前面我们介绍了随机变量的数学期望和方差. 对于二维随机变量(X,Y)，反映两个分量X与Y之间关系的数字特征中，最重要的，就是本讲要讨论的
协方差和相关系数
§4-3 协方差、相关系数和矩
一.协方差与相关系数的概念
1.定义
设二维随机变量(X,Y),它的分量的数学期望为E(X), E(Y)，若E[(X-E(X))(Y-E(Y))]存在，则称它为X,Y的协方差，记为
Cov (X,Y), 即
Cov(X, Y ) = E[(X-E(X))(Y-E(Y))]
2. 计算
(1) 若二维离散型随机变量(X, Y)的联合分布律为
且C o v(X,Y)存在, 则
(2) 若二维连续型随机变量(X,Y)的联合概率密度为 f(x , y ), 且C o v (X, Y)存在，则
(3) Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)
（证明如下）
Cov(X,Y)=E(XY) -E(X)E(Y)
可见，若X与Y 独立， Cov(X,Y)= 0 .
即
Cov(X,Y)=E{[ X-E(X)][Y-E(Y) ]}
=E(XY)-E(X)E(Y)-E(Y)E(X)+E(X)E(Y)
=E(XY)-E(X)E(Y)
=E{XY-XE(Y)-YE(X)+E(X)E(Y) }
3.简单性质
(5) Cov(X1+X2,Y)= Cov(X1,Y) + Cov(X2,Y)
(2) Cov(X, Y)= Cov(Y,X)
(4) Cov(aX, bY) = ab Cov(X,Y) a,b是常数
(6) 若X,Y 的协方差Cov(X,Y)存在，则
E(XY)=E(X)E(Y)+Cov(X,Y)
(3) Cov(X, X)=D(X)
⑴ Cov(X, a)= 0
（5） 随机变量和的方差与协方差的关系
D(X+Y)= D(X)+D(Y)+ 2Cov(X,Y)
若X1, X2, …, Xn两两独立,，上式化为
例1: 设(X，Y)在圆域
上服从均匀分布，求Cov(X, Y) 。
简解：经过计算可得
E(X)=0, E(Y)=0, Cov(X, Y)=0
例如:
协方差的大小在一定程度上反映了X和Y相互间的关系，但它还受X与Y本身度量单位的影响. 例如：
Cov(kX, kY)=k2Cov(X,Y)
为了克服这一缺点，对协方差进行标准化，这就引入了相关系数 .
二、相关系数
为随机变量X和Y的相关系数 .
1 定义:若二维随机变量(X, Y )的分量的方差D(X), D(Y)都存在，且D(X)>0, D(Y)>0, 则称
在不致引起混淆时，记 为 .
2 定义
若XY =0, 则称X, Y不相关。
例2: 设(X,Y)在圆域
上服从均匀分布，判断X,Y是否不相关。
（答：不相关）
提示:
例3 设(X, Y)服从二维正态分布
求X和Y的相关系数
X和Y不相关 =0
（见书 p132 例2）
例5：设XN(0,4), Y（2）, XY =1/2, 求E(X+Y)2
（自己计算）
例4：设XU[0,2], Y=cos(X), 求XY
答案:
3. 随机变量X, Y 独立与X, Y 不相关的关系
(1) 假设XY 存在，若X, Y相互独立, 则XY=0， 即X, Y不相关。
反之，若X, Y不相关, 那么X, Y不一定独立。
(2) 特别，若 (X, Y)服从二维正态分布
则有X, Y 相互独立 = 0 X, Y不相关。
考虑以X的线性函数a+bX来近似Y，近似的误差为
e=E[Y-(a+bX)]2= E(Y2) + b2E(X2) +a2-2bE(XY )
+2abE(X)-2aE(Y)
求a，b使e最小
2 相关系数的性质：
问: 相关系数的大小如何?是否 ?
令
解得
将a0，b0代入e，用a0+b 0X来近似Y，则最小误差为
存在常数a, b(b≠0），
使P{Y=a+bX}=1，
即
Y与X之间以概率1有线性关系;
XY = 1 的充要条件是 P(Y=a+bX)=1(b>0)；
XY = -1的充要条件是 P(Y=a+bX)=1(b<0) 。
3. 相关系数的意义
若| |的值越接近于1, e越小， X与Y之间越近似有线性关系；我们说X与Y的线性相关程度越高。
为 的严格减函数，它是用来刻划X, Y线性相关程度的一个量。
用a0+b 0X来近似Y，误差e= D(Y)(1- )
若| |的值越接近于0, e越大，越不能认为X与Y之间有近似线性关系；我们说X与Y的线性相关程度越弱。
Y与X之间以概率1有严格线性关系;
e= D(Y)(1- )
当XY =0时, X, Y之间的关系较复杂；可能X,Y相互独立；可能(X,Y)在平面上的某个区域内服从均匀分布；可能X,Y之间有某种非线性的函数关系。
四.矩
设二维随机变量(X,Y), k , l 为非负整数。
若E(Xk )存在，则称它为X的k阶原点矩,记作mk, 即mk =E(Xk )
若E(X-E(X))k存在,则称它为X的k阶中心矩,记作k, 即 k = E(X-E(X))k
若E(X k Y l )存在，则称它为X和Y的(k , l )阶混合矩，记作m k l, 即mkl=E(X k Y l )；
若E[(X-E(X))k(Y-E(Y))l ]存在，则称它为X和Y的 (k , l )阶混合中心矩，记作k l , 即
k l = E[(X-E(X))k(Y-E(Y))l ]。
关于矩有下述结论：设k为正整数,
(1) 若E(X k )存在，则对小于k的一切非负整数l，E(X l )存在.
(2) 原点矩与中心矩可相互表示．
(3) 显然, X的数学期望E(X)是X的一阶原点矩, X的方差D(X)是X的二阶中心矩, X和Y的协方差 Cov(X,Y)是X和Y的二阶混合中心矩．
（第四章到此结束）
作业：17, 21, 25, 26, 27, 29, 32
下一次课我们要讲完第五章；
并且也要讲第四，五章的习题课
（下面先让我们学习第五章的大数定律）
学号 姓名
(测验3)
做第三章的作业 第19题
做完后，交给你班的课代表，再由课代表统一交给老师
学号 姓名
(测验3)
做第三章的作业 第7题
做完后，交给你班的课代表，再由课代表统一交给老师
学号 姓名
(测验3)
做第三章的作业 第17题
做完后，交给你班的课代表，再由课代表统一交给老师
