系统评价方法
第一节：系统评价原理
第二节：关联矩阵法
第三节： 层次分析法
第四节： 模糊综合评判法
一、系统评价原理
1.意义
2. 概念
系统评价：评价→价值。
对系统方案满足系统目标程度的综合分析及判定。
评价对象（What）
评价主体（Who）
效用：某主体对某种利益和损失所独有的感觉及反应。
事实上，对不同损失期望值，不同决策者的态度不一定相同。这由其不同素质、心理、处境、对未来的期望等决定。
决策者对于利益和损失的独特的兴趣、感觉或反应，叫做效用。效用实际上代表了决策者对于风险的态度。 效用函数至少有以下三类：
评价目的（Why）
评价时期（When）
期初评价、期中评价、期末评价、跟踪评价
评价地点（Where）
评价的范围、评价的立场
评价方法（How）
系统评价是多方面要素（5W1H）所构成的问题复合体。
评价的基本过程是首先确定评价尺度，然后再依据评价尺度来测定评价对象的价值。
3.程序和方法
关联矩阵法（原理性方法）
层次分析法（评价要素多层次分布）
模糊综合评判法（多评价主体）
系统评价的复杂性
复杂系统常常需要实现多个目标，而且需要给出定量依据，存在如下困难：
有的指标难以数量化；
不同指标可能存在矛盾，方案之间各有所长而难取舍；
评价指标和结果易受评价主体的主观因素影响。
解决上述困难的方法：
指标数量化；
指标无量纲化；
指标归一化。
与系统决策的区别与联系
系统评价是技术工作，由技术人员完成；系统决策是领导工作，由领导者最终完成，更多是一种艺术。
系统评价可给出方案优劣性的评定结果，是决策的主要依据；但系统决策还受某些隐蔽、难以描述或不宜公开的因素影响。
系统评价与系统开发、系统决策之间的关系
二、关联矩阵法
：评价对象（可替代且非劣的方案）
：评价指标（准则、项目）
：评价指标权重，
Vi
X1 X2 … Xn
Xj
Vij
Ai
Vij = ?
逐对比较法、古林法
A1
A2
Am
…
V11 V12 V1n
V21 V22 V2n
Vm1 Vm2 Vmn
…
…
…
…
…
…
.
.
.
一、逐对比较法
对各替代方案的评价指标进行逐对比较,对相对重要的指标给予较高的得分,得到各评价项目的权重Wj
根据评价主体给定的评价尺度,对各替代方案在不同评价指标下一一进行评价,得到相应的评价值,进而求加权和得到综合评价值.
方案预期结果例表
逐对比较法例表
评价尺度例表
Vij
Ai
Xj
关联矩阵表（逐对比较法）
二、古林法
古林法是确定指标权重和方案价值评定量的基本方法.计算步骤:
(1)确定评价指标的重要度Rj,按评价项目自上而下的两两比较其重要性,并用数值表示其重要程度.
(2)Rj的基准化处理,处理结果为Kj,以最后一个评价指标作为基准,令K值为1,自上而下计算其他评价项目的K值。
3)Kj的归一化处理.将Kj 列的数值相加,分别除以各行的K值,所得结果即分别为各评价项目的权重Wj。
古林法求 例表
3
4
3
二、古林法
算出各评价项目的权重后，可按同样的计算方法对各替代方案逐项进行评价。这里方案Ai在指标Xj下的重要度Rij不需要再予以估计，可按照已知的方案实施结果进行计算。
古林法求Vij例表
关联矩阵例表（古林法）
Vij
Ai
Xj
用古林法确定各评价指标的权重
课堂练习
A1的优越性是A2的2倍
A5没有比较，为
评价指标 重要度Rj Kj
A1
A2
A3
A4
A5
∑
以A5为基准，依次往上进行
评价指标 重要度Rj Kj
A1
A2
A3
A4
A5
∑
评价指标 重要度Rj Kj
A1
A2
A3
A4
A5
∑
三、层次分析（AHP）法
Analytic Hierarchy Process——AHP
（美国运筹学家、匹兹堡大学教授,1977）
一种定性与定量分析相结合的系统分析方法，可以综合定性和定量分析、模拟人的决策思维过程，以解决多因素复杂系统，特别是难以定量描述的社会系统。
我国于1982年开始引进，现已在能源政策分析、产业结构研究、科技成果评价、发展战略规划、人才考核评价等方面得到了应用。
通过两两比较的方式确定层次中诸因素的相对重要性,综合有关人员的判断,确定被选方案相对重要性的总排序.
