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收稿日期：$%%&1%&1%&
作者简介：曲卫彬（!’2’1），男，辽宁大连人，教授。主要从事经济统计学、国有资产管理方面的教学与研究。
【统计理论与方法】
众数计算公式问题探讨
———与吴海建商榷
曲卫彬
（东北财经大学 财税学院，辽宁 大连!!3%$#）
摘 要：文章对吴海建先生的“众数计算问题之我见”一文的观点提出商榷意见，并对众数公式的证明方
法进行了讨论。
关键词：众数计算公式；次数分布；数学证明
中图分类号：4"!$ 文献标识码：5 文章编号：!%%61&!!3（$%%&）%#1%%2%1%$
吴海建先生在《众数计算问题之我见》一文（见《统计研
究》$%%$年第"期，以下简称“吴文”）中，认为现行的众数计
算公式存在两个缺陷，故对众数公式进行了改进。笔者不同
意吴文的观点，现提出商榷意见。同时对众数公式的证明方
法发表个人之见，以求教于吴海建先生和统计学界同仁。
一、现行众数计算公式是否存在缺陷
在组距数列的条件下，确定众数需要运用公式计算。以
下限公式为例，现行的众数计算公式为：
7%89:
!!
!!:!$
;<
式中各字母的含义均遵从统计学的习惯约定。
吴文认为：上述众数计算公式存在的第一个“缺陷”，是
“忽略了（变量数列）组距大小对众数的影响”。按照吴文的
分析，这种忽略导致了（!）人们单纯依据数列中各组次数的
大小来确定众数组，因而是不合适的。（$）对于同一批数据，
在等距、异距不同分组的情况下，按上述公式计算众数的结
果是不相同的。这果真是现行众数公式的“缺陷”吗？在此
笔者进行如下分析：
众数是一组数据中出现次数最多的变量值，从次数分布
图上看，众数就是分布曲线顶点所对应的变量值，即分布曲
线顶点的横坐标。在编制组距数列时（因为只有组距数列才
需要运用公式计算众数），在原始数据资料既定的情况下，所
划分的组数多少和组距大小以及等距、异距分组的不同，就
直接影响了组距数列中各组的次数分配状况（由此可见数据
整理在统计研究中的重要性）。也就是说，在进行组距分组
时，由于等距或异距分组等方面的差别，同一批数据所形成
的分布曲线的形态特征，如曲线的峰度、偏度等必定会有所
差异，因而根据公式计算众数的结果也必然要随之发生变
化，这是容易理解的。因此，对于同一批数据，在等距、异距
不同分组的情况下，运用众数公式计算众数必然会得到不同
的结果，这并非现行公式的“缺陷，而恰恰是其客观地反映了
分布曲线形态特征的表现。
由于等距或异距分组的不同影响到分布曲线的表现形
态，所以，为了尽可能客观认识总体的分布状态，在进行统计
分组时，人们总是优先考虑采用等距分组。事实上，由于只
有在等距数列中各组的次数才是能够直接比较的，所以等距
分组是确定众数组的前提条件，因而也是运用众数公式计算
众数的前提条件（当然还有另外一些前提条件）。吴文认为：
现行公式单纯依据各组次数的多少来确定众数组，是忽略了
组距大小的影响，其实这是作者自己忽略了在组距数列的条
件下计算众数的前提条件。异距数列是不能直接运用公式
计算众数的，因为在异距数列中，人们不能直接依据各组的
次数大小来确定众数组，例如吴文表$中给出的例子那样。
如果在统计研究中需要对异距数列计算众数，则必须先将其
改变为等距数列，或者先计算出各组的次数密度，然后才能
运用公式进行计算。
吴文认为：现行众数公式存在的第二个“缺陷”，是它只
考虑众数组前、后两组的次数来确定众数的具体位置，“忽略
了远离众数组的其它各组的次数对众数的影响”。于是提出
了按照累计的次数来计算众数的新公式（新公式具体见吴
文）。新公式比现行公式更科学吗？笔者认为恰恰相反。
根据众数公式计算众数，实际上是依据对众数在众数组
内所处位置状况（偏向下限还是偏向上限）的判断而进行的
一种估算，因而也叫插值估算法。那么，如何对众数在组内
的位置状况做出判断？显然，分布曲线在顶点区域的对称程
度和陡峭程度是据以判断的最有效信息。现行公式依据众
数组的次数与其相邻两组的次数之差来计算众数，是对这一
有效信息的充分利用，因而是科学的。吴文的新公式是依据
众数组的前、后各组的累计次数来计算众数的，这样所使用
的就不是判断分布曲线顶点位置的最有效信息———分布曲
线顶点的位置与该曲线前、后两尾部的次数密度是低相关
的。按照吴文的新公式计算众数，不但计算量大，而且随着
分布曲线偏斜度的增大，计算结果也将越来越不准确，这是
显而易见的。
吴文为了论证新公式的优越性，提出了以所计算的众数
是否更接近于算术平均数作为衡量不同公式优劣的标准，这
%2 万方数据
实际上混淆了众数与算术平均数的区别，忽视了众数的特点
和作用。众数属于位置平均数，它的最大特点亦即优点就是
不受数据极端值的影响；算术平均数是根据全部数据计算
的，因而有易受极端值影响的缺点。所以，当次数分布曲线
呈偏斜状态时，众数与算术平均数将产生差异，且偏态愈大，
