第八章 相关与一元回归分析
变量间关系的度量
一元线性回归
利用回归方程进行估计和预测
学习内容
1.相关系数的分析方法
线性回归的基本原理和参数的最小二乘估计
回归直线的拟合优度
回归方程的显著性检验
利用回归方程进行估计和预测
变量间关系的度量
变量间的关系
相关关系的描述与测度
一. 变量间的关系函数关系
是一一对应的确定关系
设有两个变量x和y，变量y 随变量x一起变化，并完全依赖于x，当变量x 取某个数值时，y依确定的关系取相应的值，则称y是 x的函数，记为y =f(x)，其中x称为自变量，y称为因变量
各观测点落在一条线上
x
y
函数关系(几个例子)
函数关系的例子
某种商品的销售额(y)与销售量(x)之间的关系可表示为 y = px (p 为单价)
圆的面积(S)与半径之间的关系可表示为S=R2
企业的原材料消耗额(y)与产量(x1)、单位产量消耗(x2)、原材料价格(x3)之间的关系可表示为y = x1 x2 x3
相关关系(correlation)
变量间关系不能用函数关系精确表达
一个变量的取值不能由另一个变量唯一确定
当变量 x 取某个值时，变量 y 的取值可能有几个
各观测点分布在直线周围
x
y
相关关系(几个例子)
相关关系的例子
父亲身高(y)与子女身高(x)之间的关系
收入水平(y)与受教育程度(x)之间的关系
粮食亩产量(y)与施肥量(x1)、降雨量(x2)、温度(x3)之间的关系
商品的消费量(y)与居民收入(x)之间的关系
商品销售额(y)与广告费支出(x)之间的关系
相关关系(类型)
散点图(scatter diagram)
不相关
负线性相关
正线性相关
非线性相关
完全负线性相关
完全正线性相关
散点图(例题分析)
【例】一家大型商业银行在多个地区设有分行，其业务主要是进行基础设施建设、国家重点项目建设、固定资产投资等项目的贷款。近年来，该银行的贷款额平稳增长，但不良贷款额也有较大比例的增加，这给银行业务的发展带来较大压力。为弄清楚不良贷款形成的原因，希望利用银行业务的有关数据做些定量分析，以便找出控制不良贷款的办法。下面是该银行所属的25家分行2002年的有关业务数据
散点图(例题分析)
散点图(例题分析)
相关系数(correlation coefficient)
对变量之间关系密切程度的度量
对两个变量之间线性相关程度的度量称为简单相关系数
若相关系数是根据总体全部数据计算的，称为总体相关系数，记为
若是根据样本数据计算的，则称为样本相关系数，记为 r
相关系数 (计算公式)
样本相关系数的计算公式
相关系数——协方差
Ⅰ
为正
Ⅱ
为负
Ⅲ
为正
Ⅳ
为负
协方差为正值时，表示正线性相关关系。
协方差为负值时，表示负线性相关关系。
相关系数——协方差
协方差接近于零时，表示很小，没有线性相关关系。
相关系数——协方差
协方差(covariance)：两个变量与其均值离差乘积的平均数，是相互关系的一种度量。
总体协方差：
样本协方差：
相关系数——协方差
协方差为大的正值时，表示强的正线性相关关系。
协方差接近于零时，表示很小，没有线性相关关系。
协方差为大的负值时，表示强的负线性相关关系。
协方差
相关系数——协方差
cm
kg
mm
kg
大于
基本结论：协方差受计量单位影响，从而不能真实反映相关的程度。
相关系数——协方差
相关系数（correlation coefficient）:协方差与两变量标准差乘积的比值，是没有量纲的、标准化的协方差。
总体相关系数
样本相关系数
相关系数——协方差
相关系数 (计算公式)
样本相关系数的计算公式
相关系数(取值及其意义)
r 的取值范围是 [-1,1]
|r|=1，为完全相关
r =1，为完全正相关
r = -1，为完全负相关
r = 0，不存在线性相关关系相关
-1r<0，为负相关
0<r1，为正相关
|r|越趋于1表示关系越密切；|r|越趋于0表示关系越不密切
相关系数(取值及其意义)
+
0
+
完全负相关
无线性相关
完全正相关
负相关程度增加
r
正相关程度增加
相关系数的性质
