第八章 责任准备金
准备金的意义
准备金(reserve)：为将来某项支出而预先留存的储备金，是将来给付支出现值与将来净保费收入现值之差。
准备金数额由准备金计算方法、相关的保险法律、法规、会计实务标准等决定。在保险实践中，给付准备金的积累保证了保险公司的到期偿付能力。
准备金的种类
偿付能力准备金(Solvency Reserves) ：为评估保险公司的偿付能力而计算的准备金。
收入准备金(Earnings Reserves) ：为评估收入和盈利而计算的准备金。
(收益=保费收入+投资收入－赔付支出－展业费用－维持费用－准备金提存)
税收准备金(Tax Reserves) ：为评估应税收入或应税收益而计算的准备金。
净保费责任准备金计算方法
未来法（prospective method） ：责任准备金是保险人未来的净责任，用未来给付现值减去未来净保费现值来衡量。
过去法（retrospective method） ：责任准备金是保险人过去净保费收入大于赔付支出的部分，用过去净保费终值减去过去给付的保险金终值计算。
将来法——引例
假如有100个40岁的人同时投保1 000元5年定期寿险，保费在5年内均衡缴付。设预定利率为6％，预定死亡率采用CL 90-93表数据，保费缴付在保单年初，保险赔付在保单年末，不考虑费用、退保和分红等。计算未来5年的预期净保费收入和预期赔付支出。
解答
人均年缴均衡净保费为，
预期净保费收入、预期赔付支出，如下表所示，
推导1
从表中数据可见，在2年内，当年净保费收入大于当年保险赔付支出，净保费有结余；但从3年起，当年净保费收入不足当年赔付支出。为了保证赔付，必须动用过去积累的准备金。
准备金的数额正是保证未来赔付支出超出未来净保费收入的金额。
某时点的给付准备金+未来净保费收入现值=未来赔付支出现值
某时点的给付准备金=未来赔付支出现值-未来净保费收入现值
推导2
引例中，未来净保费收入和赔付支出现金流如下图所示：
依据上面现金流，可以计算净保费收入和赔付支出的现值，以及各年的给付准备金。
推导3
第1年末的给付准备金总额=1 -1 =(元)
第1年末人均给付准备金= =(元)
第2年末，
未来赔付支出现值=
第1年末，
未来赔付支出现值=
未来净保费收入现值=
未来净保费收入现值=
第2年末的给付准备金== (元)
第2年末人均给付准备金= (元)
人均给付准备金正是每张有效保单需要积存的准备金数额。
终身寿险责任准备金
对于（x）岁的1单位元终身寿险，如果保费每年缴付一次、终身缴付，假设死亡赔付在死亡年年末。这时，年缴净保费为 ，在投保后第k年末，未来给付的精算现值为 ，未来净保费的精算现值为 ，k年末的给付准备金用 表示，有，
保险费在h年内缴清
如果终身寿险的保险费在h年内缴清，k年末的责任准备金用 表示。k年末的未来保费缴付期为h-k，当k<h时，未来净保费现值为 ，当k≥h时，未来净保费现值为0。因此，有，
保费一年缴付m次
如果终身寿险限期在h年缴费， 表示为k年末责任准备金
如果保费一年缴付m次，这时， 表示为终身寿险终身缴费的t年末责任准备金
保费一年缴付m次
如果保险费每年一次，h年限期缴清，这时，t年末的准备金 为，
如果终身寿险在死亡时赔付，相应的k年末保险金现值为 ，对每年一次的终身缴费寿险，责任准备金相应的表示为
定期寿险责任准备金
定期寿险给付准备金的计算公式与终身寿险类似，对(x)的1单位元n年死亡年末赔付定期寿险，如果保险费每年一次、n年缴清，k年末的给付准备金为，
定期寿险责任准备金
如果保费在h年内缴付，（h<n），k年末的给付准备金为，
定期寿险责任准备金
如果保费在h年内缴付（h<n）、一年m次，k年末的给付准备金为，
定期寿险责任准备金
如果死亡赔付在死亡时，上面的保险k年末给付准备金为，
在均匀死亡假定下，
，其他的计算方法同上
两全保险给付准备金
对于两全保险，合同到期时保险公司将要支付被保险人生存保险金，从而最后一年末单位保额两全保险的责任准备金应该等于1。
对(x)的n年两全保险，如果死亡赔付在死亡年年末，保险费在h年内缴清、每年一次，(h<n)，k年末的给付准备金为，
两全保险给付准备金
如果n年两全保险的缴费在h年内、每年m次，k年末的给付准备金为，
两全保险给付准备金
如果h年限期缴费的n年两全保险，死亡赔付在死亡年年末，k年末的给付准备金为，
延期年金给付准备金
对于(x)的延期n年生存年金保险，保险费在n年内每年缴付一次，第k年年末的给付准备金为：
过去法——引例
在前面引例中，可以进一步计算出净保费收入与赔付支出的累积收支差，以及人均累计收支差。列入下表
人均累积收支差就是过去法下的责任准备金。
过去法
过去法给付准备金是计算时点过去净保费收入终值与过去赔付金支出终值之差，即，时点过去净保费的累计值与过去赔付支出累计值的差额。
对(x)的1单位元死亡年末赔付终身寿险，如果保险费终身缴付、每年一次，这时，第k年末过去净保费终值为 ，第k年末过去赔付金在投保时的现值为 ，它在利率和生存概率下累积到k年末的终值为 ，因此，第k年末的给付准备金为，
过去法——终身寿险责任准备金
如果终身寿险的保费在h年内定期缴付，这时，
当k≥h时，过去净保费累积到h年末为 ，再累积到k年末为 ，
从而，在不同时间点上准备金的计算公式为，
