第!"卷第"期
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统 计 与 信 息 论 坛 %&’(!")&("
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收稿日期：!##-.#!.!/
作者简介：刘 飞（"01-. ），男，陕西省西安市人，硕士生，经济师，研究方向：统计方法与应用。
【统计理论与方法】
234指数随机化分析
刘 飞
（西安交通大学 经济与金融学院，陕西 西安1"##$"）
摘要：文章通过介绍指数随机化方法的思想和234指数的特点，指出指数随机化方法同样可以应用于
234指数的分析，并且对我国"01/!!##5年的234指数进行了实证分析，得到了和实际情况相吻合的结果，
进一步证实了234指数随机化方法的可行性。
关键词：指数；随机化方法；234指数
中图分类号：6!!!(" 文献标识码：7 文章编号："##""$（!##$）#".##"0.#5
指数是用于计算事物变动，特别是用于计算不
可直接加总的现象之间综合变动情况的一种相对
数，按照不同的划分标准，指数可以分为单指数、综
合指数，或者质量指数、数量指数等。指数分析是统
计学的一个重要的分析方法。一般的指数分析包括
绝对数分析和相对数分析，相对数分析是分析综合
指数中每一个因素的变化对于综合指数的影响，绝
对数分析是分析每一个因素的变化对于总量的绝对
影响数。上述分析方法只能计算出指数变化的一个
具体数值，而不能计算出指数变化的程度，即方差，
但这往往是我们更加关心的。另外，上述方法一般
只能分析两个时期或很有限时期的指数变化情况，
如果我们要分析较长时期指数变化情况时，上述方
法就显得很复杂。指数随机化方法（89&:;+<9=:
+>>?&+:;9&=,@AB,CDEA?<）为解决这些问题提供了
新的思路，自从"05$年弗里希提出这一方法以来，
经过许多专家学者的深入研究和扩展，这一方法已
经广泛应用于物价指数分析、实际利率分析、购买力
平价分析等方面。本文对这一方法进一步扩展，将
它应用于234指数分析中。
一、指数随机化方法的基本思想
本文以物价指数随机化方法为例［"!!］，介绍指
数随机化方法的基本思想。
令"#$表示第#种商品（#%"，!，5，⋯，&）在时
期$（$%"，!，5，⋯，’）的价格，("#$ %’&F"#，$!
’&F"#，$!"为价格对数变化，对于每一个时期，建立如
下模型：
("#$%!$)"#)##$ （"）
#%"，!，5，⋯，& $%"，!，5，⋯，’
其中!$代表所有价格总的变动趋势，"#表示第#种
商品价格的相对变化，##$是一个零均值、同方差、不
存在自相关的随机扰动项。
对模型（"）加上约束条件：
"
’
$%"
*#"#%# （!）
其中*#%"
’
$%"
"#$+#$／"
’
$%"
"
&
#%"
"#$+#$，它是每一类商品的
销售额占全部商品销售额的比重，这个约束条件表
示每一种商品价格的相对变化，以该种商品的销售
额在全部商品销售额中所占的比重作为权数的加权
平均等于零。
为了得到一个用每一种商品的相对变化反映的
通货膨胀率，对模型（"）进行如下处理：
,#$%!$-#)"#-#)$#$ （5）
#%"，!，5，⋯，& $%"，!，5，⋯，’
其中,#$% *# #("#$；-#% *# #；$#$% *# ###$；这个
模型存在异方差，异方差不影响参数估计值的无偏
性，可以用最小二乘法对这个模型参数进行估计，并
用G;=9A检验法对异方差进行检验和校正。
为了从模型（5）的最小二乘估计值中分离出在
式（!）的约束条件下!$和"#的估计值，考虑如下的
0"万方数据
拉格朗日公式：
!
!
"#!
!
$
%#!
（&"%’!%("’""("）"’"#!
!
"#!