步骤:
分析评价系统中各要素之间的关系,建立系统递阶层次结构
对同一层次的各要素关于上一层次中某一准则的重要性进行两两比较,构造两两比较判断矩阵,并进行一致性检验.
由判断矩阵计算被比较要素对于该准则的相对权重
计算各层要素对系统目的的合成权重,并对各备选方案排序
三、层次分析（AHP）法
分析步骤
AHP分析法的步骤
1、建立层次结构模型
将所包含的因素分组设层，并标明各层因素之间的关系，如对决策问题，可构造出下图所示的层次结构模型。
目标层A
准则层C
方案层P
2、构造判断矩阵
人们在日常生活中经常要从一堆同样大小的物品中挑选出最重的物品。这时，人们总是利用两两比较的方法来达到目的。比如挑西瓜， 每只西瓜的重量分别为W1，W2，…，Wn，很容易得到表示n只西瓜相对重量关系的判断矩阵A：
A ＝
W1/W1 W1/W2 … W1/Wn
W2/W1 W2/W2 … W2/Wn
…… … …… … … … … … … ...
Wn/W1 Wn/W2 … Wn/Wn
＝ (aij)n×n
显然 aii=1， aij=1/aji， aij= aik/ajk(i,j,k=1，2， …n)
2、构造判断矩阵
即n是A的一个特征根，每只西瓜的重量是A对应于特征根n的特征向量的各个分量。
反过来，如通过西瓜两两比较能得到判断矩阵A，也可推导出西瓜的相对重量。因为判断矩阵A有完全一致性时，可通过解特征根问题
AW = λmax W
求出归一化特征向量（即设西瓜总重量为1），从而得到n只西瓜的相对重量。
AW ＝
W1/W1 W1/W2 … W1/Wn
W2/W1 W2/W2 … W2/Wn
… … … … … … … … … … …
Wn/W1 Wn/W2 … Wn/Wn
＝ nW
W1
W2
…
Wn
＝
nW1
nW2
… …
nWn
2、构造判断矩阵
2、构造判断矩阵
同样，对于复杂的社会、经济、科技等问题，通过建立层次分析结构模型，构造出判断矩阵，利用特征值方法即可确定各种方案和措施的重要性排序权值，以供决策者参考。
使用AHP，判断矩阵A的一致性很重要，但要求所有判断都有完全的一致性不大可能。因此，一般只要求A具有满意的一致性，此时λmax稍大于矩阵阶数n，其余特征根接近零。这时，基于AHP得出的结论才基本合理。为使所有判断保持一定程度上的一致，AHP步骤中需要进行一致性检验。
2、构造判断矩阵
判断矩阵是针对上一层次某因素而言，本层次与之有关的各因素之间的相对重要性的数量表示。这是将定性判断转变为定量表示的一个过程。
设准则层中因素Ck与下一层P中的因素P1,P2,…,Pn有关，则构造的判断矩阵如下表：
Ck
P1
P2
…
Pn
P1
P2
...
Pn
b11
b12
...
b1n
b21
b22
...
b2n
...
...