性质1：r具有对称性。即x与y之间的相关系数和y与x之间
的相关系数相等，即rxy= ryx
性质2：r数值大小与x和y原点及尺度无关，即改变x和y的
数据原点及计量尺度，并不改变r数值大小
性质3：仅仅是x与y之间线性关系的一个度量，它不能用
于描述非线性关系。这意味着， r=0只表示两个变
量之间不存在线性相关关系，并不说明变量之间没
有任何关系
性质4：r虽然是两个变量之间线性关系的一个度量，却不
一定意味着x与y一定有因果关系
相关系数的经验解释
|r|时，可视为两个变量之间高度相关
|r|<时，可视为中度相关
|r|<时，视为低度相关
|r|<时，说明两个变量之间的相关程度极弱，可视为不相关
上述解释必须建立在对相关系数的显著性进行检验的基础之上
相关系数(例题分析)
一元线性回归
一元线性回归模型
参数的最小二乘估计
回归直线的拟合优度
显著性检验
什么是回归分析？(Regression)
从一组样本数据出发，确定变量之间的数学关系式
对这些关系式的可信程度进行各种统计检验，并从影响某一特定变量的诸多变量中找出哪些变量的影响显著，哪些不显著
利用所求的关系式，根据一个或几个变量的取值来预测或控制另一个特定变量的取值，并给出这种预测或控制的精确程度
回归分析与相关分析的区别
相关分析中，变量x变量y处于平等的地位；回归分析中，变量y 称为因变量，处在被解释的地位，x 称为自变量，用于预测因变量的变化
相关分析中所涉及的变量x和y都是随机变量；回归分析中，因变量y是随机变量，自变量x可以是随机变量，也可以是非随机的确定变量
相关分析主要是描述两个变量之间线性关系的密切程度；回归分析不仅可以揭示变量x对变量y的影响大小，还可以由回归方程进行预测和控制
回归模型的类型
一元线性回归
涉及一个自变量的回归
因变量y与自变量x之间为线性关系
被预测或被解释的变量称为因变量(dependent variable)，用y表示
用来预测或用来解释因变量的一个或多个变量称为自变量(independent variable)，用x表示
因变量与自变量之间的关系用一条线性方程来表示
回归模型(regression model)
回答“变量之间是什么样的关系？”
方程中运用
1 个数字的因变量(响应变量)
被预测的变量
1 个或多个数字的或分类的自变量 (解释变量)
用于预测的变量
3. 主要用于预测和估计
一元线性回归模型
描述因变量 y 如何依赖于自变量 x 和误差项 的方程称为回归模型
一元线性回归模型可表示为
y = b0 + b1 x +
y 是 x 的线性函数(部分)加上误差项
线性部分反映了由于 x 的变化而引起的 y 的变化
误差项 是随机变量
反映了除 x 和 y 之间的线性关系之外的随机因素对 y 的影响
是不能由 x 和 y 之间的线性关系所解释的变异性
0 和 1 称为模型的参数
一元线性回归模型(基本假定)
误差项ε是一个期望值为0的随机变量，即E(ε)=0。对于一个给定的x值，y的期望值为
E ( y ) = 0+ 1 x
对于所有的x值，ε的方差σ2 都相同
误差项ε是一个服从正态分布的随机变量，且相互独立。即ε-N( 0 ,σ2 )
独立性意味着对于一个特定的x值，它所对应的ε与其他x值所对应的ε不相关
对于一个特定的x值，它所对应的y值与其他x所对应的y值也不相关
回归方程 (regression equation)
描述 y 的平均值或期望值如何依赖于 x 的方程称为回归方程
一元线性回归方程的形式如下
E( y ) = 0+ 1 x
方程的图示是一条直线，也称为直线回归方程
0是回归直线在 y 轴上的截距，是当 x=0 时 y 的期望值
1是直线的斜率，称为回归系数，表示当 x 每变动一个单位时，y 的平均变动值
估计的回归方程(estimated regression equation)
一元线性回归中估计的回归方程为:
其中： 是估计的回归直线在 y 轴上的截距， 是直线的斜率，它表示对于一个给定的 x 的值， 是 y 的估计值，也表示 x 每变动一个单位时， y 的平均变动值
最小二乘估计
