第二单元 矩阵
第 2 次课程教案 2 课时
教 学
内 容
矩阵的运算：矩阵的乘法、转置，方阵行列式，伴随矩阵
教 学
目 标
1.理解矩阵乘法、转置、幂等的概念和性质；
2.掌握方阵多项式的计算方法；
3.掌握伴随矩阵的定义.
重 点
难 点
1. 矩阵的运算性质；
2. 伴随矩阵的定义.
教 学
条 件
环 境
多媒体教室；粉笔；ppt 课件
教 学
方 式
Ⅰ课堂讲授；Ⅰ 混合式教学；□ 讲授；Ⅰ案例教学；Ⅰ 分组教学；□ 实验演示；□
作业讲评；□ 实践教学；□ 其他活动
教 学 过 程 设 计
教 学
环 节
教 学 内 容
互 动
设 计
导 入
（ 5
分 ）
问题导入：
1.两个数可以相乘，两个矩阵能相乘么？如何进行?
2. 设矩阵 ，请问矩阵 能与矩阵 相乘吗？即问 有意义吗？
3. 设矩阵 ，请问 有意义吗？
k 个 A 相乘： 有意义吗？
4.行列式中有转置行列式的概念，那么矩阵存在转置矩阵吗？
学 生
思考
学 生
回答
正 文
讲 授
（ 75
分 ）
矩阵的乘法★▲
定义 3 设 , , 称 为矩阵 与 的乘积，记
, 其中
.
注：（1）只有当左边矩阵的列数等于右边矩阵的行数时,两个矩阵才能相乘, 否则 AB
没有意义．
（2）矩阵 中元素 等于左矩阵 的第 行与右矩阵 的第 列对应元素乘积之和.
（3）矩阵 的行数等于左矩阵 的行数，列数等于右矩阵 的列数．
例 3 设 ，求 .
此例表明， 有意义，但 不一定有意义．
例 4 设 A = ， B = ，求 ．
此例表明：
学生
思考
学生
倾听
学生
回答
nmA nmA nmA 2AAA
nnA 2AAA
kAAAA Ⅰ
( )ij m sA a ( )ij s nB b AB A B
( )ij m nC c AB
s
k
kjiksjisjijiij babababac
1
2211 Ⅰ ),,2,1;,,2,1( njmi ⅠⅠ
C ijc A i B j
C A B
2 3 0
1 2 0
, 1 2 1
0 1 3
0 1 1
A B
,AB BA
AB BA
11
11
11
11
,AB BA
（1）即使 都有意义且它们的行列数相同， 与 也不一定相等．
（2）两个非零矩阵的乘积可以是零矩阵．
例 5 设 ， ，求 .
此例表明, 即使 和 都有意义， 和 的行数及列数也不一定相同．
例 6 设 ， ， ，求 .
此例表明，由 ，一般不能推出 ．
以上几个例子说明, 矩阵乘法的规律与中学学过的数的乘法规律不同, 矩阵相乘与矩
阵的顺序有关.
（ 1 ） 矩 阵 乘 法 一 般 不 满 足 交 换 律 , 即 一 般 情 况 下 ， ； 且
,
等公式一般都不成立.
（2）由 ,一般不能推出 或 .
（3）矩阵乘法一般不满足消去律, 即一般情况下，若 且 ,不能得出
.
定义 4 若矩阵 与 满足 , 则称 与 可交换.
只有当 与 可交换时, , 等公
式才成立.
根据矩阵乘法定义，还可以直接验证矩阵乘法满足下列性质（假定以下运算都能进
行）:
（1）结合律： ；
（2）分配律 ； ；
（3）数乘结合律: ；
（4）设 是 矩阵,则 或简记为 .
利用矩阵的乘法运算，可以使许多问题表达简明．
例 7 某地区有四个工厂Ⅰ、Ⅰ、Ⅰ、Ⅰ，生产甲、乙、丙三种产品，矩阵 表示一年
内各工厂生产各种产品的数量，矩阵 表示各种产品的单位价格(元)及单位利润(元)，矩
阵 表示各工厂的总收入及总利润，且 .
其中 是第 个工厂生产第 种产品的数量， 分别表
示第 种产品的单位价格及单位利润， 分别是第 个工厂生产三种产
品的总收入及总利润．利用矩阵的乘法，可以定义 阶方阵的幂.
定义 5 设 是 阶方阵, 定义方阵的幂：
其中 为正整数.
对任意方阵 , 我们规定 .
方阵的幂具有以下性质：
,AB BA AB BA
1 2, , , nA a a a
1
2
n
b
b
B
b
M
,AB BA
AB BA AB BA
3 1
4 6
A
2 1
4 6
B
0 0
1 1
C
,AC BC
,AC BC C 0 A B
AB BA
2 2 2( ) 2A B A AB B
2 2( )( )A B A B A B
AB 0 A 0 B 0
AB AC A 0
B C
A B AB BA A B
A B 2 2 2( ) 2A B A AB B 2 2( )( )A B A B A B
)()( BCACAB
ACABCBA )( CABAACB )(
)()()( BABAAB
A m n m m n m n n m nE A A E A EA AE A
A
B
C C AB
,,,
4241
3231
2221
1211
3231
2221
1211
424241
333231
232221
131211
Ⅰ
Ⅰ
Ⅰ
Ⅰ
总利润总收入
丙
乙
甲
利润价格
单位单位Ⅰ
Ⅰ
Ⅰ
Ⅰ
丙乙甲
cc
cc
cc
cc
Cbb
bb
bb
B
aaa
aaa
aaa
aaa
A
( 1,2,3,4; 1,2,3)ika i k i k 1 2,k kb b
k 1 2, ( 1,2,3,4)i ic c i i
n
A n
)(,,, 121 kk AAAAAAAA Ⅰ
k
A 0A E
（1） ；（2）
其中 是 阶方阵, 是正整数.