...
bn1
bn2
...
bnn
2、构造判断矩阵
其中bij通常取为1,2,3,…9及它们的倒数，其含义是：
bij=1,表示Pi与Pj一样重要；
bij=3,表示Pi比Pj重要一点（稍微重要）；
bij=5,表示Pi比Pj重要（明显重要）；
bij=7,表示Pi比Pj重要得多（强烈重要）；
bij=9,表示Pi比Pj极端重要（绝对重要）。
其间的数2,4,6,8及各数的倒数具有相应的类似意义。
3、层次单排序－计算相对重要度
根据判断矩阵，计算对于上一层次某因素而言，本层次与之有关的因素的重要性次序的权值。
层次单排序可归结为计算判断矩阵特征根和特征向量问题。
即对判断矩阵B，计算满足
BW= maxW
的特征根与特征向量，W的各个分量Wi即是相应因素单排序的权值。
4、层次单排序中的一致性检验
为了检验判断矩阵的一致性，需要计算它的一致性指标
max－ n
n－1
CI=
将CI与平均随机一致性指标RI比较，RI可从下表查得：
阶数
RI
1
2
3
4
5
6
7
8
9
只有当随机一致性比例CR= 时，判断矩阵才具有满意的一致性，否则就需要对判断矩阵进行调整。
CI
RI
*
5、层次总排序－计算综合重要度
利用单排序结果，可综合计算最底层(方案层)相对最高层(目标层)重要性顺序的组合权值。层次总排序从上到下进行。
C层因素C1、C2、C3对A层目标的单排序
结果为c1、c2、c3
假设已知
P层因素P1、P2、P3对 的单排序
结果为
C1
C2
C3
b11
、b21
、b31
b12
、b22
、b32
b13
、b23
、b33
目标A
准则C1
准则C2
准则C3
方案P1
方案P2
方案P3
5、层次总排序
则综合计算P1、P2、P3相对A的总排序结果可用下表表示：
C对A
P对C
C1
C2
...
Cm
c1
c2
...
cm
P1
P2
...
Pn
b11
b12
...
b1m
b21
b22
...
b2m
...
...
...
bn1
bn2
...
bnm
P层次的总排序
i=1
m
cib1i
m
i=1
cib2i
...
m
i=1
cibni
6、总排序的一致性检验
为评价总排序的计算结果的一致性，需要计算与单排序类似的检验量。
同样，当CR ≤ 时，我们认为层次总排序具有满意的一致性，其结果可提供决策者参考。
AHP计算的根本问题是计算判断矩阵的最大特征根max及其对应的特征向量W.
三种常用的计算方法：幂法、求和法、方根法
幂 法（特征根方法）：计算机进行，可得到任意精确度的最大特征根max及其相应的特征向量W。
求和法（算术平均法）：近似算法。
方根法（几何平均法）：近似算法。
特征值的计算方法
1）幂法
计算步骤如下:
(1)取与判断矩阵B同阶的归一化的初值向量W。
(2)计算
(3)令
计算
(4)给定一个精度 ,当
，对所有
成立时停止计算 ，则
就是
所需求的特征向量。
（5）计算最大特征值：
2）求和法
[例1]用求和法计算下述判断矩阵的最大特征根及其对应的特征向量。
B
C1
C2
C3
C1
C2
C3
1
5
3
1/5
1
1
1/3
1/3
3
解：（1）将判断矩阵每一列归一化
本例得到按列归一化后的判断矩阵为：
（2）列归一化后的判断矩阵按行相加
本例有：
2）求和法
（3）将向量 归一化
则所求特征向量：
W= [，，] T
2）求和法
本例有：
（4）计算判断矩阵的最大特征根 max
2）求和法
1 1/5 1/3
5 1 3
3 1/3 1
BW =
(BW)1= 1 + 1/5 + 1/3 =
