控制图的设计常规控制图、CUSUM控制图与EWMA控制图
一般，我们将控制图中心线两侧到控制限划分为3个区间，从控制限到中心线分别记为A区、B区和±3σC区，显然分区的依据就是控制限的原则了。 USLA+3σB+2σC+1σ%%%CL-1σCB-2σ-3σALSL“点出界就判异”控制图的分区
质量特性值BUCLμ1βαμCL0ALCL0样本号两类错误发生的概率间距增大，α减少，而β增加 间距减小，α增大，而β减少 两类错误不可同时避免
常规休哈特控制图漏发警报概率的增加常规控制图的设计思想是先定α后看β。通常的统计假设检验一般采用α=1%，5%，10%三档，但休哈特为了增强使用者的信心，把常规控制图的α取得特别小，但这样β就大。
常规休哈特控制图对过程小偏移的灵敏度过程均值的偏移幅度较小, 导致常规休哈特控制图失效：χ控制图对于偏移幅度在σ到2σ之间或者更大的情况都是很有效的，而对于较小的偏移则不太有效。
观测值x x−10s=(x−10)+s观测值xx−10s=(x−10)+s 样本序号i样本序号iiiii−1iiiii−1i1 16 2 17 3 18 4 19 5 20 6 21 7 22 8 23 9 24 10 25 11 26 12 27 13 28 14 29 15 30
CUSUM控制图(Page 1954)1954年，最早应用序贯分析原理，提出累积和控制图。CUSUM控制图的设计思想就是对数据的信息加以累积。CUSUM控制图对过程的小变动较灵敏。以控制过程均值的CUSUM控制图为例： 假设采集到样本容量n≥1的样本，用x表示第j个样本的均值，如果以μ表j0示过程均值的目标值，那么CUSUM控制图的统计量为： is=(x−μ) j∑i0j=1s是到第i个样本为止的累积和。 i当过程处于稳态时，CUSUM统计量s是一个在0附近随机波动的变量，即以i0为均值的随机变量。若过程出现偏移，偏移会不断累积到CUSUM统计量s中。i
μ=μ=10
EWMA控制图(Roberts 1959) EWMA控制图关注的是当前值与历史数据的加权平均，即Z=λx+(1−λ)Z ttt−1其中，Z为当前时刻的EWMA统计量，Z为上一时刻的tt−1EWMA统计量，Z=μ，为EWMA统计量的初值，x为0t当前时刻的观测值，λ为权重因子。
受对过程小偏移比较灵敏的CUSUM控制图和EWMA控制图的启发，常规休哈特控制图增加了“界内点排列不随机”的判异原则。<<常规控制图>>国家标准 备注 ～-83α(虚发警报)GB/T4091-2001 α(虚发警报)2005? ①点出界就判异% 点出界就判异% α≈α总∑ii连续7点或更多点在% 连续9点落在中% ②与中心线同一侧 心线同一侧 α=%连续7点或更多点的% 连续6点递增或% 相近 上升或下降趋势 递减 连续14点中相邻 点交替上下 连续3点中至少有2 连续3点中有% 点和连续7点中至少点落在中心线同有3点落在二倍标准一侧的B区以外 差与三倍标准差控制界限之间
<<常规控制图>>国家标准 备注 ～-83 α(虚发警报)GB/T4091-2001 α(虚发警报)2005? ① 连续5点中有% α≈α总∑ii点落在中心线同 一侧的C区以外 ②与 连续15点落在中% 分层 α=%心线两侧的C区相近 内 连续8点落在中% 分层 心线两侧且无一在C区内 连续11点中至少有10 无相应的规定 点在中心线同一侧； 连续14点中至少有12点在中心线同一侧； 连续17点中至少有14点在中心线同一侧； 连续20点中至少有16点在中心线同一侧
26连续6点递增或递减，概率为×。 6!UCL A B C CL C B A LCL 造成这种情形可能的原因是设备逐渐的损坏、操作者的疲劳或工具的磨损等等。
连续14点中相邻点交替上下 UCL A B C CL C B A LCL 鸡蛋计时器效应 在记录交替倒置的鸡蛋计时器流出的沙子的时间时，会观察到这样的现象（交替上下）。
连续15点落在中心线两侧的C区内 UCL A B C CL C B A LCL 看上去不错，隐含非随机性／分层问题 比如，子组大小为2，每个子组中的一个个体来自分布A，子组中的另一个个体来自分布B，如果分布A与分布B有不同的均值，那么基于极差的控制限间隔很大。因此，并不是点子的变化不大，而是控制限太宽。 出现这种情况的原因可能是不适当的量具改进、改进流程、量具不变等等。