注：因为矩阵的乘法一般不满足交换律,所以一般情况下,对 与 , ,
只有当 与 可交换时,才有 .一般地，若 ，也不一定有 ．
定义 6 设 次多项式
，称
为 阶方阵 的 次多项式.
例 1 设 , , 求 .
矩阵的转置★▲
定义 7 将矩阵 的行换成同序数的列, 所得 矩阵称为 的转置矩阵, 记
作 或 , 即
，则 .
矩阵的转置满足以下性质：
（1） ；
（2） ；
（3） ， 为常数；
（4） .
显然，性质(2)和(4)可以推广到多个矩阵的情形．即：
（5） ；
（6） .
例 2 设 ， ，
求 和 .
注：一般情况下, .
定 义 4 设 阶 方 阵 , 若 , 则 称 为 对 称 矩 阵 , 即
;
若 , 则称 为反对称矩阵, 即 .
反对称矩阵的特点是：它的元素以主对角线为对称轴互为相反数并且主对角线元素全
为 0.
k l k lA A A lk klA A
A n ,k l
n nA n nB
k k kAB A B
A B k k kAB A B kA 0 A 0
n
11 1 0n nn nf x a x a x a x a
11 1 0n nn nf A a A a A a A a E
n A n
2( ) 2f x x x
1 0
1 1
A
f A
( )ij m nA a n m A
A A
11 12 1
21 22 2
1 2
n
n
m m mn
a a a
a a a
A
a a a
K
K
M M M M
K
11 21 1
12 22 2
1 2
m
mT
n n mn
a a a
a a a
A
a a a
M M M M
( )A A
( )A B A B
( )kA kA k
( )AB B A
1 2 1 2( )k kA A A A A A
L L
1 2 1 1( )k k kA A A A A A
L L
1 1 2
0 1 1
A
1 0
1 3
2 1
B
( )AB A B
( )AB A B
n ( )ij n nA a A A
A
, 1, 2, ,ij jia a i j n
A A A , 1, 2, ,ij jia a i j n
例如, 是一个对称矩阵,
是一个反对称矩阵.
注：对角矩阵一定是对称矩阵。
方阵的行列式★▲
定义 5 由 阶方阵 的所有元素按原来位置构成
的行列式， 称为方阵 的行列式, 记为 或 ,即
.
注：方阵行列式与方阵是不同的概念, 前者是一个数, 后者是一个数表.
设 都是 阶方阵， 为常数，方阵行列式满足以下性质：
（1） ；
（2） ；
（3） .
把性质(3)推广到 个 阶方阵相乘的情形，有
.
特别地，
注：一般 ,但 （ 、 均为 阶方阵）.
定义 6 设 是 阶方阵，当 时， 称 A 为非奇异的
(或非退化的)；当 时，称 A 为奇异的(或退化的).
伴随矩阵
定义 7 设 是 阶方阵，由行列式 中的每个元素 的代数余子式 所构成
的矩阵
（2-2-1）
称为矩阵 的伴随矩阵.
注：伴随矩阵 在位置 上的元素是矩阵 在位置 上的代数余子式.
例如， 的伴随矩阵是 .
定理 1 设 是 阶方阵， 是 的伴随矩阵，则
1 2
1 3
2 3
a
A b
c
0 1 2
1 0 3
2 3 0
B
n ( )ij n nA a
A A det A
11 12 1
21 22 2
1 2
det
n
n
n n nn
a a a
a a a
A A
a a a
M M M M
,A B n k
A A
nkA k A
AB A B
m n
1 2 1 2m mA A A A A AL L
kkA A
AB BA AB BA A B n
A n 0A
0A
( )ij n nA a n A ija ijA
11 21 1
12 22 2*
1 2
n
n
n n nn
A A A
A A A
A
A A A
L
L
M M O M
L
A
*A ),( ji A ),( ij
a b
A
c d
* d bA
c a
A n *A A
（2-2-2）
补充例题：（选讲）
1.设 ， ，求 。
2. 设 列 矩 阵 满 足 ， 为 阶 单 位 矩 阵 ，
，证明 是对称矩阵，且 。
课 堂
小 结
（ 10
分 ）
问题 1 矩阵运算与行列式运算性质对比？
问题 2 伴随矩阵的求法？
学 生
回答
课 后
作 业
目 标
达 成
度 的
主 要
观 测
点
掌握矩阵的运算性质，会进行矩阵的相关运算
教 后
小 结
* *AA A A A E
2 0 1
1 3 2
A
1 7 1
4 2 3
2 0 1
B ( )TAB
1 2, , ,
T
nX x x x L 1
TX X E n
2 TH E XX H THH E