(BW)2= 5 + 1 + 3 =
(BW)3= 3 + 1/3 + 1 =
2）求和法
=
(BW)1
(BW)2
(BW)3
本例有：
则
2）求和法
一致性检验（检验该矩阵是否具有满意的一致性）
一致性指标 CI = ————— = ————— = ；
max－ n
n - 1
－ 3
2
查表，三阶矩阵的平均随机一致性指标 RI = ；
由于该矩阵的随机一致性比例
CR= —— = ——— =
CI
RI
所以该矩阵具有满意的一致性。C1，C2，C3相对B的排序为：
2）求和法
W= [，，] T
[例2] 用方根法计算下述判断矩阵的最大特征根及其对应的特征向量。
B
C1
C2
C3
C1
C2
C3
1
5
3
1/5
1
1
1/3
1/3
3
3）方根法
解：（1）将判断矩阵B的元素按行相乘
本例有：
（2）所得的乘积分别开n次方
本例有：
3）方根法
（3）将方根向量归一化，即得所求特征向量W
本例有：
3）方根法
W= [，，] T
（4）计算判断矩阵最大特征根
此处与求和法相同，略。本例有：
max=
3）方根法
例：AHP用于方案排序
[例3]决定某厂一笔企业留成利润
目标：合理使用留成利润，促进企业进一步发展
可选方案：5个
层次结构模型
（1）判断矩阵A — C
如该厂认为根据总目标有：
例： AHP用于方案排序
A
C1
C2
C3
C1
C2
C3
1 1/5 1/3
5 1 3
3 1/3 1
归一化
C1
A
C2
C3
C3
C1
C2
W
AW=
=
例： AHP用于方案排序
可见，判断矩阵A－C具有满意的一致性。故有：
例： AHP用于方案排序
（2）判断矩阵C1－ P
如该厂认为：针对准则C1，有：P1最重要，P2很重要，P4重要，P3次要，P5更次要。
例： AHP用于方案排序
C1
P1
P2
P3
P1
P2
P3
1 3 5 4 7
1/3 1 3 2 5
1/5 1/3 1 1/2 3
P4
P5
P4
P5
1/4 1/2 2 1 3
1/7 1/5 1/3 1/3 1
W
判断矩阵C1－ P
例： AHP用于方案排序
（3）判断矩阵C2－ P
如该厂认为根据准则C2，有：P3 最重要，P5 很重要，P4重要，P2 次要。
例： AHP用于方案排序
例： AHP用于方案排序
C2
P2
P3
P2
P3
1 1/7 1/3 1/5
7 1 5 3
P4
P5
P4
P5
3 1/5 1 1/3
5 1/3 3 1
W
判断矩阵C2－ P
（4）判断矩阵C3– P
如该厂认为根据准则C3，有：方案P1、P2比较重要，方案P3、P4相对次要。
例： AHP用于方案排序
例： AHP用于方案排序
C3
P1
P2
P1
P2
1 1 3 3
1 1 3 3
P3
P4
P3
P4
1/3 1/3 1 1
1/3 1/3 1 1
W
判断矩阵C3－ P
（5）层次总排序计算结果
例： AHP用于方案排序
层次C1
P1
P2
P3
C1
C2
C3
0
P4
P5
层次P总排序权值
方案排序
4
3
1
5
2
层次P
0
层次总排序计算结果的一致性检验
可见，层次总排序的计算结果具有满意的一致性。
对该企业来说，所提的五种方案中，最优方案为办业余学校，次优方案为引进新设备，次次优方案为搞集体福利事业。
例： AHP用于方案排序
[例4]
某领导岗位需要增配一名领导者，现有甲、乙、丙三位候选人可供选择，选择的原则是合理兼顾以下六个方面-----思想品德、工作成绩、组织能力、文化程度、年龄大小、身体状况。请用层次分析法对甲、乙、丙三人进行排序，给出最佳人选。
