第二章
第四节
二维随机变量及其概率分布(23)
一、二维随机变量的概念
二、二维离散型随机变量
三、二维连续型随机变量
以上我们只限讨论一个随机变量的情况,
但在实际问题
一、二维随机变量的概念
定义1
有些随机试验的结果需要用两个或两个以上的随机变
量来描述.
例如:
为了研究大学生身体发育状况,
中,
学生进行抽查,
对某校大
对于每个学生都能观察到他的身高H和体
重W,
这里H和W是两个随机变量,
类似的例子还有许多.
设随机试验 E 的样本空间为 ,
X ,Y 是定义在
上的两个随机变量,
则二维向量( X , Y ) 称为二维随机
向量或二维随机变量.
二维随机变量( X , Y )的性质不仅与 X 及 Y 有关,
而且还依赖于这两个随机变量的相互关系,
注意:
定义2
因此逐个研究
体来进行研究.
还必须将( X ,Y ) 作为一个整
与一维的情况类似,
我们也借助于分布函数来研究二
设( X , Y ) 是二维随机变量,
对任意实数 x , y ,
二元函数
称为二维随机变量( X ,Y ) 的联合分布函数.
随机变量 X 与 Y 是不够的,
维随机变量.
(1)
在几何上,
若把二维随机变量( X ,Y )看作平面上随机点
的坐标,
那么联合分布函数 F (x ,y)在点(x , y)处的函数
值,
就是随机点(X ,Y)落在以点(x , y)为顶点的左下方无
穷矩形域内的概率.
由联合分布函数的几何意义很容易得出
落在一个矩形区域
内的概率
为:
(2)
随机点( X ,Y )
定理1
(1) F ( X , Y )关于x ,y 均是非减函数;
(2)
（3） 关于 均是右连续函数；
（4）对任意 ， 均有
二维随机变量( X ,Y )的联合分布函数 F (x , y)
具有以下性质:
注意到:
同理:
分别称为二维随机变量( X ,Y )关于X ,
二维随机变量( X , Y )的分量 X 与Y 分别是一维
随机变量,
通过( X , Y ) 的联合分布函数F ( X , Y )可以求
出 X 与Y 各自的分布函数
与
与
关于Y 的边缘分布函数.
即有:
(3)
(4)
二、二维离散型随机变量
则称( X , Y ) 是二维离
若二维随机变量( X ,Y )的全部可能取值是有限多对
或可列无穷多对
并称
为二维离散型随机变量( X , Y ) 的联合分布律.
联合分布律的性质:
(1)
(2)
散型随机变量.
的联合分布律通常用表格(矩阵)给出：
( X ,Y )的联合分布函数F ( x ,y)
其中
由(X ,Y )的联合分布律还可求出 X 与 Y 各自的分布律.
求出:
是对一切满足
的
求和.
可由上面的联合分布律
(5)
记:
分别称为( X ,Y )关于 X 关于 Y 的边缘分布律.
在联合分布律的表格中,
将每行与每列相加即可得到
边缘分布律.
例1.
设随机变量 X 在1 , 2 , 3 , 4 这四个整数中等可能
另一个随机变量 Y 在1 ~ X 中等可能地取一整数
解:
由于{ X = i ,Y = j }的取值情况是:
j 取不大于i 的正整数 ,
由乘法公式容易求得:
所以( X , Y )的联合分布律与边缘分布律为:
试求二维随机变量 ( X , Y ) 的联合分布律及边缘
i = 1 , 2 , 3 , 4 ,
取值,
值,
布律.
1 2 3 4
1
2
3
4
即有 X 边缘分布律:
Y 边缘分布律:
1 2 3 4
X
1 2 3 4
Y
也即有:
三、二维连续型随机变量
实数 x ,y 都有
定义3.
函数,
( X ,Y )的联合概率密度函数.
则称( X ,Y )为二维连续型随机变量,
设F (x , y) 为二维随机变量( X , Y )的联合分布
若存在一个非负二元函数 f ( x ,y ) ,
使对任意
(6)
并称 f (x ,y) 为
联合概率密度函数 f (x ,y) 的性质:
(1) f (x , y ) 0 ;
(3) 若 f ( x ,y ) 在点( x ,y ) 处连续,
(4)
性质(4)表明在几何上,
概率,
则有
( X ,Y )落在某平面区域 D 中的
在数值上就是 f ( x ,y ) 在区域 D 上的二重积分.
由( X ,Y )的联合概率密度函数 f ( x ,y )
变量 X 和 Y 的概率密度函数
因为
而
所以
同理有
称为( X , Y )关于 X 的边缘概率密度函数;
称为( X ,Y )关于 Y 的边缘概率密度函数.
和
(7)
(8)
可求得一维随机
例3.
(2)
X ,Y 的边缘概率密度函数;
求:
及
(3)求( X ,Y )的联合分布函数 F ( X ,Y ) .
解:
(1).
设 ( X , Y )的联合概率密度函数为
(1)
1
1
(2).
当x 0 或 x 1 时,
则
当0 < x < 1时,
则有
同理:
(3).
①当x 0 或 y 0 时,
则
②当0 < x < 1 且 0 < y < 1时,
③当0 < x < 1 且 y 1 时,
④当 x 1 且 0 < y < 1 时,
⑤当 x 1 且 y 1 时，
综上有:
作业
第二章 9 , 10 , 11 .
预习: 第五节
