一.离散型随机变量的分布律
引例
如图中所示，从中任取 3 个球
取到的白球数 X 是一个随机变量
X可能取的值是0,1,2
取每个值的概率为：
第二节 离散型随机变量的概率分布（分布律）
且：
北邮概率统计课件
设离散型随机变量 X 所有可能取的值为
的概率为:
则 称
为离散型 随机变量
X 的 概率分布 或 分布律.
注: 分布律可以列表给出
1.定义:
其各个可能取值
即事件
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2. 性 质
用这两条性质判断
一个函数是否是
概率函数
注
一般：求分布律时需验证这两条性质。若成
立则称得上是分布律，否则说明分布律求错.
▲
具有离散型随机变量才具有分布律
▲
北邮概率统计课件
X 的可能取值: 0, 1, 2.
X 的各种可能取值的概率如下:
解:
设在15只同类型的零件中有两只次品，现从中
抽取3只，以 X 表示取出3只中所含次品的个数.
求:X的分布律.
例1.
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图形:
亦称概率
分布图
所以其
分布律为：
( 显然每个
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某篮球运动员投中篮圈概率是，
求：他两次独立投篮投中次数 X 的概率分布.
X 可能取值为 0、1、2
P(X =0)=()()=
P(X =1)= 2()() =
P(X =2)=()()=
且 P(X =0)+ P(X =1)+ P(X =2)=1
从中抽取3只，求次品数不大于1只的概率有多大？
思考题：
答案：
例2.
解：
则：
故得其分布律为：
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一汽车沿一街道行驶，需要通过三个均设有红绿信号灯的路口，每个信号灯为红或绿与其它信号灯为红或绿相互独立，且红绿两种信号灯显示的时间相等. 以 X 表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数，求：X 的概率分布.
依题意, X 可取值 0, 1, 2, 3
例3.
解:
Ai={第i个路口遇红灯}, i=1,2,3
设
路口3
路口2
路口1
则：P(X=0)=P(A1)=1/2
北邮概率统计课件
Ai={第i个路口遇红灯}, i=1,2,3
设
Ai={第i个路口遇红灯}, i=1,2,3
设
路口3
路口1
路口2
P(X=1)=P( )
= 1/4
X表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数
路口2
路口3
路口1
P(X=2)=P
=1/8
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X表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数
Ai={第i个路口遇红灯}, i=1,2,3
设
路口1
路口2
路口3
=1/8
P(X=3)= P
于是得其分布律为：
显 然，
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某加油站替公共汽车站代营出租汽车业务，每出租一辆汽车，可从出租公司得到 3元. 因代营业务，每天加油站要多付给职工服务费 60元. 设每天出租汽车数 X 是一个随机变量，它的概率分布如下：
求: 因代营业务得到的收入大于当天的额外
支出费用的概率.
例4.
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加油站代营每出租一辆车，可得3元.
若设每天出租汽车数为X，则因代营业
务得到的收入为 3X 元.
每天加油站要多付给职工服务费60元，
即当天的额外支出费用.
因代营业务得到的收入大于当天的额外
支出费用的概率为：
P{3X>60}
即 : P{X>20}
分析：
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注意到:
也就是说，加油站因代营业务得到的收入大于
当天的额外支出费用的概率为 .
故其经营决策者应该考虑是否继续代营此项业
务或应该考虑是否调整当天的额外支出费用.
P{X>20}=P{X=30}+P{X=40}=
所以得：
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二. 几种常见的离散型随机变量的分布
1.(0 1)分布
若随机变量X只能取 0 与 1 两个值,它的分布律为:
则称 X 服从 (0--1)分布，记为：
列表:
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它只发一弹，要么打中，要么打不
中，分别记为 1与 0
分布律为：
( 0—1 )分布的应用很广，比如:
检查产品的质量(正品与次品)
有奖储蓄券是否中奖(中与不中)
对婴儿性别进行登记(男与女)
高射炮射击敌机是否击中等等.
某次射击,已知某射手的命中率为.
求:射击一次命中目标次数X的分布律.
例4.
