有奖销售的摇奖结果公平吗
目前，一些大商场采用有奖销售的方法吸引顾客，进行促销活动，即购买一定价值的商品，发给顾客带有编号的奖券，在发出一定数量的奖券后，便用公开摇奖的方式产生中奖号码，顾客可根据自己手中的奖券号码与摇奖产生的号码是否相符以决定是否中奖．摇奖方法
通常采用奖标有0到9的球注入摇奖机，然后按一定的规则，把摇出的数码组合成对奖号码．在科学技术十分发达及各项制度健全的今天，我们一般应排除有恶意作弊的可能性。但摇奖结果受到摇奖机是否正常、所用球是否均匀、操作方法是否规范等很多因素的影响，因此摇奖结果是否符合客观规律、其结果是否公平，这可用统计的方法加以分析。
某商场，自开办有奖销售以来的1 3期中奖号码中，各数码出现的频数如表所示：
数码
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
合计
频数
21
28
37
36
31
45
30
37
33
52
350
试问在出现这样结果的情况下，该商场的摇奖结果是否公平?或者说摇奖机械工作是否正常、所用的球是否均匀、操作方法是否正确等等?
我们用分布拟合检验法解决提出的问题
如果摇奖机械正常，则每次摇出各球号的可能性(概率)应是相等的，即为，设
每次摇出的球的号码数
则应服从离散型的均匀分布，即
因此检验摇奖结果是否正常等价于检验是否服从上述概率分布，即检验假设
：的分布律服从
：不服从上述分布律
下面我们分析如何给出检验此假设的方法。观测数据给出了在总共350次摇出的数字中，各数所出现的频数，记为，我们称为观测频数。如果为真，则各数字出现的理想频数(称为理论频数)应为，且根据大数定律，当足够大时(即摇奖故数足够多时)，观测频数与理论频数之差应比较小。
而统计量
描述了观测数据频数与理论频数的总差异，因而的大小提供了判断是否为真的依据，可用来作为检验统计量．但为了得到在为真时的分布，必须对做适当修正
在1900年提出如下统计量：
并证明了渐近服从自由度为的分布，即，此处。同样的大小反应了观测频数与理论频数的接近程度，即大的 值说明可能不真。因此对于显著水平的拒绝域为
利用所给数据，可求得的观测值，为明了起见，我们将计算过程列于下表中：
检验法的计算
0
21
35
-14
1
28
35
-7
2
37
35
2
3
36
35
1
4
31
35
-4
5
45
35
10
6
30
35
-5
7
37
35
2
8
33
35
-2
9
52
35
17
合计
350
350
0
若取，因而根据所给数据应拒绝，即认为摇奖过程(保括摇奖器械、球的均匀性、操作方法等) 有一定的问题。
若取，就所观测到的结果，我们还没有足够的理由否定摇奖的公平性。
对于这类问题，否定 (即摇奖的公平性)一定要持谨慎的态度以及必须有充足的理由，因为如果排除了认为作弊的可能性，即使摇奖器械等有微小的不正常，人们还是可以接受其结果的，但若贸然否定其公平性，甚至会造成意想不到的麻烦。因此我们要以“摇奖公平”为零假设，并通常取较小的，以对零假设作必要的保护。尤其是当的观测值接近临界值时，否定更应谨慎．设计中，我们可再多观测几次摇奖结果，通过大样本容量的办法提高推断的准确性。
解决上述问题的方法称之为－分布拟和检验法，即通过比较观测频数与理论频数的接近程度检验对总体的某分布的假定是否合理。
－分布拟合检验法一般可叙述如下：
设是来自总体的样本，是一个完全已知或形式已知但其中含有个未知参数分布函数，利用此样本检验假设：
：的服从分布
：不服从分布
检验此假设的－分布拟合检验法的一般步骤如下：
(1)把总体的一切可能值划分为个互不相交的子集合，记为 ，从而得个互不相容的完备事件组；
(2)在为真的条件下，通过样本估计(如矩估计或极大似然估计)中的未知参数(如果有的话)，通过计算事件的概率
并计算发生的理论频数；
（3）统计出样本观测值落入的频数，记为。一般地，经验表明划分应使所有及
（4）构造统计量
可证明，其中使中待估计的未知参数个数（注意此处是从1开始的）。对于给定的显著水平，的拒绝域为
在实际应用中，（1）中的通常要根据问题的实际背景来确定。如本例中，
