种状态，上涨和下跌，且上涨和下跌的幅度相等，则第
2阶段结束时候（t=T），标的资产价格的取值为3个，
并且令h为每个阶段的时间长度
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两阶段模型示意图
st
ct
su,cuu
d
u
u
d
d
sd,cd
suu,cuu
sud,cud
sdd,cdd
其中，u＝1/d
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第2期本来有4种状态，为简化分析，不妨规定u=1/d，
则第2、3两种状态为同一结果，故将其合并。
期权到期日价值的所有可能值为
两阶段模型
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由1阶段模型可知，在风险中性条件下
注意：风险中性概率p只与r，h，u，d有关，当上
述值确定下来后，两个阶段的p就完全相同，这也
正是阶段平分的优点。 19
当前时刻t，期权的价值为
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定价思路：倒推定价法
1. 首先得到2期节点的股票价格，从而得到
该期的期权价格。
2. 采用风险中性定价，通过贴现得到1期节
点的股票价格和期权价格。
3. 由1期的股票价格得到期权价格，得到当
前期权的价格。
4. 风险中性定价下，每一期的风险中性概率
都是相同的。
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将定价日t到到期日T的时间进一步等分为n个阶
段，每个阶段的长度为h
n阶段二叉树定价模型
标的资产在到期日的状态可能取值为n＋1个.
若n→∞，即每个阶段所对应的长度无穷小，则完全
有理由用二叉树来近似表示标的资产价格的连续变化
过程。
数学意义：根据中心极限定理，若n充分大，则二项
分布收敛于正态分布
思路：推导出n期的二项式模型，然后令n趋于无穷。
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标的股票当前价格为St=S，而在以后任意一期，
股价的变化有上升和下降两个可能。这样经过n
期后（到期日T），若该股票上涨j次，下跌n-j次，
到期日T股价ST为
由概率论可知，sT服从二项分布（binomial
distribution) ，所以，具有j次上涨，n-j次下降的股
票价格sT的概率为
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recall： binomial distribution
假设在一个不透明的袋子中有N个球，其中M个
是白色的，其余N-M个球是黑色的，则每次取球
取到白球的概率是p=M/N。
若有放回地取球n次，称之为n重贝努里试验。在
贝努里试验中刚好取到j次白球的概率记为
b(j;n,p)
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recall： binomial distribution
由于b(j;n,p)刚好是二项式
例如第j项就是
故上述分布又称为二项式分布，并且成立
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recall： binomial distribution
由于二项式分布计算复杂，为简化计算。当n→∞
，可以用正态分布逼近（定理：独立同分布下的
中心极限定理）。
设随机变量Yn~b(j;n,p)，则随机变量
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参照2阶段模型的思路，从最后的n期（T时刻）开始
逐期向前推导，则期权在当前时刻t的价格为
公式意义：在风险中性世界里，将期权到期时所有
的可能值对当前时刻贴现，并以风险中性概率加权，
得到的是期权现值的期望值。
此期望值是期权的真实值吗？
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For example: two-step binomial trees
28
CRR model: n-step binomial trees
29
30
31
How to compute u or
d?
32
Choosing u and d
One way of matching the volatility is to set
where s is the volatility and h is the length of
the time step. This is the approach used by
Cox, Ross, and Rubinstein. Neutral-risk
probability is
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Simplify first term
=1
34
Binomial equation
35
36
Simplify second term
37
Simplify all terms
Next step, we must deduce d1 and d2 when n→∞
38
deducing d1 and d2 (for m)
39
deducing d1 and d2 (for p)
40
41
42
deducing d2
43
Result: Black-Scholes formula
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How to choose u and d
Black-scholes model assume the motion of
stock price satisfies the Geometry Brown
motion or logarithm normal distribution
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How to choose u and d
In binomial model, we assume
q is probability of stock price up in real worlds. 46
How to choose u and d
47
48
So, we find one solve of the equation
In risk-neutral world, the return of securities must
be r, which means
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Disscusion: Choosing u and d
We have know neutral probability p for any step
u
d
1
p
1-p
50
We can get
Prove: in risk-neutral world
Varian of a stock’s return in
According to Geometry Brown motion
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u
d
1
p
1-p
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Substituting for u and d, the terms of higher than 2 power
are ignored.
From Cox，Ross and Rubinstein(1979) 53
美式期权可以提前执行，提前执行从表面上看是
一个非常微小的变化，但是欧式期权与美式期权
（尤其是看跌期权）价值有很大的不同。
We know the value of the option at the final nodes
We work back through the tree using risk-neutral
valuation to calculate the value of the option at
each node, testing for early exercise when
appropriate
美式期权没有解析解，故采用二叉树方法来逼近。
Application: American option pricing
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American option pricing
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以无收益证券的美式看跌期权为例。把该期权
有效期划分成N个长度为h的小区间，令
表示在时间 时第j个结
点处的美式看跌期权的价值，同时用
表示结点 处的证券价格，可得：
后，假定期权不被提前执行，则在风险中性
条件下：
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Example: American Put Option
(See Example , page 391)
S = 50; X = 50; r =10%; s = 40%;
T = 5 months = (year);
h = 1 month = (year);
The parameters imply
u = ; d = ;
= ; p =
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为了构造二叉树，我们把期权有效期分为五段，
每段一个月（等于年）。可以算出：
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Example
X＝50
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二叉树模型的程序
example ：Price an American call option using a
binomial model. Again, the asset price is $,
the exercise price is $, the risk-free interest
rate is 10%, and the time to maturity is years.
It computes the tree in increments of years,
so there are =5 periods in the example.
The volatility is , this is a call (flag = 1), the
dividend rate is 0, and it pays dividend of $
after three periods (an ex-dividend date).
Executing the toolbox function
60
MATLAB financial toolbox
[AssetPrice, OptionPrice] = binprice(Price,
Strike, Rate, Time, Increment, Volatility,
Flag, DividendRate, Dividend, ExDiv)
[StockPrice, OptionPrice] = binprice(100,
95, , ,, , 1, 0, , 3);
61
StockPrice =
Columns 1 through 4
0
0 0
0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
Columns 5 through 6
0
62
OptionPrice =
Columns 1 through 4
0
0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
Columns 5 through 6
0 0
0 0
0 0
63
Key conclusions
二叉树模型的基本依据：假设资产价格的运动是
由大量的小幅度二值运动构成，用离散的随机游
走模型模拟资产价格的连续运动可能遵循的路径。
二叉树模型与风险中性定价原理相一致，即模型
中的收益率和贴现率均为无风险收益率，资产价
格向上运动和向下运动的实际概率并没有进入二
叉树模型，模型中隐含导出的概率是风险中性世
界中的概率，从而为期权定价。
当二叉树模型相继两步之间的时间长度趋于零的
时候，该模型将会收敛到连续的对数正态分布模
型，即Black-Scholes方程。
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