第二节 排队论的应用
第四章 交通流理论
一、引言
排队论是研究“服务”系统因“需求”拥挤而产生等待行列即
排队的现象，以及合理协调需求与服务关系的一种数学理论，
是运筹学中以概率论为基础的一门重要分支，亦称“随机服务
系统理论”。
典型的例子——食堂打饭排队、高速公路收费站进出口排队；
排队论是20世纪初开始发展的。1905年丹麦哥本哈根电话工程
师爱尔朗首先在电话自动交换机设计时应用排队论。使电话机
既能满足通话需求而又不致设线过多。第二次世界大战以后，
排队论在很多领域内被采用。在交通工程中，对于研究车辆延
误、通行能力、信号灯配时以及停车场、加油站等交通设施的
设计与管理方面得到广泛的应用。1936年亚当斯（）
用以考虑未设置交通信号交叉口的行人延误问题，1951年唐纳
予以推广应用，1954年伊迪（ Edie ）应用排队模型估计收费
亭的延误。同年在摩斯柯维茨的报告中，将其应用于车辆等候
交通流空档的实验报告。
二、排队论的基本原理
1．基本概念
1) “排队”与“排队系统”的概念
“排队”—单指等待服务的，不包括正在被服务的；
“排队系统”—既包括等待服务的，又包括正在被服务的车辆。
排队的 8辆车
排队系统 10辆车
排队的车辆
排队系统
中的车辆
2)排队系统的3个组成部分：
(1)输入过程就是指各种类型的“顾客(车辆或行
人)”按怎样的规律到达。有各式各样的输入过程，
例如：
定长输入：顾客等时距到达。
泊松输入：顾客到达时距符合负指数分布。这种
输入过程最容易处理，因而应用最广泛。
爱尔朗输入：顾客到达时距符合爱尔朗分布。
排队输入 输出
2)排队系统的3个组成部分：
(2)排队(规则)指到达的顾客按怎样的次序接受服务。
例如：
损失制：顾客到达时，若所有服务台均被占，该
顾客就自动消失，永不再来。
等待制：顾客到达时，若所有服务台均被占，他
们就排成队伍，等待服务，服务次序有先到先服
务(这是最通常的情形)和优先权服务(如急救车、
消防车优先)等多种规则。
混合制：顾客到达时，若队伍长小于L，就排入队
伍；若队伍长等于L，顾客就离去，永不再来。
2)排队系统的3个组成部分：
(3)服务方式(输出)指同一时刻有多少服务台可接纳顾客，
每一顾客服务了多少时间。每次服务可以接待单个顾客，
也可以成批接待，例如公共汽车一次就装载大批乘客。
服务时间的分布主要有如下几种：
①定长分布：每一顾客的服务时间都相等（发放物品）；
②负指数分布：即各顾客的服务时间相互独立，服从相
同的负指数分布(看病)；
③爱尔朗分布：即各顾客的服务时间相互独立，具有相
同的爱尔朗分布。
为叙述方便，引用下列符号，令
M代表泊松分布输入或负指数分布服务；
D代表定长分布输入或定长分布服务；
Ek代表爱尔朗分布的输入或服务。
于是泊松输入、负指数分布服务，N个服务台的排
队系统可以写成M/M/N；
泊松输入、定长服务、单个服务台的系统可以写
成M/D/1。
同样可以理解M/ Ek /N，D/M/N…等符号的含义。
如果不附其它说明，则这种符号一般都指先到先
服务，单个服务通道的等待制系统。
3)排队系统的主要数量指标
最重要的数量指标有3个：
(1)等待时间即从顾客到达时起到他开始接受服务
时止这段时间。
(2)忙期即服务台连续繁忙的时期，这关系到服务
台的工作强度。
(3)队长（顾客数）有排队顾客数与排队系统中顾
客之分，这是排队系统提供的服务水平的一种衡
量。
三、M/M/1系统—单通道服务系统
四、M/M/N系统
多通道服务方式
例3. 一加油站，今有2400辆/h的车流量通过4个通道引
向4个加油泵，平均每辆车加油时间为5s，服从负指数
分布，试按多路多通道系统（4个M/M/1系统 ）单路
多通道系统（M/M/4系统）计算各相应指标。
解： 按4个M/M/1系统由题意可知：
按单路多通道系统M/M/4计算：
4个M/M/1 M/M/4
平均车辆数 20
平均排队长
平均耗时 30 10
平均等候时间 25 5
两种系统比较
四、简化的排队延误分析方法
交通工程师在应用数学上成熟的排队论之外，还对交通拥挤
现象以简化的方式作过分析，前提：假定在某一持续时间内
车辆的出入是均一的。
例：有一公路与铁路的交叉口，火车通过时，栅栏关闭的时
间 tr= 。已知公路上车辆以均一的到达率 ＝900(辆／h)
到达交叉口，而栅栏开启后排队的车辆以均一的离去率u＝
1200(辆／h)离开交叉口。试计算由于关闭栅栏而引起的：
单个车辆的最长延误时间tm，
最大排队车辆数Q，
排队疏散时间t 0，
排队持续时间t j
受限车辆总数n，
平均排队车辆数 ，
单个车辆的平均延误时间 ，
车时总延误D。
图中虚线为到达车辆累积数，实线为离去车辆累积数。两曲
线的水平间隔即为某车的延误时间，垂直间隔为某一时刻的
受阻(排队)车数。两曲线围成的面积即为总延误车时数。在
此图上用几何方法亦不难求出上例的各项指标。
