利率期限结构：静态模型
厦门大学金融系 陈蓉
2011/9/29
>> 利率期限结构：静态模型
利率期限结构概述
利率期限结构变动的因子分析
传统的利率期限结构理论
利率期限结构的拟合
>> 利率期限结构概述
利率期限结构的定义与类型
利率期限结构的基本特征
>> 利率期限结构概述
利率期限结构的定义与类型
利率期限结构的基本特征
利率期限结构的定义
不同期限的利率水平之间的关系
“利率期限结构”（interest rate term structure），有时也称为“收益率曲线”（yield curve）
利率期限结构的类型
利率的种类不同
到期收益率曲线
互换利率期限结构
即期利率期限结构
平价到期收益率曲线
远期利率期限结构
瞬时远期利率期限结构
信用等级不同
我国银行间即期利率期限结构
>> 利率期限结构概述
利率期限结构的定义与类型
利率期限结构的基本特征
利率的典型特征
名义利率的非负性（不能假设利率服从正态分布）
均值回归
利率变动非完全相关
短期利率比长期利率更具波动性（利率波动往往还与利率水平有关）
均值回归
利率变动非完全正相关
法国不同期限利率的相关系数表（1995-2000）
利率期限结构的不同形状：上升
利率期限结构的不同形状：接近水平
利率期限结构的不同形状：下降
利率期限结构的不同形状：先降后升
利率期限结构的不同形状：先升后降
即期利率、平价到期收益率和远期利率
利率期限结构的动态变化
>>利率期限结构变动的因子分析
利率期限结构变动的主成份分析
利率期限结构变动的因子分析
>>利率期限结构变动的因子分析
利率期限结构变动的主成份分析
利率期限结构变动的因子分析
为何需要采用主成分分析？
利率变动非完全相关意味着
受到共同因素的影响但影响程度有差异
特定期限利率有特定影响因素
高度相关意味着数据信息高度重合（信息冗余），我们希望找到数量较少的独立因子，来描述利率变动
主成分分析
（principal component analysis, PCA）
一种将给定的一组高度相关的变量（如不同剩余期限的利率的变动 ）通过线性变换转化为另一组不相关变量的数学方法。
在变换中，保持总方差不变（意味着信息没有丢失），新的变量按方差依次递减的顺序排列，解释了主要方差的前几个成分被称为“主成分”。
Fi 和Xi 的关系
主成分求解
主成分分析的一般步骤
采集不同期限即期利率变动ΔR(t,ti)的历史数据并将其标准化
计算不同期限ΔR*(t,ti)之间的方差－协方差阵∑
计算∑的特征值及其对应的特征向量，把特征向量进行正交化并单位化，计算出互不相关的成分因子，并按特征值大小排序
计算不同成分的方差贡献率和累计方差贡献率，并确定主成分
主成分个数的确定
特征值准则
特征值大于等于1的成分
碎石检验准则
曲线开始变平前的一个点
主成分分析的部分研究结果
只需要三个主成份就可以解释全球许多市场利率期限结构90%左右的变动
Barber and Copper (1996) ：1985-1991年美国市场上前三个主成份对利率期限结构的解释能力达到%
Lardic, Priaulet and Priaulet (2003) ：在德国市场、意大利市场和英国市场上，1998至2000年期间前三个主成份的解释能力分别为90%、90%和93%
唐革榕和朱峰 (2003)：2001年8月30日至2002年12月13日上海交易所国债利率变动的%也可用前三个主成份来解释
>>利率期限结构变动的因子分析
利率期限结构变动的主成份分析
利率期限结构变动的因子分析
因子分析（factor analysis）
因子分析主要可用于提取主成分的经济含义
绘出各因子F*j对应的系数ljt图，有助于揭示各主成分的经济含义
利率期限结构主成分因子载荷示例
利率期限结构变动的因子分析
l1水平因子：当第一个因子变动时，不同期限的利率将发生同样幅度的变动。它常常可以解释利率曲线变化的60%－80%。
l2斜率因子：通常会在2－8年之间穿过横轴。这个因子变动时，长短期利率的变动是不同的。它可用来衡量长短期利率的期限差异（term premium)，通常可以解释利率曲线变化的5%－30%。
l3曲度因子：通常呈现蝶形，说明第三个因子对利率期限结构上的短、中和长期利率具有不同的影响。它一般解释了收益率曲线变化的0%－10%。
>> 传统的利率期限结构理论
纯预期理论
流动性偏好理论
市场分割理论
期限偏好理论
纯预期理论（Pure Expectation Theory）
当前的利率期限结构仅代表了市场对未来即期利率变化的预期
纯预期理论有三个版本
纯预期理论的3个版本
远期利率是市场对未来即期利率的预期
