第六章 时间数列
第一节 时间数列的构成要素和分类
第三节 时间数列分析的速度指标
第二节 时间数列分析的水平指标
第六章 时间数列
第四节 动态趋势分析
第一节 时间数列的概念和种类
一、时间数列的概念
时间数列
把反映现象发展水平的统计指标数值，按照时间先后顺序排列起来所形成的统计数列，又称动态数列。
时间数列由两个基本要素构成：
现象所属的时间
反映现象发展水平的指标数值
构成要素：
上海市国内生产总值
年份
1999
2000
2001
2002
2003
2004
2005
亿元
例
年份
国内生产总值
（亿元）
年份
国内生产总值
（亿元）
1979
1980
1981
1982
1983
1984
1985
1986
1987
1988
1989
1990
1991
1992
1993
1994
1995
1996
1997
1998
要素一：时间t
要素二：指标数值a
二、时间数列的种类
时间数列按照所列入指标数值的不同可分为：
绝对数动态数列
相对数动态数列
平均数动态数列
时期数列
时点数列
时点数列
时期数列
（一）绝对数时间数列的分类
由反映一段时期内社会经济现象发展的总量或总和的绝对数所组成的时间数列。（如社会消费品零售总额数列）
由反映一时点上社会经济现象所处的水平的绝对数所组成的时间数列
二者的区别
2、各指标数值大小是否与其时间长短直接相关。
1、各指标数值是否具有可加性
3、各指标的数值的取得方式。是连续登记还是一次性登记。
年末居民储蓄存款余额
时期数列特点：
数列中各个指标值是可加的；
数列中每个指标值的大小随着时期的长短而变动；
数列中每个指标值通常是通过连续不断 的登记而取得。
时点数列特点：
数列中各个指标值是不能相加的；
数列中每个指标值的大小与时间间隔的长短没有直接关系；
数列中每个指标值通常是按期登记一次取得的。
又称为相对数时间数列，是由一系列相对指标数值按时间先后顺序排列形成的时间数列，如社会消费品零售总额指数、年末居民储蓄存款余额指数、职工年平均货币工资指数
（二）相对指标时间数列
相对指标时间数列不能相加
又称为平均数时间数列，是由一系列平均指标数值按时间先后顺序排列形成的时间数列，如职工年平均货币工资数列
（三）平均指标时间数列
平均指标时间数列不能相加
年份
社会消费品零售总额
（亿元）
年末居民储蓄存款余额（亿元）
职工年平均货币工资（人/元）
1996
1997
1998
1999
2000
6210
6470
7479
8346
9371
我国九五时期人民生活水平资料
指数（以1995年为100）
社会消费品零售总额
年末居民储蓄存款余额
职工年平均货币工资
三、动态数列的编制原则
基本原则是遵守其可比性。
具体说有以下几点：
注意时间的长短应统一；
总体范围应该一致；
指标的经济内容应该相同；
指标的计算方法和计量单位应该一致。
指标
1952-1957
1958-1962
1963-1965
1966-1976
1977-1986
社会总产值 （亿元）
工业总产值（亿元）
工业总产值比重（%）
6698
6年
5年
3年
11年
10年
第二节 时间数列的水平分析
属于现象发展的水平分析指标有： 发展水平 平均发展水平 增长量 平均增长量
一、发展水平
时间数列中每一项指标数值
设时间数列中各期发展水平为：
最初水平
中间水平
最末水平
（ N 项数据）
（ n+1 项数据）
或：
具体反映某种社会经济现象在各个时期达到的规模和程度，是计算其他时间数列分析指标的基础。
二、平均发展水平
又叫序时平均数，是把时间数列中各期指标数值加以平均而求得的平均数
一般平均数与序时平均数的区别：
计算的依据不同：前者是根据变量数列计算的，后者则是根据时间数列计算的；