过去法在不同险种的运用
对n年缴费的n年两全保险，n年内过去保险给付的终值为 ，注意这一终值不是 ，因为只有在n年末才有满期生存给付，n年内只是定期寿险，在第n年，准备金的数额应该正好等于生存给付额，从而有，
过去法在不同险种的运用
对(x)的1单位元n年延期生存年金，保险费在n年内定期缴付，
将来法和过去法的选择
根据具体问题选择使用将来法和过去法中较为简单方便的一种。一般地，
计算已缴清保费后某个时刻的给付准备金时，用将来法更方便，因为这种情况下未来只有保险金给付，没有保费缴付。
比如，当k≥n时， ， 等，计算起来比较简单。
计算尚未进入保险给付期的某时刻给付准备金，用过去法更简单，因为这种情况下只有保险费缴付，没有保险金给付。
比如，当k<n时， 。
给付准备金的递推公式
相邻两期给付准备金之间具有递推关系，了解这种关系，对于深入认识准备金的实质具有重要意义。
对(x)的1单位元死亡年末赔付终身寿险，保费每年一次、终身缴付。k年末将来法给付准备金的计算公式为：
上式两边同加保费Px
由，
，
可以得到kVx与k+1Vx之间的关系
给付准备金的递推公式
这一等式表明，k年末的给付准备金 加上t+1年初的净保费收入 ，正好等于k+1年的死亡给付在k年末的现值 与t+1年末给付准备金在利率和生者利下在t年末的现值
给付准备金的递推公式
每年的净保费Px正好满足死亡给付和相邻两期给付准备金的差额。
lx+k人k年末的给付准备金加他们缴付的净保费的总和在k+1年末等于在第k+1年发生的死亡每人1单位元的给付额和k+1年末的给付准备金。
每年的净保费一方面是为保险人承担的风险净额的缴费，一方面是为增加给付准备金的缴费。
给付准备金的递推公式
法克勒(Fackler)准备金累计公式：
第n年末的给付准备金等于每年净保费的累积与保险成本累积的差额。
可以从0V=0出发，在已知保单净保费下，依次计算出1V，2V，…等。对n年定期保险，如果已知nV，可到推出n-1V，n-2V…等。
会计年度末给付准备金
保险年度又称契约年度，是从保险契约成立日为起点的年度，即从契约成立日到下年同一日为一年。
会计年度又称业务年度，通常等同于日历年度，会计年度末的给付准备金是保险公司在年度决算日的累积给付准备金，它可以由保险年度末给付准备金推算出来。
会计年度末给付准备金
对(x)的终身寿险，假设在第j+1保险年度末死亡给付为bj+1，每年净保费为Pj，在j+1年初缴付，j=0,1,2…。由给付准备金的递推公式，对t为整数，0<h<1，t+h时点的给付准备金t+hV为，
在死亡均匀分布假设下 ，有
(1)
(2)
(3)
会计年度末给付准备金
上式可以计算会计年度末的给付准备金。其中tV为保险年度末给付准备金，t+hV为会计年度末给付准备金。
实践中，当i，qx+t很小时，1+i，px+t， 及1-hqx+t可大约近似为1，此时
会计年度末给付准备金计算示意图
半年一次缴付的情况
假设死亡给付在保险年度末，当0<h≤1/2时，对t+h时点的给付准备金 ，有，
在死亡均匀分布假设下，有，
当1/2<h<1时，递推公式可以近似为，
一年m次缴费的情况
一年m次缴费时，若h为 的整数倍数，设 ，k为整数时，有，
若 ，k为整数， 时，有，
修正的净保费责任准备金
一种常用的解决保单第一年费用超支的方法是费用占用一部分净保费，少提准备金，再从以后各年收取的营业费用中逐年归还，以补足第一年应提的准备金数额。这种对均衡净保费责任准备金进行调整的方法称为修正的责任准备金方法。
每年均衡保费为G，均衡净保费为P，均衡附加保费为G-P。
假设保单第一年由费用占用一部分净保费，使净保费成为α，第二年到第k 年由费用的归还，实际净保费成为β，k 为保费调整期，n 为保费缴付期
修正的净保费责任准备金的
一般方法
以均衡净保费现值等于实际净保费现值作为计算调整后净保费的平衡公式
修正的净保费责任准备金的
一般方法
修正的给付准备金以V mod 表示，采用与均衡净保费责任准备金相同的计算方法，在调整的净保费下，可以计算出修正的责任准备金。
当t≤k≤n 时，用将来法，有
用过去法时，有
当t≥k 时，t 年末的责任准备金就是均衡净保费给付准备金。
完全初年定期修正法
把第一年净保费规定为一年定期寿险现值，并在整个缴费期修正责任准备金的方法称为完全初年定期修正法（Full Preliminary Term），简称为FPT 法。在完全初年定期修正法下，第一年的净保费用α FPT 表示，第二年以后的净保费用β FPT 表示，k 年末的责任准备金用kVFPT表示。
A(1)表示在x+1 岁时一保险的现值，则
完全初年定期修正法
对(x)的m 年1 单位元两全保险，缴费期为n，则，
本章小结
将来法：
其中， 和 分别表示t时刻未来保险金和生存年金现值。
过去法：
其中， 和 分别表示t时刻过去生存年金和已付保险金终值。
分别表示t时刻过去生存年金和已付保险金终值。
1．给付责任准备金的计算方法有将来法和过去法两种。
本章小结
2．给付准备金基本递推关系：
3．会计年度末的给付准备金是保险公司在年度决算日的累积给付准备金，它可以由保险年度末给付准备金推算出来。在死亡均匀假设下，可近似为：
是t年末和t+1年末给付准备金的线性插值与t+h时点未经过保费之和。