（1）建立解决此问题的层次结构模型如下：
给出最佳人选
文
化
程
度
C1
年
龄
大
小
C2
组
织
能
力
C3
身
体
状
况
C4
工
作
成
绩
C5
思
想
品
德
C6
甲P1
乙P2
丙P3
A
C
P
例： AHP用于评价干部
设评价和选拔干部的原则是：思想品德C6最重要，其次应年富力强（年轻C2、组织能力强C3）、文化程度高C1，再次是考虑工作成绩C5，同时也要考虑身体状况C4。
已知甲、乙、丙三个干部的大致情况如下：
甲：思想品德很好，工作成绩不错，但年龄偏大，只有大专文化，组织能力较差；
乙：思想品德较好，文化程度最高，身体状况好，工作阅历尚浅，经验不足、年龄适中；
丙：年轻、组织能力强，有本科学历，但思想品德一般、身体状况较差（经常请病假）。
例： AHP用于评价干部
（2）分别构造判断矩阵，并进行计算和一致性检验
A
C1 C2 C3 C4 C5 C6
C1
C2
C3
C4
C5
C6
W
检验：
具有满意的
一致性
例： AHP用于评价干部
以下计算由学员自己完成
C1
P1 P2 P3
P1
P2
P3
W
P1 P2 P3
P1
P2
P3
C2
W
P1 P2 P3
P1 P2 P3
P1
P2
P3
P1
P2
P3
C3
C4
W
W
例： AHP用于评价干部
判断矩阵C1－ P
判断矩阵C2－ P
判断矩阵C3－P
判断矩阵C4－ P
C5
P1 P2 P3
P1
P2
P3
W
P1 P2 P3
P1
P2
P3
C6
W
例： AHP用于评价干部
判断矩阵C5－ P
判断矩阵C6－ P
例： AHP用于评价干部
层次C
层次P C1 C2 C3 C4 C5 C6
总排序
组合权值
人选
排序
P1(甲) 3
P2(乙) 1
P3(丙) 2
3
CR（i） 0
可见乙是最佳人选，因为他综合素质高（文化程度最高、身体状况好、工作成绩不错，且年龄适中、思想品德居中、组织能力也可以）。
丙也可以考虑，但思想品德和身体状况不理想影响了对他的评价。
从组合权值看，三个干部的差异不是太大，乙、丙、甲的排序只是相对比较而言，因为各有所长。最后定夺，应由组织干部部门领导决定。
例： AHP用于评价干部
例： AHP用于质量管理
[例5]
在生产过程中，影响产品的因素往往错综复杂、多种多样。
用因果分析法可以分析造成产品质量问题的影响因素及其影响关系。但因果分析图对于影响因素的描述只限于定性分析，难以看出影响因素的相对重要程度
将因果图与AHP结合—重要度因果分析法。
例： AHP用于质量管理
层次结构模型
标号不符
性能超差
变形变质
技术水平低
P1
思想不集中
过于劳累
追求数量
检验失职
进刀量不准
刀具差
电器设备差
精度低
工艺流程不合理
计划多变
质量指标乱
混料
生产调度乱
公差不合理
C1
C2
C3
C4
C5
P2
P3
P4
P5
P6
P7
P8
P9
P10
P11
P12
P13
P14
P15
P16
P17
P18
例： AHP用于质量管理
A
C1
C2
C3
C1
C2
C3
1 1/7 1/5 5 3
7 1 3 7 5
5 1/3 1 5 3
C4
C5
C4
C5
1/5 1/7 1/5 1 1/3
1/3 1/5 1/3 3 1
W
判断矩阵A－ C
一致性检验
例： AHP用于质量管理
判断矩阵C1 (材料)－ P
一致性检验
C1
P1
P2
P3
P1
P2
P3
1 1/3 3
3 1 5
1/3 1/5 1
W
例： AHP用于质量管理
C2
P4
P5
P6
P4
P5
P6
1 3 9 5 7