说明的内容不同：前者表明总体内部各单位的一般水平，后者则表明整个总体在不同时期内的一般水平。
某车间各月工业增加值
月份
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
增加值(万元)
30
40
38
44
48
52
54
60
66
76
70
82
季度
一
二
三
四
各季每月平均增加值(万元)
36
48
60
76
例
序时平均数的计算方法：
㈠ 绝对数动态数列的序时平均数
1. 时期数列的序时平均数
月份
一
二
三
四
五
六
产量(万件)
24
20
28
28
30
29
例
年份
能源生产总量（万吨标准煤）
1994
1995
1996
1997
1998
118729
129034
132616
132410
124000
1994-1998年中国能源生产总量
【例】
2. 由时点数列计算
①由连续时点数列计算
对于逐日记录的时点数列可视其为连续
※间隔相等时，采用简单算术平均法
序时平均数的计算方法
日期
6月1日
6月2日
6月3日
6月4日
6月5日
收盘价
元
元
元
元
元
解
某股票连续 5 个交易日价格资料如下：
【例】
2. 由时点数列计算
①由连续时点数列计算
※间隔不相等时，采用加权算术平均法
对于逐日记录的时点数列,每变动一次才登记一次
序时平均数的计算方法
某企业5月份每日实有人数资料如下：
日 期
1~9日 10~15日 16~22日 23~31日
实有人数
780 784 786 783
解
【例】
②由间断时点数列计算
每隔一段时间登记一次，表现为期初或期末值
※间隔相等 时，采用简单序时平均法
一季
度初
二季度初
三季度初
四季度初
次年一季度初
序时平均数的计算方法
时间
3月末
4月末
5月末
6月末
库存量(百件)
66
72
64
68
解：第二季度的月平均库存额为：
某商业企业1999年第二季度某商品库存资料如下，求第二季度的月平均库存额
【例】
※间隔不相等 时，采用加权序时平均法
90天
90天
180天
一季
度初
二季度初
三季度初
次年一季度初
时间
1月1日
5月31日
8月31日
12月31日
社会劳动者人数
362
390
416
420
单位：万人
某地区1999年社会劳动者人数资料如下
【例】
解：则该地区该年的月平均人数为：
（二）计算相对数时间数列的序时平均数
基本公式
1. a、b均为时期数列时
序时平均数的计算方法
某厂7-9月份生产计划完成情况
7月份
8月份
9月份
a 实际产量(件)
1256
1367
1978
b 计划产量(件)
1150
1280
1760
c 产量计划完成%
例
把、、三个数据求平均数，得，有差异。
月 份
一
二
三
计划利润（万元）
200
300
400
利润计划完成程度（﹪）
125
120
150
某化工厂某年一季度利润计划完成情况如下
因为
所以，该厂一季度的计划平均完成程度为 ：
【例】
2. a、b均为时点数列时
3. a为时期数列、b为时点数列时
某厂第三季度生产工人与职工人数资料
日 期
6月30日
7月31日
8月31日
9月30日
a 生产工人数（人）
645
670
695
710
b 全体职工数（人）
805
826
830
845
c 生产工人占全体职工的%
例
时间
1月1日
2月1日
3月1日
4月1日
职工人数（b）
其中：工人数（a）
工人占职工比重（%）（ c)
900
710
980
824
1000
830
83
1100
938
例 某企业2003年第一季度职工人数及构成资料如下
该企业2003年第一季度工人占全部职工人数的平均比重为：
月 份
三
四
五
六
七
工业增加值（万元）
月末全员人数（人）
2000
