拉普拉斯
逆变换
拉普拉斯逆变换
常用的方法
（1）查表
（2）利用性质
（3）部分分式展开
两种或三种
方法结合
拉普拉斯逆变换
通常象函数F(s)是s的有理分式，可写为：
式中，ai, bi为实数，m, n为正整数。
2. 若m≥n （假分式）,可用长除法将F(s)分解为有理多项式P(s)与有
理真分式之和。
1. 当m<n , F(s)为有理真分式。
讨论
拉普拉斯逆变换
多项式长除法
由于 ，故多项式P(s)的拉普拉斯逆变换由冲激函数
构成。
拉普拉斯逆变换
零极点概念
上式中A(s)称为F(s)的特征多项式，方程A(s)=0称为特征方程，它的根称为
特征根。 根 p1 ，p2· · · pn称为F(s)的极点。 z1 ，z2 · · ·zm称为F(s)的零点。
零极点在复平面中的描述
零点
极点
拉普拉斯逆变换
拉氏逆变换的过程
Step1 求F(s)的极点
Step2 将F(s)展开为部分分式
Step3 查变换表求出原函数f(t)
部分分式展开分三种情况
1. F(s)极点为单极点（单阶实数根）
2. F(s)极点为共轭复数
3. F(s)有重极点（重根）
拉普拉斯逆变换
1. F(s)为单极点（单阶实数根）
例 已知 ，求其逆变换。
Step1 求极点解
拉普拉斯逆变换
Step2 展成部分分式
Step3 查变换表求出原函数f(t)
拉普拉斯逆变换
2. F(s)极点为共轭复数
可见K1,K2是共轭关系：
F(s)展开成部分分式和形式
拉普拉斯逆变换
拉普拉斯逆变换
3. F(s)有重极点（重根）
若A(s) = 0在s = p1处有r重根，则
先求K11。上式两边同时乘以 得
然后代入s = p1，即可求出K11。
拉普拉斯逆变换
依此类推，可得系数计算通式如下：
再求K12。同理，对F(s)两边同时乘以 得
然后,上式两边对复变量s求导得
代入s = p1，即可求出K12。
拉普拉斯逆变换
关于重根的逆变换
利用积分特性可知 故
例 已知 ，求逆变换。
解 由题知s = -2是单根， s = -1为2重根。部分分式展开为
拉普拉斯逆变换
所以