解:
注:
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2. 二项分布
(1).贝努利概型
重复进行n次试验,若各次试
验的结果互不影响，即每次试验结果出现的概
率都不受其它各次试验结果的影响. 则 称 这 n
次试验是相互独立的.
把在相同的条件下重复进行n 次独立试验的
概率模型, 称为 n 次独立试验模型.
n 次相互独立试验:
说明:
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设随机试验 E 只有两种可能的结果
则称这样的 n 次重复独立试验概型 为：n 重贝努利概型.
设生男孩的概率为 p，
生女孩的概率为 q=1-p，
令 X 表示随机抽查出生的4个婴儿
中“男孩”的个数.
求： X 的概率分布.
贝努利概型:
且在每次试验中 出现的概率为：
例5.
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X表示随机抽查的4个婴儿中男孩的个数，
生男孩的概率为 p.
男
女
X=0
X =1
X =2
X =3
X =4
X的概率函数是：
X可取值 0, 1, 2, 3, 4.
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将一枚均匀骰子抛掷 3 次，
令:X 表示 3 次中出现“4”点的次数
求: X的概率函数
X的概率函数是：
例6.
解:
显然，
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设一次试验中事件A发生的概率为
则在 n 次贝努利试验中事件A 恰发生 k 次概率为:
按独立事件的概率计算公式可知，n 次试验
中事件A 在某 k 次 ( 例如前 k 次) 发生而其余 n-k 次不发生的概率应为:
定 理
证明:
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而且它们是相互独立的，故在 n 次试验中A发生 k 次的概率 ( 依概率的加法定理) 为:
概率 就等于二项式
的展开式中 的系数，这也是二项分布的名称的由来.
由于现在只考虑事件A 在n 次试验中发生 k 次而不论
在哪 k 次发生,所以它应有 种不同的发生方式.
注
显然它满足：
▲
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设某炮手射击的命中率为 ，为炸毁某个目标， 经预测只要命中两发就够炸毁.
问:希望发射5发炮弹就能炸毁目标的可能性有多大?
A : 发射 5 发炮弹就炸毁了目标
例7.
解:
（恰好中两发）
=
（至少中两发）
（恰好中三发）
+
（恰好中四发）
+
（恰好中五发）
+
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(2). 二项分布
若用X表示 n 重贝努利概型中事件A 发生的次数，它的分布 律为：
则称 X 服从参数为 n, p (0<p<1) 的二项分布，
记为:
列表:
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对于固定n 及 p，当 k
增加时 ，概率P(X=k)
先是随之增加直至达
到最大值，随后单调
减少.
n=10,p=
n
Pk
注
特别当n=1时，二项分布即为 ( 0---1 ) 分布
▲
二项分布 的图形特点：
X~B(n,p)
▲
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n=13,p=
Pk
n
0
当(n+1)p为整数时
概率P(X=k)
在k=(n +1)p 和
k=(n+1)p-1处
达到最大值.
当 (n+1)p 不为整数时，概率 P(X=k)
在 k=[(n+1)p] 达到最大值
其中：[x] 表示不超过 x 的最大整数
北邮概率统计课件
已知100个产品中有5个次品，现从中
有放回地取3次，每次任取1个
求: 在所取的3个中恰有2个次品的概率.
因为这是有放回地取3次，因此这3 次试验
的条件完全相同且独立，它是贝努里试验.
依题意，每次试验取到次品的概率为.
设 X 为所取的3个中的次品数，
于是，所求概率为：
则
X ~ B (3, )
例8
解:
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若将本例中的“有放回”改为”无放回”，那么
各次试验条件就不同了，就不是贝努里概型，
此时，只能用古典概型求解.
古典概型与贝努里概型
有何区别？
注
贝努里概型对试验结果没有等可能的要求，但要求：
（1）每次试验条件相同，各次试验相互独立
（2）每次试验只考虑两个互逆结果A 或
且
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若一年中参加人寿保险者里面每个人死亡的概率为,现有10000个这类人参加人寿保险.
试求：在未来一年中在这些保险者里面:
(1).有10人死亡的概率
(2).死亡人数不超过10人的概率.