1/3 1 7 3 5
1/9 1/7 1 1/3 1/5
P7
P8
P7
P8
1/5 1/3 3 1 3
1/7 1/5 5 1/3 1
W
判断矩阵C2（职工）－P
一致性检验
例： AHP用于质量管理
判断矩阵C3（设备）－ P
一致性检验
C3
P9
P10
P9
P10
1 1/5 1/3 1/7
5 1 3 1/3
P11
P12
P11
P12
3 1/3 1 1/5
7 3 5 1
W
例： AHP用于质量管理
判断矩阵C4（工艺）－ P
一致性检验
C4
P13
P13
1 3
P14
P14
1/3 1
W
例： AHP用于质量管理
判断矩阵C5（管理）－ P
一致性检验
C5
P15
P16
P15
P16
1 1/3 3 1/5
3 1 3 1/3
P17
P18
P17
P18
1/3 1/3 1 1/7
5 3 7 1
W
例： AHP用于质量管理
根据上述结果，可画出重要度因果分析图
某厂标准件产品质量影响因素的重要度因果分析图
因果分析图，简称因果图，俗称鱼剌图。
因果分析图是以结果作为特性，以原因作为因素，在它们之间用箭头联系表示因果关系。因果分析图是一种充分发动员工动脑筋，查原因，集思广益的好办法，也特别适合于工作小组中实行质量的民主管理。当出现了某种质量问题，未搞清楚原因时，可针对问题发动大家寻找可能的原因，使每个人都畅所欲言，把所有可能的原因都列出来。
1、建立层次结构模型
2、构造判断矩阵B
3、层次单排序－计算相对重要度
BW= maxW
（求和法、方根法）
4、层次单排序中的一致性检验
5、层次总排序－计算综合重要度
6、总排序的一致性检验
层次分析法的计算过程总结
依靠定性思维建立判断矩阵，客观性不强。
判断矩阵的建立本身会因人而异，难以综合各位评价人员的意见，随意性强。
采用人类能够同时比较的1~9标度，对于因素较多、规模较大的复杂系统（如要素个数大于9），可能难以辨别差异。
结果只是方案的优劣顺序，不能回答方案是否可行。
进一步讨论：层次分析法的不足
某省轻工部门有一笔资金准备生产三种产品：家电I1,某紧俏产品 I2，本地传统产品 I3。评价和选择方案的准则是：风险程度C1 、资金利用率C2 、转产难易程度C3三个。现设判断矩阵如下：
课堂练习
试利用AHP（方根法）计算三种方案的排序结果。
投资 C1 C2 C3
C1 1 1/3 2
C2 3 1 5
C3 1/2 1/5 1
C1 I1 I2 I3
I1 1 1/3 1/5
I2 3 1 1/3
I3 5 3 1
C2 I1 I2 I3
I1 1 2 7
I2 1/2 1 5
I3 1/7 1/5 1
C3 I1 I2 I3
I1 1 1/3 1/7
I2 3 1 1/9
I3 7 9 1
四、模糊综合评判法
什么是事物的模糊性？
指客观事物在中介过渡时所呈现的“亦此亦彼性”。
(1)清晰的事物——每个概念的内涵（内在涵义或本质属性）和外延（符合本概念的全体）都必须是清楚的、不变的，每个概念非真即假，有一条截然分明的界线，如男、女。
(2)模糊性事物——由于人未认识，或有所认识但信息不够丰富，使其模糊性不可忽略。它是一种没有绝对明确的外延的事物。如美与丑等。人们对颜色、气味、滋味、声音、容貌、冷暖、深浅等的认识就是模糊的。
“事物的复杂性与精确性的矛盾是当代科学的一个基本矛盾”，由此促使着模糊数学的产生和发展。
“模糊”并非坏事，在有些情况下它比精确更有意义，会带来更好的效果，如模糊描述人的特征，对人进行模糊综合评价。郑板桥讲“难得糊涂”，实际上包含了难得模糊的哲理。
模糊综合评价方法