)""" （#）
其中#为拉格朗日乘数，将拉格朗日公式（#）应用
于模型（$），可以得到如下估计值：
*!"% #!
!
"#!
)"+,"% *""" #
!
$!
$
%#!
（+,"%’*!%）（%）
这两个估计值是建立在以)"为权重的式（$）
的残差方差的基础上的，为了得到更为精确的估计
值，要估计以)"%为权重的式（$）的残差方差基础上
的估计值，因此，把式（%）代入式（#），得式（#）的残
差为：
$""% #（)"）!
／"［+,"%’!"% ’
!
$!
$
%#!
（+,"%’!"%）］
则对于所有的商品，可得残差平方和为：
%"%#!
!
"#!
（$""%）"
#!
!
"#!
)"（+,"%’!"%）"-
!
$"!
!
"#!
)"（+,"%’!"%）"’
"!$!
!
"#!
)"（+,"%’!"%）（+,"%’!"%）
上式中右边第一项为每一个时期内价格相对变化的
方差，第二项是整个时期内价格相对变化的方差，第
三项是前两项的交叉。
可以证明，%"%／［（!’!）·)"］是以)"%为权重
的式（$）的残差方差。用%"%除以式（$）两边，可以得
到!%、""的两个新估计值：
*!""% #!
!
"#!
)"+,"% *"""" #
!
$!
$
%#!
&%（+,"%’*!%）
（&）
其中&%#（!／%"%）／!
$
%#!
（!／%"%），以及!%、""的方差：
’()*!""% #%"%／（!’!）；
*"""" #［!／（!’!）!
$
%#!
（!／%""）］（!／)"’!）
由以上分析可知：指数随机化的核心思想是，将
某一指数按照组成部分或影响因素进行分解，将指
数表示成总的变化趋势和各部分变动影响两部分之
和，再利用最小二乘回归方法对参数进行估计，从而
计算出指数总体变动趋势的点估计值和方差，以及
各部分变动的点估计值和方差，与传统的指数分析
方法相比，它的最大的特点在于不但能估计或计算
出某一指数在某一时点的点估计值，而且可以估计
它的方差，从而可以确定该指数变化的置信区间。另
外，可以分析某一影响因素或组成部分对总体影响
的点估计值和置信区间。例如，对消费物价总指数和
食品、住房等的消费物价指数进行分析，可以确定消
费物价总指数的总的变化趋势以及它变动的置信区
间，还可以确定食品、住房等物价指数的变化的点估
计值和它的置信区间［$］。
二、指数随机化方法在*+,指数
分析中的应用
指数随机化方法不但可以用于物价指数分析，
还可以用于其它的指数分析，国外有关文献已经将
这一方法用于实际利率分析、全要素生产率分析、购
买力平价理论分析等。笔者认为指数随机化方法同
样可以用于*+,指数分析。由于一国*+,是由第一
产业、第二产业、第三产业三次产业*+,加总而成
的，可以分析*+,指数变化的总变化趋势以及它的
变动区间，而且可以分析三次产业对于*+,指数变
化的影响以及影响程度的变化区间。
本文根据历年《中国统计年鉴》中我国!-./!
"00$年共"&年的*+,指数和三次产业*+,指数数
据为例，建立如下模型：
&"%#!%("-""("-$"%
"#!，"，$ %#!，"，$，⋯，"&
其中&"%# )# "+,"%；("# )# "；$"%# )# "’"%；)"表
示第"产业*+,在全部*+,中所占的比重；!%表示
每一年*+,指数的估计值；""表示第"产业*+,指
数的相对变化率。
运用上述指数随机化模型进行分析，得到我国
!-./("00$年各年!%的估计值和方差如表!所示。
表! !-./!"00$年各年!%的估计值和方差表
年份 估计值 方差 年份 估计值 方差 年份 估计值 方差
!-./ !!"1%! &1.. !-/. !!"1"! %1## !--& !0-1#$ "1&0
!-.- !&. 010- !-// !!!1/0 /1## !--. !0/1." "1$!