2000
2200
2200
2300
【例7-8】已知某企业的下列资料：
要求计算：该企业第二季度的月平均劳动生产率；
该企业第二季度的月平均劳动生产率：
某商业企业商品销售额与库存额情况
1月
2月
3月
a 商品销售额(万元)
80
150
240
1月1日
2月1日
3月1日
4月1日
b 商品库存额(万元)
35
45
55
65
例
若为间隔不等的二个间断时点数列对比组成的相对数动态数列的序时平均数为：
（三） 平均数动态数列的序时平均数
1.由一般平均数组成的平均数动态数列
的序时平均数。
一般公式：
某厂某年1-6月每一工人平均产值
月份
1
2
3
4
5
6
a 工业增加值(万元)
33
b 平均工人数(人)
60
65
68
70
72
70
c 每一工人平均产值(万元)
例
2. 由序时平均数组成的平均数动态数列
的序时平均数。
某企业某年各季平均月产值情况
季 度
一
二
三
四
平均每月产值(万元)
14
17
21
29
可见，当时期相等时，可直接用简单算术平均法计算。
若时期或间隔不等时，应使用加权算术平均法计算。
例
平均发展水平计算总结
序时平均方法
总量指标
时期数列
简单算术平均
时点数列
连续时点
间隔相等
简单算术平均
间隔不等
加权算术平均
间断时点
间隔相等
两次简单平均
间隔不等
先简单后加权
相对指标、平均指标
视情况选用：先平均再相除、先加总再相除、加权算术平均、加权调和平均等
三、增长量
说明某种现象在一定时期内所增长的绝对数量。
基期有两种
前一时期
某一固定时期
增长量
累计增长量：
逐期增长量：
设时间数列中各期发展水平为：
逐期增长量
累计增长量
二者的关系
⒈
⒉
四、平均增长量
说明社会现象在一段时期内平均每期增加的 绝对数量。
某省2000-2005年某工业产品产量
年份
2000
2001
2002
2003
2004
2005
发展水平: 产量
增长量
累计
-
逐期
-
例
单位：万台
例 我国茶叶产量的资料如表所示
年份
发展水平
（万吨）
增加量（万吨）
逐期
累计
1995
—
—
1996
1997
2
1998
1999
2000
例 我国茶叶产量的资料如表所示
根据上表计算我国茶叶产量的平均年增长量
第三节 时间数列的速度分析
时间数列的速度指标有： 发展速度 增长速度 平均发展速度 平均增长速度
一、发展速度
反映社会经济现象发展程度的动态相对指标。
二、增长速度
反映社会经济现象增长程度的动态相对指标。
某省2000-2005年某工业产品产量
年份
2000
2001
2002
2003
2004
2005
发展水平: 产量
增长量
累计
-
逐期
-
发展速度(%)
定基
100
环比
-
增长速度(%)
定基
-
环比
-
增长1%绝对值
-
例
单位：万台
三、平均发展速度和平均增长速度
平均发展速度是各个环比发展速度的动态平均
数(序时平均数)，说明某种现象在一个较长时
期中逐年平均发展变化的程度；
平均增长速度是各个环比增长速度的动态平均
数，说明某种现象在一个较长时期中逐年平均
增长变化的程度。
平均发展速度的计算
⑴ 几何平均法（水平法）
即有
从最初水平a0出发，每期按一定的平均发展速度 发展，经过n个时期后，达到最末水平an，有
基本要求
计算公式
⑴ 几何平均法（水平法）
平均发展速度的计算
总速度
环比速度
某企业总产值资料
基年
第一年
第二年
第三年
第四年
第五年
总产值(万元)
环比发展速度(%)
-
定基发展速度(%)
-
例
%
75
.
104
2614
.
1
%
75
.
104
261385
.
1
1
.
270
7
.
340
%
75
.
104
261268
.
1
0571
.
1
0251
.