短期零息票债券滚动投资n年的预期收益率应该等于n年期零息票债券一次性投资的收益率
1年期零息票债券与n年期零息票债券投资1年的预期收益率应该是相等的
纯预期理论的错误之处
核心缺陷：忽略利率中的风险溢酬
版本1：陈蓉和郑振龙（2007）：远期利率并不等于未来即期利率的期望值，两者之间还相差利率风险溢酬
版本2：虽然考虑了利率的风险，但没有考虑人们的风险厌恶系数
版本3：根据Jensen不等式，版本2与版本3之间不等价。
流动性偏好理论(liquidity preference theory)
从长期利率中提炼出来的远期利率同时反映了市场对未来的预期和流动性风险溢酬，剩余期限越长，该风险溢酬越大。
优点：同时考虑了预期和流动性风险溢酬的影响
缺陷
风险溢酬并不必然随时间递增
投资者特定的资产状况使得他们偏好某些期限债券
市场分割理论(market segmentation theory）
投资者有各自的投资期限偏好，并且偏好不变。利率曲线的形状由短、中和长期市场的各自供求关系决定。
缺陷：市场分割理论也可以解读为投资者对投资其他期限所要求的风险溢酬无穷大，从而使得他们不可能改变投资偏好。
期限偏好理论（preferred habitat theory）
流动性偏好理论和市场分割理论的结合
不同资产负债状况的投资者通常有着特定偏好的投资期限，但这些偏好并非是完全不变的。当不同期限债券的供求发生变化，一些期限的债券供求不再平衡，从而使得相应期限的风险溢酬变化到足以抵消利率风险或再投资风险时，一些投资者的偏好就会发生转移。
利率期限结构理论评析
流动性偏好和期限偏好理论都认为长期利率反映了市场对未来的预期和风险溢酬，都被称为“有偏期望理论”（biased expectation theory）。
相对于流动性偏好理论，期限偏好理论引入了投资者的期限偏好，并认为风险溢酬并非简单随期限递增；相对于市场分割理论，期限偏好理论则加入了市场预期和风险溢酬的思想。
>> 利率期限结构的拟合
拟合利率期限结构的准备工作
无风险即期利率期限结构的拟合
信用价差期限结构的拟合
市场曲线与隐含曲线
市场曲线：YTM和互换利率曲线
隐含曲线：
即期利率、平价到期收益率、远期利率和瞬时远期利率曲线
拟合利率期限结构的准备工作
构建可靠的数据库
被用于估计同一条收益率曲线的债券必须具有相同的信用等级和税收待遇等条件，以保证这些债券的惟一差异就是剩余期限
剔除含权证券
剔除明显定价不合理、流动性差异很大（包括与其他样本相比，流动性过差或流动性过好）的证券
所选证券的剩余期限应尽可能覆盖要估计时间长度的各个区间（短期、中期和长期），且各个分段区间内的样本数要足够多，以保证结果的可靠性。
>> 利率期限结构的拟合
拟合利率期限结构的准备工作
无风险即期利率期限结构的拟合
信用价差期限结构的拟合
无风险即期利率期限结构的拟合方法
方法分类
直接法与间接法
评价利率期限结构拟合方法的标准
准确性
平滑性
稳定性
灵活性
直接法I：求解债券定价方程
假设有4只付息日相同的债券（一年支付一次利息）
息票
剩余期限（年）
市场价格
债券1
3
1
99
债券2
2
债券3
3
3
96
债券
4
4
9
由债券定价公式有：
可解出相应1至4年期即期利率分别为%、%、%和%
求解债券定价方程：一般思路
只要F可逆，则
进而
现实中缺乏可操作性。
直接法II：Carleton and Cooper估计
解决债券数量大于付息日数量的过度识别问题
现实市场中，更常出现的情形是付息日数量大于可得的债券数量，也就是说，待估参数个数大于数据量。在这样的情况下，必须找到降维的方法，减少待估参数的个数，才能估计出利率期限结构。
直接法III：靴襻法(the Bootstrapping Method)
基本思路：不断重复的两步法
第一步用息票剥离的方法，用债券市场价格的数据直接估计出一些期限的即期利率，得到利率期限结构上的一些离散的点
第二步用插值法（interpolation）估计出各点间的曲线
对不同期限不断重复这两步
假设有6只债券如下，其中的附息债每半年支付一次利息
息票
剩余期限（年）
市场价格
债券1
0
债券2
0
债券3
0
债券4
8
债券5
12
债券6
10
首先利用息票剥离法解出部分离散的即期利率点
3个月期即期利率由债券1直接求得为
同样的方法计算出6个月和1年期即期利率分别为%和%。进一步可以得到年期的即期利率为%。2年期的即期利率为%
债券6？
用线性插值提取债券6的信息
年利率被认为位于半年利率和1期利率中点
类似地，可以认为年期利率等于%，年利率为%
由于年利率可以用年利率表示为