很多时候，人们不仅要从多种因素考虑，且一般只能用模糊语言描述。如显示器的舒适性，人员的政治立场坚定，某建设方案的社会影响等。
评价者从诸因素出发，参照有关信息，根据其判断对复杂问题分别作出“大、中、小”；“高、中、低”；“优、良、可、劣”；“好、较好、一般、较差、差”等程度性的模糊评价。
多因素评价较困难，因为要同时综合考虑的因素很多，而各因素重要程度又不同，使问题变得很复杂。如用经典数学方法来解决综合评价问题，就显得很困难。而模糊数学则为解决模糊综合评价问题提供了理论依据，从而找到了一种简便而有效的评价与决策方法。
可通过模糊数学提供的方法进行运算，得出定量的综合评价结果，从而为正确决策提供依据。
模糊综合评价方法
1、模糊综合评价的数学模型
1）模糊数学的产生
至今，数学的发展已经历三代：
（1）第一代数学：经典数学，研究和处理精确的必然现象；
（2）第二代数学：统计数学，研究和处理事物偶然性(随机性)；
（3）第三代数学：模糊数学，研究和处理事物的模糊性。
它们都是不确定数学，是精确（确定）数学的延伸和发展。
Fuzzy Maths ，专门用来处理和研究模糊性事物的一种新的数学方法。1965年美国加州大学查德()教授发表《Fuzzy Sets》一文，标志其诞生。
2）模糊数学的任务
（1）给数学“禁区”的各门学科，如社会、人文学科等提供新的语言和工具；
（2）使计算机能仿效人脑对复杂系统进行识别和判断，提高自动化水平，使电脑更“聪明”。
1、模糊综合评价的数学模型
给定评价指标因素（着眼点）的有限集合
和评语的有限集合
则相对某一单项评价因素u1而言，评价结果可以用评语集合V这一论域上的模糊子集 来描述：
并简记为向量形式
1、模糊综合评价的数学模型
如对教材进行评价，假如评价科学性(u1)、实践性(u2) 、适应性(u3) 、先进性(u4) 、专业性(u5)等方面，则评价指标因素集为
若评价结果划分为“很好” (v1) 、“好” (v2) 、“一般” (v3) 、“差” (v4)四个等级，评语集则为
1、模糊综合评价的数学模型
如只对科学性(u1)一个因素来评定该教材，若采用民意测验的方法，结果16%的人说“很好”，42%的人说“好”， 39%的人说“一般”， 3%的人说“差”，则评价结果可用模糊集 描述
评价结果 是评语集合V这一论域上的模糊子集。
可简记为向量形式
1、模糊综合评价的数学模型
就是对被评对象所做的单因素评价。
然而，一般往往需要从几个方面来综合地评价某一事物，从而得到一个综合的评价结果。
对多指标因素的综合评价，最终结果仍是评语集合V这一论域上的模糊子集，记作 。
其中 bj 为V中相应元素的隶属度，且 。
简记为m维向量形式
1、模糊综合评价的数学模型
隶属度 rij 指多个评价主体对某个评价对象在第i个项目下作出第j等级评定的可能性程度。
实际评价工作中，考虑到不同评价因素重要性的区别，评价因素集合是因素集U这一论域上的模糊子集，记作 。
简记为n维向量形式
其中 ai 为U中相应元素的权重，且 。
1、模糊综合评价的数学模型
一个模糊综合评价问题，就是将评价因素集合U这一论域上的一个模糊集合 经过模糊关系变换为评语集合V这一论域上的一个模糊集合 ，即
上式即模糊综合评价的数学模型。其中
种评语的可能程度。
——模糊综合评价的结果，是m 维模糊行向量。
——模糊评价因素权重集合，是n维模糊行向量。
——从U到V的一个模糊关系，是 矩阵，称为隶属度矩阵。
表示从第i个因素着眼，做出第j
1、模糊综合评价的数学模型
模糊综合评价模型中的矩阵乘积表示模糊矩阵的乘积 。