使因变量的观察值与估计值之间的离差平方和达到最小来求得 和 的方法。即
用最小二乘法拟合的直线来代表x与y之间的关系与实际数据的误差比其他任何直线都小
最小二乘估计(图示)
x
y
(xn ,yn)
(x1 ,y1)
(x2 ,y2)
(xi , yi)
｝
ei = yi-yi
＾
最小二乘法
( 和 的计算公式)
根据最小二乘法，可得求解 和 的公式如下
最小二乘法 ( 和 的计算公式)
根据最小二乘法的要求，可得求解 和 的公式如下
估计方程的求法(例题分析)
【例】求不良贷款对贷款余额的回归方程
回归方程为：y = + x
回归系数 = 表示，贷款余额每增加1亿元，不良贷款平均增加亿元
估计方程的求法(例题分析)
不良贷款对贷款余额回归方程的图示
变差
因变量 y 的取值是不同的，y 取值的这种波动称为变差。变差来源于两个方面
由于自变量 x 的取值不同造成的
除 x 以外的其他因素(如x对y的非线性影响、测量误差等)的影响
对一个具体的观测值来说，变差的大小可以通过该实际观测值与其均值之差 来表示
变差的分解(图示)
x
y
{
}
}
离差平方和的分解 (三个平方和的关系)
SST = SSR + SSE
总平方和
(SST)
{
回归平方和
(SSR)
残差平方和
(SSE)
{
{
离差平方和的分解 (三个平方和的意义)
总平方和(SST)
反映因变量的 n 个观察值与其均值的总离差
回归平方和(SSR)
反映自变量 x 的变化对因变量 y 取值变化的影响，或者说，是由于 x 与 y 之间的线性关系引起的 y 的取值变化，也称为可解释的平方和
残差平方和(SSE)
反映除 x 以外的其他因素对 y 取值的影响，也称为不可解释的平方和或剩余平方和
判定系数r2(coefficient of
determination)
回归平方和占总离差平方和的比例
反映回归直线的拟合程度
取值范围在 [0,1]之间
R2 1，说明回归方程拟合的越好；R20，说明回归方程拟合的越差
判定系数等于相关系数的平方，即R2＝(r)2
判定系数R2 (例题分析)
【例】计算不良贷款对贷款余额回归的判定系数，并解释其意义
判定系数的实际意义是：在不良贷款取值的变差中，有%可以由不良贷款与贷款余额之间的线性关系来解释，或者说，在不良贷款取值的变动中，有%是由贷款余额所决定的。也就是说，不良贷款取值的差异有2/3以上是由贷款余额决定的。可见不良贷款与贷款余额之间有较强的线性关系
估计标准误差(standard error of estimate)
实际观察值与回归估计值离差平方和的均方根
反映实际观察值在回归直线周围的分散状况
对误差项的标准差的估计，是在排除了x对y的线性影响后，y随机波动大小的一个估计量
反映用估计的回归方程预测y时预测误差的大小
计算公式为
注：例题的计算结果为
线性关系检验
检验自变量与因变量之间的线性关系是否显著
将回归均方(MSR)同残差均方(MSE)加以比较，应用F检验来分析二者之间的差别是否显著
回归均方：回归平方和SSR除以相应的自由度(自变量的个数p)
残差均方：残差平方和SSE除以相应的自由度(n-p-1)
线性关系检验 (检验的步骤)
提出假设
H0：1=0 线性关系不显著
2. 计算检验统计量F
确定显著性水平，并根据分子自由度1和分母自由度n-2找出临界值F
作出决策：若F>F ,拒绝H0；若F<F ,不能拒绝H0
线性关系检验 (例题分析)
提出假设
H0： 1=0 不良贷款与贷款余额之间的线性关系不显著
计算检验统计量F
确定显著性水平=，并根据分子自由度1和分母自由度25-2找出临界值F =
作出决策：若F>F ,拒绝H0，线性关系显著
线性关系检验 (方差分析表)
回归系数检验
在一元线性回归中，等价于线性关系的显著性检验
检验 x 与 y 之间是否具有线性关系，或者说，检验自变量 x 对因变量 y 的影响是否显著
理论基础是回归系数 的抽样分布
回归系数检验(检验步骤)
提出假设
H0: b1 = 0 (没有线性关系)
H1: b1 0 (有线性关系)
计算检验的统计量
确定显著性水平，并进行决策