连续8点落在中心线两侧且无一在C区内 UCL A B C CL C B A LCL 分层 出现这种情况的原因可能是在一张控制图上有两个或者更多的过程或循环的影响等等。
“界内点排列不随机”的判异原则，不可能包括过程出现小波动所带来的所在“界内点排列不随机”的情况，因而，“界内点排列不随机”的判异原则，往往只使用易于解释的有限几种模型。CUSUM控制图对于分层情况的检测效果CUSUM控制图对于上下交替的检测效果
常规休哈特控制图对历史数据的利用率常规控制图对当前数据的信息进行了充分的利用，但“点出界就判异”中，所有历史数据的权重都为零。 CUSUM控制图能够利用所有的历史数据，但历史数据的权重是一致的。 EWMA控制图同样利用了所有的历史数据，但EWMA控制图可以对不同阶段的数据取不同的权重，距当前越近的数据权重越大，距当前越远的数据权重越小。
%%%%CUSUM100100常规百分比（百分比（5050））00nn(b)(a)EWMA100滑动平均100k=5百分比（百分比（5050））00nn(c)(d)数据权重图
常规计数值控制图存在的不足1 以正态分布为基础①过程不合格品率P较小，则样本容量n必须充分大，这样才能使样本中至少包含一个不合格品的概率足够大，否则，P较小而n又不够大，则p图和pn图的控制线会使得只要样本中出现一个不合格品就点子出界，判断过程异常，而最终导致控制图失效。 比如：P＝1%而n＝9 UCL= P+3P(1−P)/n=+× CL=P LCL= - 样本中检测到一个不合格品的样本不合格品率为p=1/9≈，即在控制图上，只要样本中出现了不合格品，就打点出界，控制图失去了应有的作用。
常规计数值控制图存在的不足1 以正态分布为基础②正态分布是对称分布，二项分布和泊松分布是偏态分布 （Schwertman & Schmid，1989）二项分布的近似在通常情况下，即使样本容量很大取到n P>5时，效果也不理想，正态近似的效果与不合格品率P的数值有关。 （Ryan，1989）点子落在p图和pn图UCL外的概率要大于，而落在LCL外的概率要小于。 (Quesenberry，1991) 利用p图和pn图去检测过程不合格品率的下降时，P(D/n)<LCL非常接近0。 ③二项分布和泊松分布的偏态特性带来了一个问题，判异和判稳准则的所有理论依据需要重新论证。
常规计数值控制图存在的不足2 下控制限LCL不为负对于p图和pn图，LCL= P-3P(1−P)/n>0 1−Pn>9× P对于c图和u图，LCL=λ−3λ>0 检查单位内的平均不合格品数λ>9
常规计数值控制图存在的不足3 样本大小的变化，导致控制线凹凸不平若子组大小n随子组的不同而发生变化，则对于每个子组都要计算出各自单独的控制限，此时控制限呈现凹凸状，增加了绘制控制图的难度。 p图和u图 上下控制线 pn图和c图 上下控制线和中心线(要求样本容量取定值)
常规计数值控制图的改进1 对统计量进行处理 在控制线为LCL=-3，CL=0，UCL=3的控制图上打点 ①通用控制图 对数据进行标准变换，控制线为LCL=-3，CL=0，UCL=3 直接打点法 ② (Quesenberry，1991) 二项Q图（P已知，P未知）与泊松Q图（λ已知，λ未知） ③（Ryan，1989）使用Freeman & Tukey变换（1950）， Arcsine p控制图（P已知，P未知）和平方根c控制图（λ已知，λ未知） 2 不改变数据，直接调整控制线----调整控制图 （Winterbottom1993）使用Cornish & Fisher展开式（1937） 1+2标准调整控制图
CUSUM控制图单侧CUSUM控制图 is=(x−μ−K) j∑i0j=1其中K是总体参数值与拒绝质量差值的一半，如果s小于0，则s自动设置为0。 ii表格式CUSUM控制图 s=max[0,x−μ−K+s] ii0i−1s只累积与总体参数μ的偏差中大于K的部分，如为负值，设置为0。 i0