1
5
5
5
5
5
=
=
=
=
=
=
=
´
´
´
´
=
X
X
X
或
或
平均发展速度
【例】已知我国茶叶产量1995～2000年间各年环比发展速度分别为%、%、%、%%，计算年平均发展速度及平均增长速度
如果已知1995年产量万吨，2000年为万吨，则年平均发展速度为
平均增长速度为：
如果已知1995-2000年的总发展速度为%，，则年平均发展速度为
若时间间隔不等时，则采用加权几何平均法
有关指标的推算:
几何平均法（水平法）
⒈推算最末水平an ：
⒉预测达到一定水平所需要的时间n ：
⒊计算翻番速度 ：
翻番数
有关指标的推算:
几何平均法（水平法）
解：
【例】已知某化肥厂2000年的产量为20万吨，如果2010年产量翻番，将会达到多少？
平均增长速度为：
解：
【例】1980年我国生产水泥7986万吨，1994年达到40500万吨，计算1980年至1994年我国水泥产量翻了几番？每年平均增长速度为多少？
平均发展速度的计算
⑵ 方程法（累计法）
从最初水平a0出发，每期按一定的平均发展速度 发展，经过n个时期后，达到各期实际水平之和等于各期推算水平之和
基本要求
计算公式的推导
由基本要求有，各期推算水平分别为
各期定基发展速度之和
（该一元n次方程的正根即为平均发展速度）
①逐渐逼近法
②查“累计法查对表”法
【例】某公司2000年实现利润15万元，计划今后三年共实现利润60万元，求该公司利润应按多大速度增长才能达到目的。
解：
求解方法
（关于 的一元n次方程）
累计法查对表
递增速度
间隔期1～5年
平均每年增长﹪
各年发展水平总和为基期的﹪
1年
2年
3年
4年
5年
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
两种方法的比较:
几何平均法研究的侧重点是最末水平；
方程法研究的侧重点是各年发展水平的累计总和。
平均发展速度的计算
几何平均法：
方程法：
应用平均发展速度应注意的问题
平均发展速度要和各环比发展速度结合分析；
总平均发展速度要和分段平均发展速度结合分析；
总平均发展速度要联系基期水平进行分析。
㈡ 平均增长速度
平均增长速度=平均发展速度-1 (100%)
平均发展速度大于“1”，平均增长速度就为正值。
则称“平均递增速度”或“平均递增率”。
平均发展速度小于“1”，平均增长速度就为负值。
则称“平均递减速度”或“平均递减率”。
时间数列的速度分析指标
时间数列的水平分析指标
发展水平
增长量
平均发展水平
平均增长量
增长速度
发展速度
平均增长速度
平均发展速度
动态平均指标
动态比较指标
第四节 动态趋势分析
动期趋势就是指某一现象在一个相当长的时期
内持续发展变化的趋势。(向上或向下变化)
时间序列的构成
1、长期趋势（T）：主要的、决定性的因素，例如：经济增长
2、季节变动（S）：每年重复出现的有规律的周期变动，例如：羽绒服和农产品的销售量
3、循环变动（C）：一年以上的周期变动，例如：经济周期
4、不规则变动（I）：偶然因素引起的无规律不规则变动。
时间序列的组合模式
1、加法模型：Y=T+S+C+I
2、乘法模型：Y=T*S*C*I
测定长期趋势的目的主要有二个：
把握现象的趋势变化；
从数量方面研究现象发展的规律性，探求合适趋势线；
将长期趋势从时间序列中分离出来，以便更好地预测；以及便于分析其他因素的变动。
长期趋势的类型基本有二种：
直线趋势；
非直线趋势，即趋势曲线。
测定长期趋势常用的主要方法有：
间隔扩大法；
移动平均法；
最小平方法。
一、间隔扩大法
将时距比较短的时间序列，加工处理成时距较长的时间序列，消除受偶然因素影响引起的不规则变动，从而使序列呈现出总的变动趋势。
一、间隔扩大法
月份
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
增加值
45
52
53
57
58
某工厂某年各月增加值完成情况 单位：万元
例
通过扩大时间间隔，编制成如下新的动态数列：
第一季度
第二季度
第三季度
第四季度
增加值(万元)
二、移动平均法
原理：是时距扩大法的改良，按照事先规定的移动时间长度N，采取逐项向后递移，计算出序时平均数序列，主要修匀不规则变动和季节变动的影响，使序列呈现出比较明显的趋势。
（2）具体计算
首先，确定移动平均数的移动周期长度。