1、模糊综合评价的数学模型
B = [bj ] , , j=1,2, …,m
∧为交运算，两中取小
∨为并运算，两中取大
模糊综合评价的步骤：
设定评价指标因素集U；
设定评语集V；
确定评价指标权重集 ；
用民意测验方法请专家实施评价；
建立评价矩阵 ；
按数学模型进行综合评价；
归一化处理，得出具有可比性的综合评价结果。
1、模糊综合评价的数学模型
若记：隶属度矩阵为
评价项目权重向量为
评价等级分值向量为
则有：综合隶属度向量 S=W•R
综合得分
1、模糊综合评价的应用
1）用于讲课质量的评估
U = [清楚易懂，教材熟练，生动有趣，板书整洁]
V = [很好，较好，一般，不好]
2、模糊综合评价的应用
归一化：
按隶属原则来识别李老师讲课效果是“较好”（取其最大值所对应的评语等级）
2）用于科技成果的评定
U = [水平，成功概率，经济效益]
V = [高，中，低]
2、模糊综合评价的应用
因素
项目 技术水平 成功概率 经济效益
甲
乙
丙 接近国际先进
国内先进
一般 70%
100%
100% >100万元
>200万元
>20万元
2、模糊综合评价的应用
2、模糊综合评价的应用
综合评价：
归一化：
排序：
乙、甲、丙
3.某品牌服装的市场定位选择（方案不同，各指标权重不同）
2、模糊综合评价的应用
f1 f2 f3 f4 f5 f6
因素集 款式 面料 耐穿度 流行性 商标 价格
e1 e2 e3 e4
评语集 很欢迎 欢迎 一般 不欢迎
a1 a2
市场定位方案集 第一类消费者 第二类消费者
利用市场调查获得模糊评价矩阵：
2、模糊综合评价的应用
很欢迎e1 欢迎e2 一般e3 不欢迎e4
款式f1
面料f2 0
耐穿性f3
流行性f4 0
商标f5 0
价格f6
4.不同类型考核的综合（考核类型不同，各指标评语不同）
设考核因素集为F = {f1,f2,f3,f4}，评语集为E = {e1,e2,e3,e4}，因素的权重为WF= {,,,}。又设考核集为T={t1,t2}，t1表示日常考核，t2表示晋级考核，设日常和晋级考核重要性分别为,。甲乙两人的日常考核/晋级考核统计记录分别如下，要求进行模糊综合评价。
2、模糊综合评价的应用
甲 e1 e2 e3 e4
日常 晋级 日常 晋级 日常 晋级 日常 晋级
f1 0 0 0 1 0
f2 0 0 0 1
f3 0 0 0 0 0 1
f4 0 0 0 0 1
2、模糊综合评价的应用
设考核因素权重为WT={,}
乙 e1 e2 e3 e4
日常 晋级 日常 晋级 日常 晋级 日常 晋级
f1 0 1 0 0 0
f2 0 1 0 0 0
f3 1 0 0 0 0
f4 0 0 1 0 0
3、多级模糊总评价
举例：战略导弹效能的多级模糊总评价问题。
3、多级模糊总评价
评语等级分为5级：
{好、较好、一般、较差、差}
3、多级模糊总评价
假设已得到以下中间结果：
威 力：
有效性：
机动能力：
有效性的四个方面的权向量为 ：
假设对电视机的评价因素U={图像u1，声音u2，价格u3}，评语集合V={很好v1，较好v2，可以v3，不好v4}，现请专家10人对三种电视机进行评价，结果如下：
设某类顾客主要关心图像、价格，对音质不太关心，即
试对以上三种电视机进行模糊综合评价。
课堂练习
(1)
v1
v2
v3
v4 (2)
v1
v2
v3
v4 (3)
v1
v2
v3
v4
u1 5 4 1 0 4 3 2 1 1 5 2 2
u2 4 3 2 1 5 1 2 2 4 3 1 2
u3 0 1 3 6 2 1 3 4 0 2 4 4