t>t，拒绝H0； t<t，不能拒绝H0
回归系数检验 (例题分析)
对例题的回归系数进行显著性检验(＝)
提出假设
H0：b1 = 0
H1：b1 0
计算检验的统计量
t=>t=，拒绝H0，表明不良贷款与贷款余额之间有线性关系
回归系数检验 (例题分析)
P 值的应用
P=<=，拒绝原假设，不良贷款与贷
款余额之间有线性关系
利用回归方程进行估计和预测
点估计
区间估计
利用回归方程进行估计和预测
根据自变量 x 的取值估计或预测因变量 y的取值
估计或预测的类型
点估计
y 的平均值的点估计
y 的个别值的点估计
区间估计
y 的平均值的置信区间估计
y 的个别值的预测区间估计
点估计
2. 点估计值有
y 的平均值的点估计
y 的个别值的点估计
在点估计条件下，平均值的点估计和个别值的的点估计是一样的，但在区间估计中则不同
对于自变量 x 的一个给定值x0 ，根据回归方程得到因变量 y 的一个估计值
y 的平均值的点估计
利用估计的回归方程，对于自变量x 的一个给定值x0，求出因变量y的平均值的一个估计值E(y0)，就是平均值的点估计
在前面的例子中，假如我们要估计贷款余额为100亿元时，所有分行不良贷款的平均值，就是平均值的点估计 。根据估计的回归方程得
y 的个别值的点估计
利用估计的回归方程，对于自变量 x 的一个给定值 x0，求出因变量y 的一个个别值的估计值 ，就是个别值的点估计
比如，如果我们只是想知道贷款余额为亿元的那个分行(这里是编号为10的那个分行)的不良贷款是多少，则属于个别值的点估计。根据估计的回归方程得
区间估计
点估计不能给出估计的精度，点估计值与实际值之间是有误差的，因此需要进行区间估计
对于自变量 x 的一个给定值 x0，根据回归方程得到因变量 y 的一个估计区间
区间估计有两种类型
置信区间估计(confidence interval estimate)
预测区间估计(prediction interval estimate)
置信区间估计
利用估计的回归方程，对于自变量 x 的一个给定值 x0 ，求出因变量 y 的平均值的估计区间 ，这一估计区间称为置信区间
E(y0) 在1-置信水平下的置信区间为
式中：sy为估计标准误差
置信区间估计(例题分析)
【例】求出贷款余额为100亿元时，不良贷款95% 的置信区间.
解：根据前面的计算结果，已知n=25，
sy=，t(25-2)=
置信区间为:
当贷款余额为100亿元时，不良贷款的平均值在亿元到亿元之间
预测区间估计
利用估计的回归方程，对于自变量 x 的一个给定值 x0 ，求出因变量 y 的一个个别值的估计区间，这一区间称为预测区间
y0在1-置信水平下的预测区间为
注意！
预测区间估计(例题分析)
【例】求出贷款余额为亿元时，不良贷款 95%
的置信区间.
解：根据前面的计算结果，已知n=25，
sy=，t(25-2)=
置信区间为:
贷款余额为亿元的那个分行，其不良贷款的预测区间在亿元到亿元之间
影响区间宽度的因素
置信水平(1-)
区间宽度随置信水平的增大而增大
数据的离散程度(s)
区间宽度随离散程度的增大而增大
3. 样本容量
区间宽度随样本容量的增大而减小
4. 用于预测的xp与x的差异程度
区间宽度随xp与x 的差异程度的增大而增大
置信区间、预测区间、回归方程
xp
y
x
x
预测上限
置信上限
预测下限
置信下限
本章小结
变量间关系的度量
回归模型、回归方程与估计的回归方程
回归方程的拟合优度
回归分析中的显著性检验
估计和预测
139
24
This teleology is based on the number of explanatory variables & nature of relationship between X & Y.
124
Note:
1. As we move farther from the mean, the bands get wider.
2. The prediction interval bands are wider. Why? (extra Syx)