①移动周期一般以季节周期、循环变动周期长度为准；
②如若不存在明显的季节周期和循环周期，一般而言，我们在确定移动周期的时间长度时，最好取奇数项目。
③如果必须取偶数项，则有需要根据数据资料的特点确定。例如当时间数列存在明显的季节变动时，季度资料则需要用四期移动平均来消除季节变动；月度资料则需要用12期移动平均。此外，统计中的一般做法就是再对移动平均数时间数列进行第二次偶数项移动平均，目的是为了“正位”，第二次移动的周期一般取两期。
其次，就是计算移动平均数。
设有一时间序列 ，其中
，选择连续的N个观察期（N<n，称跨越期）数据计算算术移动平均数为：
{表示位与跨越期N的最末一观察期}；
仍用上例资料：
月份
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
增加值y(万元)
45
52
53
57
58
三项移动平均yc
-
53
-
∴ 趋势值项数=原数列项数-移动平均项数+1
=12-3+1=10
二、移动平均法
注1：
若采用奇数项移动平均(如上例“三项”)，则平均值是对准在奇项的居中时间处。一次可得趋势值；
若采用偶数项移动平均，则平均值也居中，因未对准原来的时间，还要再计算一次平均数，故一般都用奇数项移动平均。
注2：
修匀后的数列，较原数列项数少。(在进行统计分析时，若需要两端数据，则此法不宜使用)
注3：
取几项进行移动平均为好，一般若现象有 周期变动，则以周期为长度。例，季度资料 可四项移动平均；各年月资料，可十二项移 动平均；五年一周期，可五项移动平均。移 动平均法可消除周期变动。
月份
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
y
45
52
53
57
58
四项移动平均
二项移正yc
用四项移动平均后的资料作图，趋势更明显，上升得更均匀，可见修匀的项数越多，效果越好。(但丢掉的数据多一些)
仍用上例资料：
月份
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
增加值y(万元)
45
52
53
57
58
三项移动平均yc
-
53
-
由此可见，该厂的增加值趋势是上升的。
图示
三、最小平方法
即对原有动态数列配合一条适当的趋势线来进行修匀。这条趋势线可以是直线，也可以是曲线；这条趋势线必须满足最基本的要求。即：
㈠ 直线方程
当现象的发展，其逐期增长量大体上相等时。
该方程的一般形式为：
因为要令
可求偏导，
求偏导过程见书P133
用高等数学求偏导数方法，得到以下联立方程组：
t ——时间数列的时间
y ——时间数列中各期水平
n ——时间数列的项数
为使计算方便，可设t:
奇数项：
偶数项：
这样使
，即上述方程组可简化为：
t
y
ty
t2
yc
逐期增长量
-11
121
-
-9
45
-405
81
-7
52
-364
49
7
-5
25
-3
9
-1
1
1
53
53
1
3
9
5
57
285
25
7
49
9
58
522
81
11
121
合计
572
-
仍用上例资料：
若预测明年二月份增加值，则：
㈡ 抛物线方程
例
当现象的发展，其二级增长量（逐期增长量的增长量）大体上相同。
某地区1997-2005年国内生产总值的动态数列
配合抛物线计算过程如下表：
年份
GDP(万元)y
t
t2
t4
ty
t2y
yc
1997
3941
-4
16
256
-15764
63056
1998
4285
-3
9
81
-12774
38322
1999
4736
-2
4
16
-9472
18944
2000
5652
-1
1
1
-5652
5652
2001
7020
0
0
0
0
0
2002
7859
1
1
1
7859
7859
2003
9313
2
4
16
18626
37252
2004
11738
3
9
81
35214
105642
2005
13125
4
16
256
52500
210000
合计
67642
0
60
708
70537
486727
例
㈢ 指数曲线方程
当现象的发展，环比增长速度大体上相等时。
该方程的一般形式为：
第五节 季度变动的测定与预测
一、季节变动分析的意义
测定季节变动的资料时间至少要有三个周期以上，如季节资料，至少要有12季，月度资料至 少要有36个月等，以避免资料太少而产生偶然 性。