设 X: 在未来一年中这些保险者中的死亡人数.
(1).有10人死亡的概率为：
例9.
解:
这是贝努利概型.
则：
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(2). 死亡人数不超过10人的概率是:
这些计算是非常麻烦的，现给出一个当 n 很大，p 很小时的近似计算公式，即二项分布的Possion逼近.
泊松(Possion)
定理
设 是一常数
则对任一固定的非负
整数 k 有：
且
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证明:
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泊松定理中 的值有表可查
例10. 用泊松定理中的近似公式计算例 9
解：
注:
一般的用 去近似二项分布的 当：
时近似效果颇佳
时近似效果更好
见本教材第二版的P372的附表3
1万人参加
保险，每人
的死亡率为
.
求:10人死亡
小于10人死
亡的概率
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这里 附表3 没有列入，n 确实很大时更进
一步的计算将在第五章介绍中心极限定理之后
再来解决比较方便.
若现将“每个人死亡的概率改为”，则
注：
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设有80 台同类型设备，各工作是相互独立的，发生故障的概率都是,且一台设备的故障能由一个人处理。现考虑两种配备维修工人的方法：其一是由4人维护，每人负责20台；其二是由3人共同维护80台.
试比较：这两种方法在设备发生故障时不能及时维
修的概率大小.
（1）在第一种配备方法中
则：在80台中发生故障而不能及时维修的概率为：
例11
解：
人维护的20台中发生故障不能及时维修
人维护的20台中同一时刻发生故障的台数
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（2）在第二种配备方法中
则在80台中发生故障而不能及时维修的概率为:
时刻发生故障的台数
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结论： 经比较，采用第二种配备方法虽然人员减少，每个人的任务加重(每人平均维护 27台），但质量不仅没降低，反而提高了，故应采用第二种配备方法。
3. 泊松分布
若随机变量X 的所有可能取值为：
而它的分布律(它所取值的各个概率)为：
则 称 X 服从参数为 的 泊松分布,记为
定理：
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注
泊松分布满足分布律的两个条件：
▲
▲
泊松分布 的图形特点：
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在实际中，许多随机现象服从或近似 服从泊
松分布。 若把在每次试验中出现概率很小
的事件称作稀有事件。
二项分布与泊松分布的关系
▲
由泊松分布的定义及泊松定理可知：
当 泊松分布是二项分布的
近似。
（这是1837 年由法国数学家泊松引入的 ）
比如：
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由泊松定理，n 重贝努里试验中稀有事件
出现的次数近似地服从泊松分布.
地震、火山爆发、特大洪水、
意外事故 等等
比如：
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在自然界和人们的现实生活中,经常要遇到在随机时刻出现的某种事件.我们把在随机时刻相继出现的事件所形成的序列,叫做随机事件流.
若事件流具有平稳性、无后效性、普通性， 则称该事件流为泊松事件流（泊松流）
泊松分布产生的一般条件
▲
平稳性:
在任意时间区间内，事件发生k 次(k≥0)的
概率只依赖于区间长度而与区间端点无关.
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无后效性
普通性
在不相重叠的时间段内，事件的发生是相
互独立的.
如果时间区间充分小，事件出现两次或两次以上的概率可忽略不计.
例如：
一放射性源放射出的
粒子数
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都可以看作泊松流.
某电话交换
台收到的电
话呼叫数
到某机场
降落的飞
机数
一个售货
员接待的
顾客数
一台纺纱机的断头数
………
例如
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一家商店采用科学管理，由该商店过去的销售
记录知道，某种商品每月的销售数可以用参数
λ=5 的泊松分布来描述，为了以95%以上的把
握保证不脱销
问：商店在月底至少应进某种商品多少件？
解:
设该商品每月的销售数为X
已知 X 服从参数λ=5 的泊松分布.
设商店在月底应进某种商品 m 件
求满足
P(X≤m)>
的最小的 m
进货数
销售数
例12
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求满足
P(X≤m)>
的最小的m.
查泊松分布表得：
P(X>m) ≤
也即求：
于是得 m+1=10,
或
即：m=9件
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