!-/0 !0/1". !#10# !-/- !0#1!/ 01%& !--/ !&/ !1$$
!-/! !0%1%- /1/- !--0 !0$1&- "1$% !--- !0&1-. !1$"
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!-/# !!%1.& $1%/ !--$ !!#10. !%1#& "00" !0/1!# "1"-
!-/% !!%1$! !/1/& !--# !!"1/% !$1/! "00$ !0-10$ %1-!
!-/& !0-1%0 #10& !--% !!01#% #1&- 平均 !0-1/ &1"&
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统计与信息论坛
万方数据
由表!可以看出，运用指数随机化方法估计出
我国!"#$!%&&’年()*指数的平均值为!&"+$,，
而()*指数的均值为!&"+-,，两者非常接近。这
种方法计算的()*指数的方差为.+%.,，据此可以
运用数据统计学中的区间估计方法求出()*指数
变化的置信区间，即（"#+-’,，!%%+&#,）。以上均
值与方差之间的相关系数为&+.’，为中度相关，说
明()*指数的变化的均值与它的变化区间的关系
不是很密切的。
表% 三次产业()*指数的相对变化率!!表
变 量 第一产业 第二产业 第三产业
相对变化率 /!+.%, &+-%, &+!#,
方 差 &+&#! &+&!# &+&’.
从!"#$!%&&’年，我国三次产业()*在全部
()*中平均所占比重分别为：!",、0",、’%,，说
明%.年来对于我国经济增长贡献最大的是第二产
业，它在全部()*中所占的比重达0",。虽然我
国第三产业()*在()*中所占的比重有所上升，
从!"#$年的%’+#,提高到了%&&’年的’’+.,，但
相对于西方发达国家来说还不够高，一般发达国家
第三产业()*在()*中所占比重超过-&,。
从表%还可以看出：我国三次产业中第二产业
()*指数的相对变化率最高，为&+-%,，而且方差
最小，为&+&!#，这说明改革开放以来，我国第二产
业发展比较快，以每年&+-%,的比重增长，变化也
比较平稳。第一产业 ()*指数相对变化率为
/!+.%,，说明我国改革开放以来，第一产业()*
在()*中所占的比重是逐渐下降的。第三产业
()*指数相对变化率为&+!#,，说明我国改革开放
以来，第三产业()*在()*中所占的比重是逐渐
上升的，但它相对于第二产业()*指数的变化程度
来说还不够高。因此，我国还要加快产业结构升级
的步伐，进一步发展第三产业。
三、结 论
随机化方法的优点在于它不但可以计算出指数
的平均值，而且可以计算指数变动的标准差。有了
平均值、标准差，可以利用数理统计的方法计算出指
数变动的置信区间。这种方法不仅可以用于价格指
数，还可以用于购买力平价指数、质量指数、全要素
生产率等等。由于()*指数的特点与物价指数等
非常相似，所以本文将这一方法应用于我国()*指
数的分析，不仅分析了我国!"#$!%&&’年()*指
数变化的平均值，而且还计算出了它的方差，进而为
考察()*指数变化的程度提供了依据。另外，本文
还计算出了三次产业()*指数相对变化的平均数
以及它们相对变化的方差。指数随机化方法为我们
进行指数分析提供了一个新的思路，它还可以广泛
应用于其它的指数分析，例如物价指数、全员劳动生
产率等，从而丰富了传统的指数分析的内容。
参考文献：
［!］ 1234356789，:;<5=>+6?@4@ABCD@E@FGHI:FIJAGKHF：<7GHL?ABGKL<MMDHAL?［N］+NHCDFAJHIOCBKF@BBAFP3LHFHEKL
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［N］+3LHFHEKL4HP@JKFT，%&&0，（%!）：%’’/%0#+
（责任编辑：马 慧）
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刘飞：()*指数随机化分析
万方数据
