第5讲 协方差和相关系数
第4章 数字特征与极限定理
经济数学—概率论与数理统计（慕课版）
第5讲 协方差和相关系数
前面我们介绍了一维随机变量的数学期望和方差，对于二维随
机变量，除每个分量各自的概率特性外, 相互之间可能还有某种联系，
我们现在要讨论的就是反映分量之间关系的数字特征——
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协方差和相关系数
本讲内容
01 协方差和相关系数的概念
协方差和相关系数的性质02
称为 X ,Y 的协方差.
记为
若D(X ) > 0, D(Y ) > 0 ,称
为X ,Y 的相关系数
记为
01 协方差和相关系数的概念
协方差和相关系数的概念
定义
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协方差的大小在一定程度上反映了X 和 Y 相互间的关系，但它还受
X与Y 本身度量单位的影响. 为了克服这一缺点，对协方差进行标准
化，从而引入了相关系数的概念.
01 协方差和相关系数的概念
解释
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cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)
由协方差的定义及期望的性质，可得
cov(X,Y)=E{[ X-E(X)][Y-E(Y) ]}
=E[XY-XE(Y)-YE(X)+E(X)E(Y)]
=E(XY)-E(X)E(Y)
即
=E(XY)-E(X)E(Y)-E(Y)E(X)+E(X)E(Y)
01 协方差和相关系数的概念
计算协方差的简单公式
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设保险公司对投保人的汽车保险和财产保险分别设定了免赔额
（单位：元），现任选一位同时投保汽车保险和财产保险的客
户，X表示其汽车保单的免赔额，Y表示其财产保单的免赔额，
随机变量 的联合分布律为
Y
X
0 100 200
100
250
求cov( X , Y )，
01 协方差和相关系数的概念
例
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Y
X
0 100 200
100
250
01 协方差和相关系数的概念
8
设随机变量（X，Y）具有概率密度
01 协方差和相关系数的概念
例
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01 协方差和相关系数的概念
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设 ( X ,Y ) ~ N ( 1, 2 ;12,22 ; )
利用二维正态分布及协方差相关系数的计算公式可得
01 协方差和相关系数的概念
二维正态分布的数字特征
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02
本讲内容
01 协方差和相关系数的概念
协方差和相关系数的性质
存在常数a, b(a≠0)，使P(Y=aX+b)=1，
即X和Y以概率1线性相关
02 协方差和相关系数的性质
协方差和相关系数的性质
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X ,Y 相互独立 X , Y 不相关
若 称 X ,Y 不相关.
显然，若X与Y 独立， cov(X,Y)= 0 ，
反之，X与Y 之间没有线性关系并不表示没有关系！
显然是不相互独立的
X , Y 不相关
02 协方差和相关系数的性质
例
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若 ( X , Y ) 服从二维正态分布，
X , Y 相互独立 X , Y 不相关
X ,Y 相互独立 X , Y 不相关
02 协方差和相关系数的性质
相关系数含义及重要结论
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利用性质
简化计算已知 求
由方差、协方差的性质及相关系数定义
例
解
02 协方差和相关系数的性质
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利用性质
简化计算
因为X与Y 相互独立， 所以 ，则由协方差的性质
思考：还有其他方法吗？
02 协方差和相关系数的性质
例
解
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利用性质
简化计算
02 协方差和相关系数的性质
将一枚硬币重复掷ᵅ�次，X与Y分别表示正面向上和反面向上的次
数，则X与Y的相关系数等于
例
解
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主讲教师 | 叶宏 副教授
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