CUSUM控制图CUSUM控制图用平均链长控制两类错误，平均链长是指对给定的质量水平（比如，不合格品率p，平均缺陷数λ，过程的均值μ等）CUSUM控制图从开始到发出警报为止所抽取的平均数。 如，过程的质量特性用不合格品率来表示，对平均链长的要求： 要求一个好的过程的不合格品率不大于p（即为合格质量水平0AQL），那么当过程的不合格品率为p时，过程处于受控状态，如果报警0则属于误报。用L表示受控过程的平均链长，希望L大。 00规范要求过程的不合格品率不大于p（即为拒收质量水平RQL），那1么当过程的不合格品率为p时，过程已失控，应发出警报。用L表示失11控过程的平均链长，为及时发现失控，总希望L小。 1 根据平均链长对CUSUM控制图的设计 参考国标4887-85关于L和L的取值，确定样本容量，参考值和决策区间。 01
CUSUM控制图 V型模板
CUSUM控制图V型模板一种利用CUSUM判断过程是否出现异常的方法V型模板相当于控制限，点子落在两臂之内，过程受控，点子落在两臂之外，过程失控。比如，点子落在下臂界外，表示过程均值出现了向上的偏移，点子落在上臂界外，表示过程均值出现了向下的偏移。利用V型模板估计过程偏移的均值使用方便，直观性可视性强，不适合计算机自动处理
CUSUM控制图与常规休哈特控制图相比具有以下几个优点：1在检测过程均值的小偏移时，如偏移幅度在σ到2σ之xx间，CUSUM控制图就更有效。检测这个范围的过程偏移量，CUSUM控制图比相应的常规控制图要快（或者样本数更少）。 2利用CUSUM控制图，过程的偏移量可以通过点子的倾斜程度的改变方便地直观地检测出来。 3通过注意倾斜程度的变化，可以方便地找出过程何时开始出现变化。
CUSUM控制图缺点：1首先也是最重要的，CUSUM控制图在检测过程的大偏移时比较慢。 2分析过去的数据以检测过程是否处于稳态时，以及在使过程达到稳态时，CUSUM控制图不是一个非常有效的方式。因为，诊断识别的通常假设前提是点子序列具有不相关性，所以CUSUM控制图的诊断模式并不理想，其原因是：CUSUM统计量s与s之ii−1间只差一个样本值，故CUSUM统计量之间具有相关性。因而，CUSUM图中的点子经常因为存在这种相关性而显示出链或其他不随机的形式。
EWMA控制图的设计：1 3σ原则控制界与预测控制参数λ ˆˆUCL=μ+3σλ/(2−λ) ˆˆLCL=μ−3σλ/(2−λ) ˆ其中，μ和ˆσ分别为观测值序列x的均值和标准差的估值。t一般，λ常取，，，。
EWMA控制图的设计：2 最优控制界与最优控制参数λ EWMA控制图的设计就是寻找最优参数（λ，K）组合的过程，所依据的原则是，对给定的稳态ARL(0)，使过程出现设定偏移量的偏移时具有的最小失控ARL。最优参数（λ，K）组合是指，对于固定的稳态ARL(0)，使设定偏移量所对应的失控ARL最小的参数（λ，K）组合。总的来说，最优参数（λ，K）的选择要依赖于设定偏移量的幅度。对于最优参数（λ，K）组合附近的各种不同（λ，K）组合，自用敏感性分析可以显示出失控ARL的变动情况。
EWMA控制图z 控制过程发生的偏移 z 预测 （Hunter,1986） Z=λx+(1−λ)Z=Z+λ(x−Z) ttt−1t−1tt−1EWMA统计量可以解释为对下一个观测值的预测，即将统计量Z看作对x预测，其数值等于当前x的预测值tt+1tZ加上λ倍的预测误差(x−Z)。 t−1tt−1z 处理逐渐漂移的过程和自相关数据
其它控制图模糊控制图（Fuzzy Control Charts）小批量生产控制图无先验信息小批量生产的控制图，这类控制图检出异常的能力要远低于参数已知条件下的控制图。有历史信息小批量生产的控制图选控控制图休哈特控制图，CUSUM控制图与EWMA控制图等是全控图，是对所有异因都加以控制的控制图。选控控制图，选择部分异因加以控制。
其它控制图多元控制图1947年，H. Hotelling提出多元图控制图，从而开辟了多元质量控制的时代。应用休哈特控制图分别对每一个指标进行控制，当每个指标都控制在其控制界限内时就认为过程正常。未考虑指标间的相关性，可能导致错误的结论。在多元正态分布的条件下，均值向量与多元协方差矩阵两参数互相独立，故控制多元正态分布也需要分别应用相应的多元控制图对均值向量与多元协方差矩阵进行控制。
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