条件概率和乘法公式
全概率公式
Bayes公式
§， 主要内容
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事件的关系与运算完全对应着集合的关系
和运算，有着下列的运算律：
吸收律
幂等律
差化积
运算律
重余律
相 关 内 容 复 习
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交换律
结合律
分配律
反演律
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概率的性质
有限可加性: 设
为两两互斥事件，
若
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加法公式：对任意两个事件A, B, 有
推广：
一般：
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§ 条件概率
引例 袋中有7只白球，3只红球；白球中
有4只木球，3只塑料球；红球中有2只木球，
1只塑料球.
现从袋中任取1球，假设每个球被取到
的可能性相同. 若已知取到的球是白球，问
它是木球的概率是多少？
等可能概型
设 A 表示任取一球，取得白球；
B 表示任取一球，取得木球
条件概率与乘法公式
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所求的概率称为在事件A 发生的条件下
事件B 发生的条件概率。记为
解 列表
白球
红球
小计
木球
4
2
6
塑料球
3
1
4
小计
7
3
10
问题：条件概率中样本空间 是什么？
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定义 设A、B为两事件, P ( A ) > 0, 则称
为事件 A 发生的条件下事件 B 发生的条件概率，记为
条件概率的计算方法
（1） 等可能概型可用缩减样本空间法
（2） 其他概型用定义与有关公式
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条件概率也是概率，它符合概率的定义，具有
概率的性质：
非负性
规范性
可列可加性
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利用条件概率求积事件的概率就是乘法公式
推广
乘法公式
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已知某厂生产的灯泡能用到1000小时的概
率为, 能用到1500小时的概率为 , 求已用
到1000小时的灯泡能用到1500小时的概率
解 令 A 灯泡能用到1000小时
B 灯泡能用到1500小时
所求概率为
例1
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例2 一盒中装有5个产品，其中有3个一等品，
2个二等品，从中不放回地取产品，每次
1个，求
（1）取两次，两次都取得一等品的概率
（2）取两次，第二次取得一等品的概率
（3）取三次，第三次才取得一等品的概率
（4）取两次，已知第二次取得一等品，求
第一次取得的是二等品的概率
解 令 Ai 为第 i 次取到一等品
（1）
（2）
*
(3)
(4)
提问：第三次才取得一等品的概率，是
（2）直接解更简单
（为什么？）
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例3 某人外出旅游两天，需要知道两天的天气
情况，据天气预报，第一天下雨的概率为
, 第二天下雨的概率为, 两天都下雨
的概率为. 求 第一天下雨时，第二天不
下雨的概率
解 设A1, A2 分别表示第一天下雨与第二天下雨
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一般地，条件概率与无条件概率之间的大小
无确定的关系
上例中
若
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例4 为了防止意外，矿井内同时装有两种报警
设备 A 与 B , 已知设备 A 单独使用时有效
的概率为 , 设备 B 单独使用时有效的
概率为，在设备 A 失效的条件下，设
备B 有效的概率为, 求发生意外时至少
有一个报警设备有效的概率。
设事件 A, B 分别表示设备A, B 有效
已知
求
*
解
由
即
故
解法二
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B1
B2
Bn
AB1
AB2
ABn
A
§ 全概率公式与Bayes 公式
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全概率公式
Bayes公式
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每100件产品为一批，已知每批产品中的
次品数不超过4件，每批产品中有 i 件次品
的概率为
i 0 1 2 3 4
P
从每批产品中不放回地取10件进行检验，若
发现有不合格产品，则认为这批产品不合格，
否则就认为这批产品合格。求
（1）一批产品通过检验的概率
（2）通过检验的产品中恰有 i 件次品的概率
例5
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解 设一批产品中有 i 件次品为事件Bi , i = 0,1,…,4
A 为一批产品通过检验
则
已知P( Bi )如表中所示，且
由全概率公式与Bayes 公式可计算P( A )与
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结果如下表所示
i 0 1 2 3 4
P( Bi )
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称
为后验概率，它是
得到了信息 — A 发生，再对导致 A 发生的
原因发生的可能性大小重新加以修正
i 较大时，
称 P( Bi ) 为先验概率，它是由以往的经验
得到的，它是事件 A 的原因
本例中， i 较小时，
说明什么问题？
产品通过检验，支持了结论：产品中含次品的数目应该比较少。次品数目比较多的结论证据不足。
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6例 已知由于随机干扰，在无线电通讯中
发出信号“ • ”，收到信号“• ”,“不清”，
“ — ”的概率分别为, , ;
发出信号“— ”，收到信号“• ”,“不清”，
“— ”的概率分别为, , .
已知在发出的信号中,“ • ”和“ — ”出现
的概率分别为 和 ，试分析，当收到信号
“不清”时，原发信号为“ • ”还是“ — ”
的概率大？
解 设原发信号为“ • ”为事件 B1
原发信号为“ — ”为事件 B2
收到信号“不清”为事件 A
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已知：
可见，当收到信号“不清”时,原发信号为‘•’
的可能性大
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作 业
习题一：23，27，28，29，
30，31
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