将其代入债券6的定价方程， R(0, 2)已知，可解出方程中惟一的未知数R(0, )为%，并得R(0, )
不同的插值技术
线性插值
分段三次多项式插值
分段三次多项式插值：一个例子
对前例使用三次多项式插值
节点年、1年、年和2年的即期利率都应满足
由此可解得四个参数，并计算0~2年间任意期限的利率
如果要拟合2年以上到期期限的即期利率，需找到对应期限的4个即期利率，再用另一个三次多项式刻画这。以此类推。
不同插值方法比较
与线性插值法相比，分段三次多项式插值法拟合得到的利率期限结构相对平滑。但在每段之间的衔接点处可能并不平滑
三次函数图像的S形性质使得三次多项式插值法下会出现某些时段的曲线是凹的而另外一些时段的曲线是凸的现象。
间接法的基本思路
首先设定贴现函数B(0,s)或即期利率函数R(0,s)为剩余期限s的函数
第二步在B(0,0) =1（立刻到期的零息票债券价格为1）的约束条件下，令定价误差的平方和最小估计出参数向量β1或 β2
第三步，写出贴现函数或即期利率函数的最终形式，得到利率期限结构
可分为贴现函数法和即期利率法
贴现函数法：三次样条函数
贴现函数形式的设定：多为样条函数
假设我们根据市场经验，以5年和15年作为分界点，将利率期限结构划分为短、中、长期，并构造三次样条函数
与三次多项式插值不同，要保证分段点的连续性
以及B1(0,0) =1，将这两组约束代入，有
将待估参数由12个降低到5个
贴现函数法：三次基样条
是6个三次基样条函数的加权平均，待估参数为
在基样条函数的结构中， 为截断的三次函数，只取正数
ti则可理解为时间轴上已知的不同时点
由于ti是从-3到6的整数，因此时间轴上共有10个节点。如果到期期限最长30年，并以5年和15年作为短、中、长期的分界，则
三次基样条方法评析
三次基样条函数是三次样条空间中最基本的基函数，相应区间上的任意三次多项式样条都可以由三次基样条特定的线性组合构造出来
三次基样条函数实际上是用逐渐推移的多个基础三次函数的组合来构造出复杂的分段三次函数，与普通的三次多项式样条相比，其精确性大大提高
该函数形式看似复杂，但实际上只有6个待估参数，稳定的参数估计比较容易实现
贴现函数法：三次指数样条
样条函数
约束条件
三次指数样条的简化形式
共有7个待估参数
待估参数u是未来无限远时的瞬时远期利率
贴现函数设定中的一些问题
阶数（degree）的选择：精确度与复杂性的权衡
三次最常见
样条数量的选择
样条数量越多，拟合越好，但缺点在于曲线的平滑性较差，此外也较容易受到奇异点的影响
节点位置的选择
节点最好使得每段区间具有一定的经济含义
贴现函数法：参数校准
参数校准
实质上是对β的最小二乘回归
参数校准中的问题
异方差与广义最小二乘回归
直接假设方差大小与债券剩余期限的平方成比例
债券定价误差的方差大小与该债券对利率变动敏感性的平方成正比
约束条件下的最小二乘回归
即期利率函数法：NS模型
即期利率函数法：更注重经济含义
NS模型：指数形式的瞬时远期利率
对应的即期利率函数
参数的经济含义
β0：不衰减，对所有期限利率影响一致：水平因子
β1：衰减，对短期利率影响大：斜率因子
β2：先增加后衰减，对中期利率影响大：曲度因子
m：衰减速度
即期利率函数法：NSS模型
NSS模型：解决NS模型刻画曲线种类受限的问题
即期利率函数
改进
增加中期项
增加新的曲度参数β3和调整参数m2
即期利率函数法：参数校准
无法使用最小二乘法，而只能使用非线性最优化技术
同样需要考虑异方差和约束问题
异方差调整
利率期限结构拟合方法评价
利率期限结构拟合方法评价
直接方法中的靴襻法应用方便，但对数据量要求较高，且得到的曲线平滑度可能不是很好
间接方法能拟合出更为精确和平滑的利率期限结构
即期利率法的经济含义明确，而且由于用一个函数拟合整条利率期限结构，曲线平滑性也较好
贴现函数法也有其优越之处。由于用多个连接的分段函数去逼近整条利率期限结构，精确性较高
不论是直接方法还是间接方法，模型本身无法无法推断出未来的参数变化与今天的参数是如何相关的。这是这些方法被统称为“静态”模型的原因。
信用价差期限结构的拟合：分离估计
分别估计国债和特定信用级别的即期利率期限结构，将两条利率曲线上同样期限的两种利率相减
直观，但得到的结果对方法敏感度较大，容易不平滑
信用价差期限结构的拟合：联合估计
同时设定无风险利率和信用价差期限结构，利用特定信用级别的债券价格将两条曲线一次性估计出来
思路1：将特定信用级别的贴现函数设定为无风险贴现函数和信用价差函数之和
思路2：直接将特定信用级别的即期利率设定为无风险利率和信用价差之和
*