测定季节变动的方法有二种：
按月平均法，不考虑长期趋势的影响(假定不存在长期趋势)，直接利用原始动态数列来计算；
移动平均趋势剔除法，即考虑长期趋势的存在，剔除其影响后再进行计算，故常用此法。
二、按月平均法测定季节变动
也称按季平均法。若为月度资料就按月平均；若为季度资料则按季平均。
其步骤如下：
列表，将各年同月(季)的数值列在同一栏内；
将各年同月(季)数值加总，并求出月(季)平均 数；
将所有同月(季)数值加总，求出总的月(季)平均数；
求季节比率(或季节指数)。
某地区各月毛线销售量季节变动计算表 单位：百千克
月份
年份
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
合计
第一年
150
90
40
26
10
8
12
20
35
85
340
360
1176
第二年
230
150
60
40
20
10
32
40
70
150
420
480
1702
第三年
280
120
80
30
12
9
37
48
84
140
470
500
1820
合计
660
360
180
96
42
27
81
108
189
375
1230
1350
4698
月平均数
220
120
60
32
14
9
27
36
63
125
410
450
季节比率(%)
1200
例
预测方法：
若知，今年4月份销售量为50百千克，预测今年10、11月份销售量：
三、移动平均趋势剔除法测定季节变动
为方便计算，把上例月资料改为季资料：
单位：百千克
季度
年份
一
二
三
四
第一年
280
44
67
785
第二年
440
70
142
1050
第三年
480
51
169
1120
第一，用移动平均法求出长期趋势。因是季度资料，故先求四项移动平均后，再求二项移动平均，得到趋势值yc。
季度
销售量y
(百千克)
四项移动平均
二项移正
yc
趋势值剔除
减法y-yc
除法y/yc×100%
第一年Ⅰ
280
-
-
-
Ⅱ
44
-
-
-
Ⅲ
67
314
-247
Ⅳ
785
第二年Ⅰ
440
Ⅱ
70
Ⅲ
142
Ⅳ
1050
第三年Ⅰ
480
Ⅱ
51
Ⅲ
169
-
-
-
Ⅳ
1120
-
-
-
294
334
455
减法
第二，剔除长期趋势。用原数列减去同一时期的趋势值。
第三，计算同期平均数。
第四，分摊余数得季节变差.。
对减法（y-yc）分析如下：
第一季
第二季
第三季
第四季
合计
第一年
-
-
-247
第二年
第三年
-
-
合 计
136
平 均
68
校正数
+
+
+
+
季节变差.
0
除法
第二，用除法剔除长期趋势。用原始数列除以同一时期的趋势值。
第三，求季节比率。按季节求其平均的季节比率。
第四，调整季节比率。将求得的平均季节比率相加，各季的季节比率之和应为400%，如果其和大于或小于400%，应计算校正系数进行校正。
对除法分析如下：
第一季
第二季
第三季
第四季
合计
第一年
-
-
第二年
第三年
-
-
合 计
平 均
校正比例
季节比率.
400
作业：二、练习题
某汽车制造厂2003年产量为30万辆。
（1）若规定2004—2006年年递增率不低于6%，其后年递增率不低于5%，2008年该厂汽车产量将达到多少？
（2）若规定2013年汽车产量在2003年的基础上翻一番，而2004年的增长速度可望达到%，问以后9年应以怎样的速度增长才能达到预定目标？
（3）若规定2013年汽车产量在2003年的基础上翻一番，并要求每年保持%的增长速度，问能提前多少时间达到预定目标？
某地区社会商品零售额1988—1992年期间（1987年为基期）每年平均增长10%，1993—1997年期间每年平均增长%，1998—2003年期间每年平均增长%。问2003年与1987年相比该地区社会商品零售额共增长多少？年平均增长速度是多少？若1997年社会商品零售额为30亿元，按此平均增长速度，2004年的社会商品零售额应为多少？
某公司近10年间股票的每股收益如下（单位：元）：
，，，，，，，，，
（1）分别用移动平均法和趋势方程预测该公司下一年的收益；
（2）通过时间序列的数据和发展趋势判断，是否是该公司应选择的合适投资方向？
*
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