两者的差异也愈大，而此时也就越有必要计算众数，以众数
反映变量值的一般水平。这就是说，众数和算术平均数（也
包括其它描述总体分布特征的指标）是由总体的分布形态决
定的，它们本身是一个客观的确定的数值。因此，我们评价
一个计算公式或计算方法优劣的首要标准，就是要看其能否
取得描述总体特征（众数或其它特征值）的这个确定值，或者
取得这个确定值的“有效统计量”，即通常所说的计算结果的
准确性，而不应当以接近算术平均数或者别的什么总体特征
值作为评价的标准。
这里，有必要对统计的准确性问题做进一步讨论。在本
论题的范围内，准确性的含义当然是指对统计数据整理、加
工的结果，能够确切反映出事物客观存在的数量关系。但有
两点需要明确：第一，统计的准确性是相对的。统计是对现
象总体进行研究的，为了实现从对现象个体量过渡到对总体
量的认识，统计需要对所收集的大量数据资料进行必要的加
工处理，例如统计分组。统计数据整理有利于反映总体特征
和现象内在的规律性，也便于进一步地计算和分析，这是我
们进行统计整理包括确定组数、组距以及等距、异距分组的
目的，也是进行统计整理的原则。但无论如何，相对于原始
数据而言，数据整理势必影响了后续的计算结果，在这一意
义上，统计的准确性是相对的而不是绝对的。这种相对的准
确性是由统计研究的对象———随机现象所决定的。因此，所
说的评价计算公式或计算方法优劣的准确性标准，也就是相
对的而不是绝对的。第二，要正确认识统计中的近似计算。
为了从数量方面认识现象总体的特征，统计研究中大量运用
了近似计算，比如通常采用的以组中值代替组内变量一般水
平的做法。合理的近似计算便于人们以较少的研究资源，透
过纷繁的表象，获得对总体基本特征和内在规律的认识。可
以说，近似计算也是由统计研究对象的特殊性所决定的一种
研究方法。但是，允许近似计算并不意味着可以不探索计算
公式或计算方法的科学性，因为如果计算公式或计算方法本
身不科学，就会产生系统性误差，误导人们对客观事物的认
识。这正是人们关注众数计算公式科学性的原因所在。
二、众数公式的几何证明方法是否正确
对现行众数公式的数学证明是一个尚未取得共识的问
题。有些教科书根据次数分布直方图，利用相似三角形的性
质来推导众数计算公式!，吴文也认同这种证明方法。但事
实上，这种证明方法是错误的。现将其证明过程简述如下：
附图 次数分布直方图
已知：在组距变量数列中众数组及其相邻两组的次数分
布直方图如附图所示。由附图可知：
!!"#"!$%#
&’(／)(*$%／!+
&（’(,)(）／)(*（$%,!+）／!+ （-）
将式（-）中的各线段以众数公式中相应的符号替换，得
到式（.）：
/
)(*
!-,!.
!-
（.）
&)(*
!-
!-,!.
0/ （1）
&),)(*),
!-
!-,!.
0/ （2）
&(3*),
!-
!-,!.
0/ （4）
证毕。
这种证明方法的错误在于式（2）与式（4）之间缺乏逻辑
联系。由直方图可知：式（1）是线段)(的长度即!!+#之
高的表达式，于是可知式（2）表示的线段5(的长度，亦即线
段!$与+%交点（#）的横坐标。但是，该交点并非是次数
分布曲线的最高点，因为没有根据认定曲线!#%就是变量
的次数分布曲线，也不存在可以曲线!#%代替次数分布曲
线的理由。这样，式（4）所表明的实际上只是#点的横坐
标，而不是我们所要证明的分布曲线顶点的横坐标———众
数。可见，上述证明推导的结论并非是人们要求证明的结
论，由式（2）到式（4），在逻辑上违反了同一律，犯了偷换论题
的错误。
值得指出的是：类似上文的直方图在国外的统计学教材
中也偶有所见（见参考文献［-］）。但国外教材并非利用此来
证明众数公式，而是将其作为估算众数的一种方法，这是不
是表明国外学者也认为采用相似三角形的证明方法存在着
逻辑漏洞？对众数公式的数学证明，成功的方法是运用微积
分学中的“微元法”，该法在周恒彤先生主编的《统计学》教材
中有详细介绍，有兴趣的读者可以参阅该教材。
!就笔者所见，采用这一证明方法的老一辈统计学家有金国宝教授；新中国著名统计学家有黄良文教授、张维达教授；目
前采用这一证明方法的学者有褚可邑（《统计理论与方法》，中国统计出版社-667年版）、满向昱（《统计学教程》，中国财经出版
社-666年版）、夏南新（《新概念统计学》，中国财经出版社.333年版），高等学校核心课教材《统计学》（高等教育出版社.333
年版）也采用了此种证明方法。
参考文献
［-］ !89:;<=>?!@A:;<B@)BABCDE:E=>E=<>［(］?$C:9B;@F;：DE:;CBGHIF9;B>（JKLC=>IB9>）)E@?，M%’$!NFK>B，-6O6?
［.］ 周恒彤P社会经济统计学原理［(］P北京：中国统计出版社，
（责任编辑：郭诗梦）
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曲卫彬：众数计算公式问题探讨
万方数据
